复习参考题名师教学视频（文字实录）

弧度制

教学目标： 通过弧度制定义的探索，弄清1弧度的角的含义；理解弧度制的定义，并能熟练进行弧度与角度的换算；并培养学生主动探索、勇于发现的精神，渗透由特殊到一般的思想方法；通过弧度制与角度制之间的联系及转化，渗透广泛联系，透过本质看问题的辨证唯物主义的思想。

学情分析

1、知识基础：学生在初中已经学过角的度量单位“度”

并且上节课学了任意角的概念，学生已掌握了角的概念的推广，也具备角度制下的一些结论，如1度的角、弧长公式和扇形面积公式，这是学习本节课的知识基础。

2、心理准备：目前只知道角可以用度为单位进行度量，在寻找另一种的单位制度量角的时候思维受挫是学生学习本节课的内在动机。

3、材料基础：教材内容的组织由浅入深、循序渐进。

重点： 弧度的定义的理解，正确进行弧度与角度的换算

难点：

弧度的定义的探索过程，弧度制与角度制之间的关系

教学过程：

一、

复习引入和预习准备

1.角分为几类？

2.什么是象限角？什么是轴线角？

3.与角

 终边相同的角的集合？第一象限角如何表示？（例2用弧度制表示）

4.请大家回忆什么是角度制？

将圆周等分成360份，每一份所对的圆心角的大小叫做

1 ，这种描述角的方式叫做——角度制。 二、创设情境，设置疑问

关于单位制我们学过很多种，不同的单位制应用于不同地方，即使是同一种度量，不同的单位制也会在不同情况下有着各自的方便。如告诉路上，我们经常看到，“距离某某服务区还有3公里”而不用

“3000米”。天津到北京的距离大概137公里，也可以是137000米，显然用公里表示更简便。

67°35′+29°48′=？

因为进位制非十进制，计算不方便。那么能否重新选择角色，使进位制下，两角相加与十进制下的加减运算一样呢？

跟上面类似，长度制的选择都是要选定一个不变量来作为基本量。如“米”，“度”，那么我们要找到一种新的度量角度的角度制，则必须也找到相应的不变量。

今天我们研究角的新的单位制。

首先请大家回忆什么是角度制？

将圆周等分成360份，每一份所对的圆心角的大小叫做

1 ，这种描述角的方式叫做——角度制。

二、新课讲授

问题一：圆心角n30，当半径r为1，2，3，4时，计算圆心角n所对弧l长l与半径r的比值。

rn30

l

r1

r2

r3

r4

l

r用几何画板演示: l（1）当圆心角不变，半径变化时，是定值；（比值是一个实数，因此是r10进制，比角度的60进制用起来更习惯）

l（2）若半径不变，圆心角变化时，随圆心角的变化而变化。

rl因此，弧长与半径的比只与圆心角的大小有关，与半径大小无关，我们可r以用这个比值来度量角，这就是度量角的另一种单位制——弧度制。

与角度制中先定义1度角的大小一样，我们也要先定义1弧度的角：

定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表几何画板演示：

l（1）1弧度的角=1，此时lr（是一个比60的角略小的角）。

r么关系？

（思考：若2弧度，则弧长与半径的数量关系是？）

示，读作弧度。

（2）观察2弧度、3弧度的角，根据定义思考它们所对的弧长与半径是什

三、分组讨论，探索研究

问题一：角度为30，60的圆心角，当半径

r1,2,3,4时，分别计算对应的弧长

，再计算弧长与半径的比。

nr301r，

1801806l6nr302rr2时，l，

1801803l630，

r1时，l

r3时，lnr303r，

1801802l6nr3042rr4时，l，

1801803l6nr601r，

60，r1时，l1801803l3nr6022r r2时，l，

1801803l3nr603r，

r3时，l180180l3nr6044r r4时，l，

1801803l3发现什么规律？

结论：圆心角不变则比值不变。与角度制中先定义1度角的大小一样，我们也要先定义1弧度的角：

定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表几何画板演示：

l（1）1弧度的角=1，此时lr（是一个比60的角略小的角）

r因此比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是度量角的另外一种单位制——弧度制。

知识建构

1．

定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。它的单位符号是rad ，读作弧度。这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制。

如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，

 rad 2r3r3radl radr1radrr2radrrr

问题二：

（1）若弧是一个半圆，圆心角所对的弧度数是多少？若是一个圆呢？

（完成课本6页探究题）

（2）正角的弧度数是什么数？负角呢？零角呢？（从正数，负数，零方面去引导）

（3）在弧度制下弧长的计算公式应该怎么写呢？

（

为弧长，

为半径）

四、落实目标 角度制与弧度制之间怎样换算呢？

如图，半径为r的圆，圆心与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，交圆于点A，终边与圆交于点B，填写下表：

AB弧的长

OB旋转的方向

AOB的弧度数

AOB的角度数

逆时针方向

逆时针方向

=

1 -2

90

r

2r

r

2r



0

270

弧度制与角度制之间的互化

∵ 360=2 rad ∴180 rad ∴ 1radl公式：

r180'= 57.35718 例11

把6730'化成弧度

1解：6730'67 2∴

6730'180rad6713rad

283 例2 把rad化成度

533解：rad180108

55注意几点： 1．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3表示3rad ， sin表示rad角的正弦；

2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：

角度

0°

弧度

0 30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π

角度

210°

225°

240°

270°

300°

315°

330°

360°

弧度

7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π/6 2π

问题三：在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式可以写成什么形式？你能推导吗？（用R表示半径，l表示弧长，S表示扇形面积，表示圆心角的弧度数，（02)

（学生思考，展示推导过程）

l弧长公式：由公式||及02可得：lR。

r扇形面积公式：

解：因为nRn，l，其中n表示圆心角的度数，

180180nR21n1R2R2。（用圆心角的弧度数表示扇形面积）

所以S36021802l，

R1所以有SlR（用弧长表示扇形面积）。

2又因为注：弧度制下，弧长公式和扇形面积公式简单了，这也是引入弧度制的好处。

例2（1）写出与角终边相同的角的集合；

6（2）终边在y轴上的角的集合。

解：（1）与角终边相同的角的集合：{2k,kZ}

66（2）终边在y轴上的角的集合：{k,kZ,kZ}。

2注：在同一个式子中，角度与弧度不能混用。

五，小结

进一步指出为什么要引入弧度制，其一为三角函数做铺垫，其二使弧长公式和面积公式简化

揭示弧度制的起源周期长