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第19章 一次函数

19.1.1变量与函数(1) 教学目标

①运用丰富的实例,使学生在具体情境中领悟函数概念的意义,了解常量与变量的含义。能分清实例中的常量与变量,了解自变量与函数的意义。

②通过动手实践与探索,让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,以提高分析问题和解决问题的能力。

③引导学生探索实际问题中的数量关系,培养对学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情.在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦,建立自信心。

教学重点与难点

重点：函数概念的形成过程。

难点：正确理解函数的概念。

教学准备

每个小组一副弹簧秤和挂件,一根绳子。

教学设计

提出问题: 1.汽车以60千米/时的速度匀速行驶。行驶里程为s千米,行驶时间为t小时。先填写下面的表,再试着用含t的式子表示s：

t(小时) s(千米) 1

2

3

4

5

2.已知每张电影票的售价为10元。如果早场售出150张,日场售出205张,晚场售出310张,那么三场电影的票房收入各为多少元?设一场电影售出x张票,票房收人为y元,怎样用含x的式子表示y? 223.要画一个面积为10cm的圆,圆的半径应取多少?画面积为20cm的圆呢?怎样用含圆面积S的式子表示圆半径r? 注:(1)让学生充分发表意见,然后教师进行点评。

(2)挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情景,让学生经历探索具体情景中两个变量关系的过程,直接获得探索变量关系的体验。

动手实验

1.在一根弹簧秤上悬挂重物,改变并记录重物的质量, 观察并记录弹簧长度的变化,填入下表：

悬挂重物的质量m(kg) 弹簧长度l(cm)

如果弹簧原长10cm,每1kg重物使弹簧伸长0.5cm,怎样用重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度l(cm)? 2.用10dm长的绳子围成矩形.试改变矩形的长,观察矩形的面积怎样变化,记录不同的矩形的长的值,2计算相应的矩形面积的值,探索它们的变化规律(用表格表示) 。设矩形的长为xdm,面积为Sdm,怎样用含x的式子表示S? 注:分组进行实验活动,然后各组选派代表汇报。

通过动手实验,学生的学习积极性被充分调动起来,进一步深刻体会了变量间的关系,学会了运用表格形式来表示实验信息。

探究新知

(一)变量与常量的概念

1.在学生动手实验并充分发表自己意见的基础上,师生共同归纳：上面的问题和实验都反映了不同事物的变化过程。其中有些量(时间t、里程s、售出票数x、票房收入y等)的值是按照某种规律变化的。在一个变化过程中,数值发生变化的量,我们称之为变量。也有些量是始终不变的,如上面问题中的速度60(千米/时)、票价10(元)等,我们称之为常量。

2.请具体指出上面这些问题和实验中,哪些量是变量,哪些量是常量。

3.举出一些变化的实例,指出其中的变量和常量。

注:分组活动.先独立思考,然后组内交流并作记录,最后各组选派代表汇报。

培养学生主动参与、合作交流并能用数学的眼光看待世界的意识,提高观察、分析、概括和抽象等的能力。

(二)函数的概念

1.在前面的每个问题和实验中,是否各有两个变量?同一个问题中的变量之间有什么联系? 师生分析得出：上面的每个问题和实验中的两个变量互相联系.当其中一个变量取定一个值时,另一个变量就有惟一确定的值。

2.分组讨论教科书“观察”中的两个问题。

注:使学生加深对各种表示函数关系的表达方式的印象。

3.一般来说,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有惟一确定的值与其对应,那么,我们就说x是自变量,y是x的函数。如果当x=a时,y=b,那么,b叫做当自变量的值为a时的函数值。例如在问题1中,时间t是自变量,里程s是t的函数。t=1时,其函数值s为60,t=2时,其函数值s为120。

同样,在心电图中,时间x是自变量,心脏电流y是x的函数；在人口统计表中,年份x是自变量,人口数y是x的函数.当x=1999时,函数值y=12.52。

巩固新知

下列各题中分别有几个变量?你能将其中的某个变量看成是另一变量的函数吗? 1.右图是北京某日温度变化图

2.如图,已知菱形ABCD的对角线AC长为4,BD的长在变化,设BD的长为x,则菱形的面积为y=1×4×x 2

3.国内平信邮资(外埠,100克内)简表：

信件质量m/克

邮资y/元

O

总结归纳

1.常量与变量的概念

2.函数的定义

3.函数的三种表示方式

注:通过总结归纳,完善学生已有的知识结构。

布置作业

1.必做题：教科书P.71 习题19.1第1题。

教学反思

19.1.1变量与函数(2) 教学目标

①理解掌握函数的概念,能根据所给条件写出简单的函数关系式. ②经历从实际问题中得到函数关系式的过程,发展学生的数学应用能力. ③体验生活中数学的应用价值,感受数学与人类生活的密切联系,激发学生学数学、用数学的兴趣. 教学重点与难点

理解函数概念,并能根据具体问题得出相应的函数关系式. 教学准备

计算器、CAI课件. 教学设计

提出问题

1.在计算器上按照下面的程序进行操作：

填表：

x y 1

3

-4

O

101

显示的数y是输入的数x的函数吗?为什么?

注:让学生自己动手操作,唤起浓郁的好奇心和求知欲.提出问题,引导学生进入新知

识的学习,创造一种探索的情景.

2.在计算器上按照下面的程序进行操作：

下表中的x与y是输入的5个数与相应的计算结果. x y 1 3 2 5 3 7 0 1 -1 -1 问：所按的第三、四两个键是哪个两个键?y是x的函数吗?如果是,写出它的表达式(用含x的式子表示y). 注:先让学生动手探索,然后讨论y是否是x的函数,最后师生共同归纳,得出结论.

探究新知

一辆汽车的油箱中现有汽油50L,如果不再加油,那么油箱中的油量y(L)随行驶里程x(km)的增加而减少,平均耗油量为0.1L/km. 问题1：写出表示y与x的函数关系的式子.

问题2：指出自变量x的取值范围. 问题3：汽车行驶200km时,油箱中还有多少汽油? 学生分组讨论、交流、说出各自得到的结论,最后师生共同归纳,得出：

(1)y与x的函数关系式是y=50-0.1x. (2)自变量x的取值范围是O≤x≤500.

(3)汽车行驶200km时,油箱中还有30L汽油. 教师提示：确定自变量的取值范围时,不仅要考虑到函数关系式必须有意义,而且还要注意问题的实际意义. 让学生带着问题开展讨论, 在师生互动、合作交流的过程中,学生的思维得到自然发展,在不自觉的学习中掌握了重点,化解了难点,还提高了数学语言表达能力. 巩固新知

下列问题中哪些量是自变量?哪些量是自变量的函数?试写出用自变量表示函数的式子. 1.改变正方形的边长x,正方形的面积S随之改变. 2.秀水村的耕地面积是106m2,这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n的变化而变化. 注:进一步巩固所学的知识. 解决问题

我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于800元的部分不收税；月收入超过800元但低于1300元的部分征收5％的所得税……如某人月收入1160元,他应缴个人工资、薪金所得税为：(1160-800)×5％=18(元). 1.当月收入大于800元而又小于1300元时,写出应缴所得税y(元)与月收入x(元)之间的关系式. 2.某人月收入为960元,他应缴所得税多少元? 3.如果某人本月缴所得税19.20元,那么这个人本月工资、薪金是多少元? 注:设置富有挑战性的问题,激发学生积极思考,既能巩固所学知识,又能增强趣味性,可以更大限度地发挥学生的想象力.要鼓励学生大胆创新,多角度地认识问题,解决问题,体会数学奥妙与价值,增强创造性地学数学、主动性地用数学的意识. 总结归纳

通过本节课的学习,我们知道函数是一个非常有用的概念,它是研究现实世界的数量关系变化的一个重要模型.许多生活问题中都存在着函数关系.通过本节课的学习,我们掌握了函数的定义,能根据问题中的条件写出简单的函数关系式和自变量的取值范围,并会求出函数值. 注:启发学生思考、归纳总结所学知识,让学生更加明确本节课的知识点. 布置作业

1.必做题：教科书第74～75页习题19.1第3、4题. 2.选做题：教科书习题19.1第5、6题. 教学反思

19.1.2函数的图像（1）

教学目标

①从学生熟悉的情境出发,经历从图中分析变量之间关系的过程,理解函数图象的意义.会对实际生活中的例子用两变量之间关系的图象进行描述表达,初步认识函数与图象的对应关系. ②学会观察图象、识别图象及理解图象所表示的含义.了解图象的意义及其与实际轨道之间的关系和区别. ③渗透数形结合思想,体会到数学来源于生活,又应用于生活.培养学生的团结协作精神、探索精神和合作交流的能力. 教学重点与难点

把实际问题转化为函数图象,再根据图象来研究实际问题. 教学准备

三角尺、CAI课件. 教学设计

提出问题

下图是自动测温仪记录的图象,它反映了北京春季某天气温T如何随时间t的变化而变化.你从下图中得到哪些信息? 注:挖掘和利用现实生活中与函数图象有关的背景,让学生在观察背景中认识、理解函数的图象. “做一做”解决生活中的数学问题,为的是进一步理解函数图象的意义.引导学生主动参与学习过程,从而培养合作交流能力. 解决问题

下面的图象反映的过程是：小明从家里出发去菜地浇水,又去玉米地锄草,然后回家.其中x表示时间,y表示小明离他家的距离. 根据图象回答下列问题：

1.菜地离小明家多远?小明走到菜地用了多少时间? 2.小明给菜地浇水用了多少时间? 3.菜地离玉米地多远?小明从菜地走到玉米地用了多少时间? 4.小明给玉米地锄草用了多少时间? 5.玉米地离小明家多远?小明从玉米地走回家的平均速度是多少? 注:以课本例题中的实际生活问题为素材,使学生感受到数学来源于生活,激发学生学数学的兴趣.师生共同参与合作,完成几个问题的探讨.体现了以学生为主体,教师成为问题解决的组织者、引导者与合作者这一新课程教学理念. 总结归纳

围绕下面两点,以师生共同交流的方式进行归纳：

(1)函数图象会使函数关系更为清晰,怎样画出函数的图象呢? (2)如何根据函数图象中获得的信息来研究实际问题? 注:进一步加深对函教图象的理解. 布置作业

1.必做题：教科书习题19.1第9题. 教学反思

19.1.2函数的图像（2）

教学目标

①学会用描点法画出简单函数的图象,初步了解函数关系式与函数图象之间的关系. ②渗透数形结合思想,让学生学会函数图象的基本画法. ③引导学生积极参与实验与探索活动,体验探索的快乐并从中获得成功的体验.通过细心画图,培养严谨细致的学习作风. 教学重点与难点

重点：了解画函数图象的一般步骤,会画出简单函数的图象. 难点：函数关系式与函数图象之间的对应关系. 教学准备

三角尺. 教学设计

提出问题

在下列式子中,对于x的每一确定的值,y有惟一的对应值,即y是x的函数.你能画出这些函数的图象吗? 1.y=x+0.5 2．y=6

x注:提出问题,激发学生的求知欲,引导学生探索解决问题的方法,自然而然地引入新课. 探究新知

分组讨论这两个函数图象的画法,然后每人自己动手画出这两个函数的图象,先在组内交流各自所画的图象,然后每组选出一个同学所画的图象在班内交流.看看你画出的图象与教科书上图11.1-6、图11.1-7相同吗? 注:培养学生主动参与和合作交流的意识,提高观察、分析、概括和抽象的能力.

2.师生共同探讨下列问题：

(1)观察函数y=x+0.5的图象,可以看出直线从左向右上升,即当x由小变大时,y=x+0.5随之增大；观察函数y=66(x>0)的图象,可以看出曲线从左向右下降,即当x由小变大时, y=随之减小. xx(2) 归纳用描点法画函数图象的一般步骤. 描点法画函数图象的一般步骤如下：

第一步：列表；(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值) 第二步：描点；(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点) 第三步：连线.(按照横坐标由小到大的顺序,把所描出的各点用平滑的曲线连接起来) 讨论交流:教科书

“思考”中的两个问题. 巩固新知

1.画出函数y=2x-1的图象. 判断：点A(-2.5,-4)、点B(1,3)、点C(2.5,4)是否在函数y=2x-1的图象上. 2.画出函数y=x2的图象. 从图象中观察,当x<0时,y随x增大而增大呢,还是y随x增大而减小? 当x>0时呢? 注:理解用图象法表示函数关系.巩固函数图象的画法.

总结归纳

以问题的形式要求学生思考、交流：

1.作函数图象的三个步骤分别是什么?

2.如何从图象中了解函数的变化情况? 注:加深对函数图象画法的印象. 布置作业

1.必做题：教科书P.79 习题. 2.选做题：教科书P.82 第13题. 教学反思

19.1.2函数的图像（3）

教学目标

①运用丰富的实例,帮助学生全面理解函数的三种表示方法.

②通过观察、作图、交流、归纳等数学实践活动,使学生加深对函数三种表示方法的认识,提高把实际问题转化为数学问题的能力. ③让学生通过实际操作,体会函数的三种表示方法在实际生活中的应用价值,以激发学生对数学的学习兴趣. 教学重点与难点

重点：函数的三种表示方法及其应用. 难点：函数的三种表示方法的应用. 教学准备

木板一块、玩具小车一辆、三角尺、CAI课件. 教学设计

提出问题

实验演示：倾斜木板,将小车置于木板顶端,观察小车下滑过程. 小车沿斜坡下滑,下滑速度与其下滑时间的关系如上图所示. 1.填写下表：

t(秒) 1 2

3

V(米/秒)

2.写出V与t之间的关系式. 注:通过实验演示,创设问题情境,使学生从中发现数学,建立模型,引起思考,激发兴趣.营造轻松愉悦的学习氛围,自然导入新课. 探究新知

1.通过学习,我们已经知道可以用列表格、写式子和画讨论：从前面的例子来看,你认为这三种表示方法各有什么优点? 注:分组活动.先独立思考,然后组内交流并作记录,最后各组选派代表汇报.

2.注意：表示函数时,要根据具体情况选择适当的方法. 图象的方法来表示函数.这三种表示函数的方法分别被称为列表法、解析式法和图象法. 为了全面地认识问题,有时需要几种方法同时运用.

讲解教科书例4. 问题1：观察记录表中的6组数值,你认为这两个变量之间有什么关系? 问题2：请你写出水位高度y(米)随时间t(时)变化的函数解析式. 问题3：请你画出这个函数的图象. 问题4：请你预测一下,再过2小时,水位高度将达到多少米? 注:给学生提供充分的时间与空间,让其进行自主探索和与同伴交流,经历数学活动的过程. 学生的探索可能具有盲目性,精心设计“问题串”可帮助解决这个问题.但它不能代替学生的探索,而是为学生的探索提供指导.一切要从有利于学生的发展出发. 巩固新知

教科书P.81 练习第1、2题

注:加深对函数三种表示方法的理解. 解决问题

某电视机厂要印制一批产品宣传资料.甲厂提出：每份资料收1元印制费,所有资料另收1500元的制版费；乙厂提出：每份资料收2.5元印制费,不收制版费. 1.分别写出两厂的收费y(元)与印制数量x(份)之间的关系式. 2.在同一直角坐标系内作出它们的图象.

3.根据图象回答以下问题：

(1)印制800份宣传资料,选择哪家印刷厂比较合算? (2)电视机厂拟拿出3000元用于印制宣传资料,选择哪家印刷厂宣传资料能多印一些? 注:感受所学知识在实际中的用途,培养学生应用数学的意识.

总结归纳

教师强调,本节课主要学习了函数的三种表示方法：列表法、解析式法和图象法以及各自的优点. 特别提醒：函数的不同表示方法之间是可以转化的. 注:引导学生归纳总结所学知识,使之对函数的表示方法有比较全面的认识. 布置作业

1.必做题：教科书P.82 第7题. 教学反思

19.2.1正比例函数

教学目标

①通过对不同背景下函数模型(关系式)的比较,接受正比例函数的概念.

②在用描点法画正比例函数图象的过程中发现正比例函数的性质. ③利用发现的性质简便地画出正比例函数的图象. ④初步体验研究函数的一般思路与方法. 教学重点与难点

重点:正比例函数的概念、图象与性质. 难点：体验研究函数的一般思路与方法

教学准备

教师准备：作图工具、多媒体课件. 学生准备：作图工具、方格子纸若干张. 教学设计

概念的引出

1.出示教科书的问题.先出示问题背景,再逐一提出问题①、②、③. 注:问题的解决可由一位学生回答,其他学生补充进行. 说明：以上我们用函数y=200x对燕鸥的飞行路程问题进行了刻画.尽管这只是近似的,但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型. 注:此问题源于真实背景,难度又不大,在使全体学生进入学习状态的同时,也进一步体会到函数是反映现实世界的一种数学模型. 2.此类模型在生活中广泛存在.出示教科书的问题：下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示?这些函数有什么共同点? 注:在变化的背景中寻找不变之处,经历对一类对象共同本质特征的抽象过程,促进概

念的形成. 通过讨论、归纳形成共识,给出正比例函数的概念. 一般地,形如y=kx(k是常数,k≠O)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数. 注:这里不补充正反例的比较来进行概念的辨析,这部分内容放入下一节.

上述问题中各正比例函数的比例系数分别是什么? 注:认识的扩大. 我们知道,函数图象可以直观、清晰地表示函数关系. 正比例函数的解析式具有共同的结构,那么它们的图象是否也有某种必然的共同之处呢？

1.画出下列正比例函数的图象：(1)y=2x (2)y=-2x 学生通过列表、描点、连线画出图象,使用课前准备好的方格子纸(或由教师统一发下)可以节约时间提高效率. 注:自然激发探究冲动,感受研究函数的思考方式.利用已学过的描点法画出正比例函数的图象,既巩固旧知

识,更为发现规律后简便画法的产生埋下伏笔. 2.比较上面两个函数的图象的相同点与不同点,你发现它们具有怎样的规律了吗? 注:让学生充分发表意见,鼓励百家争鸣、各抒己见,教师暂时不做评判,对于争论最好

的办法是让学生自己想办法验证解决. 学生经历活动操作、观察比较、分析思考、讨论交流的过程,并在这样一个过程中树立信心、获取知识、体验学习的方法. 引导学生思考：这种规律对其他正比例函数适用吗?具有一般规律吗? 3.适时引导学生继续尝试：

练习：在同一个坐标系中,画出下列函数的图象,并对它们进行比较：(1)y=11x (2)y=-x 22

注:(1)这里无须就k=O时又如何展开讨论,若有学生提及,可鼓励在课外思考. (2)量的积累可以进一步增强信心,明确经验,有助于对各种意见的统一认识的全面定型. 4.达成共识：一般地,正比例函数y=kx(k≠0)的图象是一条经过原点的直线,我们称它为直线y=kx. 当k>0时,直线y=kx经过第三、一象限,从左向右上升,即随着x的增大y也增大；

当k<0时,直线y=kx经过第二、四象限,从左向右下降,即随着x的增大y反而减小. 认识的深化

1.经过原点与点(1,3)的直线是哪个函数的图象? 若经过原点与点(1,-4)呢?你发现了什么? 注:这里函数的得出,并不涉及待定系数法,而是对前面探究过程与结果的感悟.亲身的实践以及在亲身实践基础上的反思对促进学生的发展有着重大的意义. 2.画正比例函数的图象时,怎样画最简便?为什么? 以上问题逐一出示,由学生思考后回答,避免让思维快的学生影响思维慢的学生. 3.用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：(1)y=3x (2)y=-3x 2小结归纳

1.在本节课中,我们经历了怎样的过程?有怎样的收获? 2.在以后的学习中,我们将继续这样的思路来研究各种具体的函数,根据它们共同的结构给它们取名,画出它们的图象与研究它们的性质. 作业

教科书P.87 习题第1、2题. 教学反思

19.2.2一次函数(1) 教学目标

①理解一次函数与正比例函数的概念以及它们的关系,在探索过程中,发展抽象思维及概括能力,体

验特殊和一般的辩证关系. ②能根据问题信息写出一次函数的表达式.能利用一次函数解决简单的实际问题. ③经历利用一次函数解决实际问题的过程,逐步形成利用函数观点认识现实世界的意识和能力. 教学重点与难点

重点：①一次函数、正比例函数的概念及关系. ②会根据已知信息写出一次函数的表达式. 难点：理解一次函数、正比例函数的概念及关系.在探索过程中,发展抽象思维及概括能力. 教学设计

复习与反思

1.复习：函数与正比例函数的概念和它们之间的关系. 注:在对旧知的复习中突出函数是对变量间关系的刻画,正比例函数则是对某一类关系共性的抽象反映.为完善认知与深刻理解概念做准备. 2.问题：某登山队大本营所在地的气温为15℃.海拔每升高1km气温下降6℃,登山队员由大本营向上登高xkm时,他们所在位置的气温是y℃.试用解析式表示y与x的关系. 注:得到的解析式不是原先学过的正比例函数,促使学生对函数特征的思考. 3.反思：这个函数是正比例函数吗?它与正比例函数有什么不同?这种形式的函数还会有吗? 概念的形成

1.下列问题中变量间的对应关系可用怎样的函数表示? 出示教科书问题①～④.

逐一出示题目并由学生完成.此处不必对自变量取值范围作深入追究,重在正确得出关系式. 注意选题时各小题表示变量的字母虽然不同,但结构相同,进一步揭示函数的本质在于对变量间对应关系的反映,而与所取符号无关. 2.思考：上面这些函数有什么共同点?你能再举出一些例子吗？

引导学生自己得出上面这些函数的形式都是自变量的走(常数)倍与一个常数的和.并把它们抽象为y=kx+b的形式. 在探索过程中,发展抽象思维及概括能力.理解抽象的符号揭示的是一般规律. 3.抽取共性,形成概念

一般地,形如y=kx+b(k、b是常数,k≠O)的函数,叫做一次函数. 4.回顾反思,追求统一

本节涉及的函数y=15-6x,c=7t-35,g=h-105,y=0.01x+22,y=-5x+50都不符合正比例函数的结构,都不是正比例函数,而是一次函数. 那么像y=2x,y=么? 注:从一开始的y=15-6x不是正比例函数,引出一次函数的形成,似乎已经画了一个句

号.但细敲之下,里面还大有文章.这能给学生带来一种震撼与感悟. 5.达成共识,完善认知

学生通过讨论达成共识：当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以正比例函数其实是一种特殊的一次函数. 应当使学生领会：正比例函数首先是一次函数,其次它是特殊的一次函数.

概念的辨析

教科书练习1：下列函数中哪些是一次函数,哪些又是正比例函数? ①y=-8x；②y=5x2+6；③y=1x这些正比例函数是否符合一次函数的结构呢?在怎样的情况下符合?这说明了什38;④y=-0.5x-1 x特别注意：回答哪些是一次函数时需包含正比例函数,正比例函数是特殊的一次函数.

注:对解析式结构分析与比较,加深对已有知识的理解,促进认知结构的完善. 应用与问题解决

1.教科书练习2、3 注:逐步形成利用函数观点认识现实世界的意识和能力. 补充：

2.气温随着高度的增加而下降,下降的一般规律是从地面到高空11km处,每升高1km,气温下降6℃.高于11km时,气温几乎不再变化,设地面的气温为38℃,高空中xkm的气温为y℃.

(1)当0≤x≤11时,求y与x之间的关系式? (2)求当x=2、5、8、11时,y的值? (3)求在离地面13km的高空处,气温是多少度? (4)当气温是-16℃时,问在离地面多高的地方? 回顾与小结

1.回顾函数、正比例函数、一次函数的概念与它们间的关系. 注:引导学生用语言叙述自己的理解,理解要正确清晰. 2.感受数学的抽象与广泛应用.体会结构的重要. 布置作业

教科书P.90 习题第1.2.3题. 教学反思

19.2.2一次函数(2) 教学目标

①了解一次函数(包括正比例函数)的图象与性质,了解常数k,b的意义和作用. ②能用简便方法熟练作出一次函数的图象③经历利用函数图象研究函数性质的过程,发展观察、比

较、抽象和概括能力,体验“数形结合”的思想与方法. 教学重点与难点

重点：一次函数(包括正比例函数)图象与性质. 难点：如何使学生通过自己的实践与探究发现图象的特点与性质. 教学准备

教师准备：作图工具、多媒体课件. 学生准备：作图工具、方格子纸若干张. 教学设计

复习与反思

1.复习：正比例函数的图象与性质. 2.反思：

①正比例函数是特殊的一次函数,正比例函数的图象是直线,那么一次函数的图象也会是一条直线吗? ②从解析式上看,一次函数y=kx+b与正比例函数y=kx只差一个常数b,体现在图象上,又会有怎样的关系呢? 注:体现特殊与一般的关系并引发猜想.渗透数形相互影响的思想. 探究新知

1.画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象. 注:(1)学生通过列表、描点、连线画出图象,使用课前准备好的方格子纸(或由教师统一发下)可以节约时间提高效率. (2)同时画出这两个函数的图象旨在便于观察k相同,b不同时图象间的关系. 2.观察与比较

比较上面两个函数的图象的相同点与不同点.填出你的观察结果并与同伴交流. 这两个函数的图象形状都是____,并且倾斜程度_____. 函数y=-6x的图象经过原点,函数y=-6x+5的图象与y轴交于点____, 即它可以看作由直线y=-6x向____平移____个单位长度而得到. 注:先独立观察比较发现规律,再经同伴间的交流、互相启发促进达成共识. 3.探究

比较两个函数的解析式与图象,你能解释这是为什么吗? 注:建议引导学生理性思考并回答.允许学生按自己的理解从不同角度解释,形成个性化的学习体验. 4.猜想

你得到的结论具有一般性吗? 不画图,你能说出一次函数y=3x-4的图象是什么形状吗? 它与直线y=3x有什么关系? 你能解释其中的道理吗? 注:(1)鼓励学生讨论,形成统一且正确的认识. (2)鼓励学生用自己的语言归纳、互相补充,发展学生的抽象与概括能力. (3)本题不再依赖操作与观察而是类比猜想,为最终概括结论的形成再加一个台阶. 5.结论

一次函数y=kx+b的图象是一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到. (当b>0时,向上平移；当b<0时,向下平移) 注:鼓励学生用自己的语言说出,教师再完整出示.

巩固与应用

画出函数y=2x-1与y=-2x+1的图象. 思路1：由于一次函数的图象是直线,故选择其上合适两点即可画出. 思路2：先画直线y=2x与直线y=-2x,再平移它们,也能得到. 注:让学生说出你是怎么做的,再谈谈这个方法你是怎样想到的. 教科书例2、例3以及对性质的探究,所画的图象都互相独立,这样时间占用较多. 将例3稍作修改,既不影响例3本身的作用又可节约时间并使研究连成整体. 研究的深入

在上题的基础上,继续画出函数y=x+1,y=-x-1的图象,分析这些图象的特点,并由它们联想：一次函数解析式y=kx+b(k,b是常数,k≠0)中,k的正负对函数图象有什么影响? 注:鼓励学生用自己的语言说出,教师引导学生归纳与概括从而形成一次函数的性质：

当k>0时,y随x的增大而增大；当k<0时,y随x的增大而减小. 回顾与反思

在本节课中,我们经历了怎样的过程?有怎样的收获? 1.一次函数的图象与性质,常数k,b的意义和作用；

2.数形结合的思想与方法；

3.进一步体验研究函数的一般思路与方法. 对学习过程与结果的回顾

反思进一步加深对新知的理解与感悟,不同层次感悟的程度肯定不一样,但最基本的一种感触应当让每个学生都达到. 布置作业：

必做题：教科书P.93 练习1、2、3题. 选做题：教科书P.98习题19.2第4、8题. 教学反思

19.2.2一次函数(3) 教学目标

①了解待定系数法的思维方式与特点.明确两个条件确定一个一次函数、一个条件确定一个正比例函数的基本事实. ②会根据所给信息用待定系数法求一次函数解析式,发展解决问题的能力.

③进一步体验并初步形成“数形结合”的思想方法. 教学重点与难点

重点：根据所给信息确定一次函数的表达式. 难点：培养数形结合解决问题的能力. 教学设计

复习与反思

1.复习：画出函数y=1x与y=3x-1的图象

22.反思：你在作这两个函数图象时,分别描了几个点?你为何选取这几个点?可以有不同取法吗? 注:前面学习中是通过描点法画出一次函数的图象,发现它们的特点与性质.再利用发现的结论形成图象的简便画法.此处则是对简便画法本身的进一步反思,从而初步感知基本量,为待定系数法思想的形成做好准备. 3.引入：在上节课中我们学习了在给定一次函数表达式的前提下,我们可以说出它的图象特征及有关性质；反之,如果给你信息,你能否求出函数的表达式呢?这将是本节课我们要研究的问题. 提出问题、形成思路

1.求下图中直线的函数表达式：

图1 图2 注:在前面学习中,学生都是先有解析式(数),再由数出发探求.这里反过来,是先有图再探求数,是一种思维的逆向. 2.分析与思考：

根据原有经验,图1的解析式学生可凭经验与直觉答出.但图2的解析式凭直觉不易得出.应引导学生进行理性思考. 注:给学生充分的时间进行分析与思考,体现课堂的动态生成与灵动.经历从直觉经验到理性思考的过程,也促进学生体会数学学习的特点与魅力. 从图象知,图1中直线的函数是正比例函数,故其解析式必为y=kx+b形式,关键是如何求出k的值；同样由图可知图象经过点(1,2),所以该点坐标必适合解析式,将坐标代入y=kx即可求出k的值. 图2中直线的函数是一次函数,故其解析式为y=kx+b形式,同样代入直线上两点(2,0)与(0,3)即可求出k、b,确定解析式. 注:教学时,应让学生充分表达自己的想法,并在讨论交流中清晰思路. 3.反思小结：确定正比例函数的表达式需要1个条件, 确定一次函数的表达式需要2个条件. 初步应用、感悟新知

1.例题：已知一次函数的图象经过点(3,5)与(-4,-9).求这个一次函数的解析式. 注:在前面形成思路的基础上,此题的解答应突出解题过程的完整.教师应作好板演示范. 这个问题涉及数学对象的一个本质概念－－基本量.鼓励学生做这样的思考,有助于增强其对数学对象的理解. 与前面的例子相比，从直观的图形信息到文字形式展示,本质上是一样的,更突出2个基本量的事实.适时进行规范解题过程的示范是必要的.

2.回顾并介绍：像这样先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而具体写出这个式子的方法,叫做待定系数法. 3.反思体会：在前面的学习过程中我们发现数与形之间是怎样结合互化的.

对数←→形基本状态的概括整理,使原有认知清晰化、结构化.

综合运用

1.写出两个一次函数,使它们的图象都经过点(-2,3). 2.生物学家研究表明,某种蛇的长度y(cm)是其尾长x(cm)的一次函数,当蛇的尾长为6cm时,蛇长为45.5cm；当尾长为14cm时,蛇长为105.5cm.当一条蛇的尾长为10cm时,这条蛇的长度是多少? 注:在分析解决问题中巩固加深已有知识与经验,发展解决问题的能力. 4道题目可视学生情况机动处理,着眼于学生的发展,体现教学的层次性.第1、2两题当堂解决,由学生完成；下面3、4两题可视教学情况灵活处理(比如作为选做题). 3.教科书第6题：一个一次函数的图象是经过原点的直线,并且这条直线过第四象限及点(2,-3a)与点(a,-6),求这个函数的解析式. 4.小明将父母给的零用钱按每月相等的数额存放在储蓄盒内,准备捐给希望工程,盒内钱数y(元)与存钱月数x(月)之间的关系如图所示,根据下图回答下列问题：

①求出y关于x的函数解析式. ②根据关系式计算,小明经过几个月才能存够200元? 回顾反思

1.用待定系数法求函数解析式的一般步骤(过程) 2.数形结合解决问题的一般思路. 作业

1.必做题：教科书P.95 练习1、2,99页习题第5题

2.选做题：教科书P.99 第7题. 教学反思

19.2.2一次函数(4) 教学目标

①了解分段函数的特点,会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象. ②在涉及多变量的问题的解决中,能合理选择某个变量作为自变量,然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数. ③能利用一次函数及其图象解决简单的实际问题,发展学生的数学应用能力.

④体会并感知数学建模的一般思想. 教学重点与难点

重点：分段函数的初步认识与简单多变量问题的解决. 难点：对数学建模的过程、思想、方法的领会,提升分析解决问题的能力. 教学准备

教师准备：多媒体课件. 学生准备：作图工具、方格子纸. 教学设计

1．复习：在课本“函数的图象”的学习中,我们曾学习了类似于下图的图象. 2.激疑：上图的图象所表示的函数是正比例函数吗?是一次函数吗?你是怎样认为的? 注:在前面函数图象的学习中,学生已接触了此类图象并能根据图象信息回答相应的问题.但在学生的印象中这个图只是表明了两个变量间的一种变化关系,是一种函数关系,而不知是什么类型的函数.在熟悉又陌生的事物面前,学生的思想被激发了. 学生可以从图象的特征,函数的性质等多方面进行讨论,教师先不必给出明确的判断,而是引导学生继续思考下面的问题. 探求新知

1.问题：小芳以200米/分钟的速度起跑后,先匀加速跑5分钟,又匀速跑10分钟.请写出这段时间里她的跑步速度y(米/分钟)随跑步时间x(分钟)变化的函数关系式. 注:让学生通过讲述暴露其思维过程,有利于理清学生的思路. 建议先让学生思考后再让学生发言,对于有补充或不同意见的学生都让其充分发表意见.应当鼓励学生说出自己的思考过程(即你是怎样想的). 然后由一位学生上前写出函数关系式,再分析其写法的准确性. 归纳此类函数解析式的特征与写法,并强调自变量取值范围应当写在相应函数解析式的后面.

突出写法的规范性,这是需要强调的基本功,应当落实到位.同时使学生初步从数的角度感受此类函数的特征. 2.请画出上述函数的图象. 建议通过投影仪将学生的成果展示评判,首先引导学生分析所画的图象是否正确,再引导学生分析图象的特点,并在与正比例函数、一次函数图象的比较中加深理解其特征. 注:从数与形的角度全面感受分段函数的特点,并在与正比例函数、一次函数的比较中加深理解,完善认知. 3.得出分段函数的概念. 我们称此类函数为分段函数.开始时引入图象所表示的函数是分段函数吗?你能写出它的解析式吗?说说你的

做法. 注:可视学生情况当堂解决或统一解题思路后课外解答. 在获取新知的基础上,回过来解决开头引入的问题,进一步享受学习的成功. 问题解决

1.提出问题：A城有肥料200吨,B城有肥料300吨,现要把这些肥料全部运往C、D两乡.从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨20元和25元；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元,现C乡需要肥料240吨,D乡需要肥料260吨,怎样调运可使总运费最小? 2.分析思考：影响总运费的变量有哪些?由A、B城分别运往C、D乡的肥料量共有几个量?这些量之间有什么关系? 在分析题意的过程中,学生发现由A、B城分别运往C、D乡的肥料量共有4个量,它们都影响这总运

费,同时,它们之间又是互相联系的.由于有七年级方程(组)以及不等式解决实际问题的经验,可以引导学生列表以分清各变量之间的关系. 3.解决问题：

师生共作,完成解题.可从解析式与图象中看出结果,结合函数性质进行理性思考. 4.回顾反思：

解决含有多个变量的问题时,可以分析这些变量间的关系,选取其中某个变量作为自变量,然后根据问题中的条件寻求可以反映实际问题的函数. 如果已知总运费的数目,求调运方案,则是学生学过的方程知识可以解决的,学生有这样的解题经验.如果是已知总运费的最大值,则用不等式知识可以解决.如果已知其中A—C的运量,则正向思维即可求总运费,这是算术思想就可以解决的.而此题是在变化情景中探求,突出变量数学的特征,此时亦可使学生初步感受函数方法与前述方法的联系,为下一单元用函数观点看方程与不等式埋下伏笔.这些感受可以在分析思考或回顾反思中视情况渗透. 拓展与思考

拓展：若A城有肥料300吨,B城有肥料200吨,其他条件不变,又应怎样调运? 由学生用同样思路建立模型：

设总运费为y元,A城运往C乡的肥料量为x吨.可得：y=4x+10140(40≤x≤240)

在讨论分析中得出结论,从解析式与图象以及函数性质可以看出：当x=40时,y有最小值10300. 思考：在上题的解决中,你认为在解决此类问题时需要注意哪些方面? 变式运用,可以巩固初学的知识与方法,加深领会.此变式初看是题变方法不变,似乎简单.可深入后又发现不变中又有变,从而加深对此类问题求解的感悟,明白自变量取值范围的重要性,以及解题的关键是在一般策略下具体问题具体分析,而非死记硬套.从而也有效促进其认知监控水平的提高. 布置作业

1.必做题：教科书P.95 练习、习题19.2第1～7题. 2.选做题：教科书习题19.2第11、12题. 教学反思

19.2.3一次函数与方程、不等式

教学目标

①理解一次函数与一元一次方程的关系,会根据一次函数的图象解决一元一次方程的求解问题. ②学习用函数的观点看待方程的方法,初步感受用全面的观点处理局部问题的思想. ③经历方程与函数关系问题的探究过程,学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想. 教学重点与难点

重点：一次函数与一元一次方程的关系的理解. 难点：一次函数与一元一次方程的关系的理解. 教学设计

导语

前面我们学习了一次函数.实际上,一次函数是两个变量之间符合一定关系的一种互相对应,互相依存.它与我们七年级学过的一元一次方程,一元一次不等式,二元一次方程组有着必然的联系.这节课开始,我们就学着用函数的观点去看待方程(组)与不等式,并充分利用函数图象的直观性,形象地看待方程(组)不等式的求解问题.这是我们学习数学的一种很好的思想方法. 注:点明学习本节内容的必要性：(1)函数与方程、方程组、不等式有着必然的联系；(2)用函数的观点看待方程、方程组、不等式是我们学数学应该掌握的思想方法.给学生一个本节内容的大致框架. 引入新课

我们先来看下面的两个问题有什么关系：

(1)解方程2x+20=0. (2)当自变量为何值时,函数y=2x+20的值为零? 问题：

①对于2x+20=0和y=2x+20,从形式上看,有什么相同和不同的地方? ②从问题本质上看,(1)和(2)有什么关系? ③作出直线y=2x+20(建议课前作出,以免影响本节课主题),看看(1)与(2)是怎么样的一种关系? 注:用具体问题作对比,帮助学生理解. 在学生议论的基础上,教师结合教科书揭示：(1)与(2)实际上是同一个问题. 探讨归纳

从前面的讨论我们可以看到：一个一元一次方程的求解问题,可以与解某个相应的一次函数问题相一致.你认为在一般情况下,怎样的解一元一次方程问题与怎样的一次函数问题是同一的? 学生小组讨论(鼓励学生用自己的语言说明为什么同一?图象上怎么看?函数方程形式上怎么看?) 师生共同归纳(略) 让学生在探究过程中理解两个问题的同一性. 练习巩固

1.以下的一元一次方程问题与一次函数问题是同一个问题

序号

1 2 3 4 一元一次方程问题

解方程3x-2=0 解方程8x+3=0

一次函数问题

当x为何值时,y=3x-2的值为O?

当x为何值时,y=-7x+2的值为O?

解：(略) 注：第4题为开放题,鼓励学生有自己的想法与见解.如“解方程3x+5=8”与“当x为何值时,函数y=3x+5的值为8”是同一个问题等等

2.根据下列图象,你能说出哪些一元一次方程的解?并直接写出相应方程的解? 解：5x=0的解是x=0；x+2=0的解是x=-2；-3x+6=0的解是x=2；

由图象可得函数关系式是y=x-1,从而得出x-1=0的解是x=1.

注:此处练习为补充.可以帮助学生在积累了一些理性认识的基础上,增加更多的形象

了解. 综合应用

教科书例 (略) 对于解法2,还可以拓展成：对于函数y=2x+5,当y=17时,求x的值.鼓励学生进一步思考. 注:例可看成是一次函数与一元一次方程关系的一个直接应用. 归纳提高

框图化小结：

从数的角度看：

求ax+b=0(a≠O)的解x为何值时y=ax+b的值为0 从形的角度看：

求ax+b=0(a≠0)的解确定直线y=ax+b与x轴的横坐标

从数和形两方面总结,帮助学生建立数形结合的观念. 布置作业

教科书P.99 习题第8、11题. 教学反思

19.2.3一次函数与方程、不等式

教学目标

①

理解一次函数与一元一次不等式的关系,会根据一次函数的图象解决一元一次不等

式的求解问题. ②学习用函数的观点看待不等式的方法,初步形成用全面的观点处理局部问题的思想. ③经历不等式与函数关系问题的探究过程,学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想. 教学重点与难点

重点：一次函数与一元一次不等式的关系的理解. 难点：利用一次函数图象确定一元一次不等式的解集. 教学设计

复习引新

通过上节课的学习,我们已经知道,“解一元一次方程ax+b=0”与“求当x为何值时,y=ax+b的值为0”是同一个问题.现在我们来看看：

(1)以下两个问题是不是同一个问题? ①解不等式：2x-4>0 ②当x为何值时,函数y=2x-4的值大于0? 此处对教科书上引例稍作改变,让学生顺着上节课的思维,用类似的观点处理不等式问题. (2)你如何利用图象来说明②?(师生对以上两个问题一起议论,一起得出结论) 注:当y取值从上节课的等于0变成了这节课的大于0,相应的x值也由一个定值变成一个范围；如何在图象上看,对学生来说需要思维的跳跃. (3)“解不等式2x-4<0”可以与怎样的一次函数问题是同一的?怎样在图象上加以说明? 这里安排(3)是及时巩固,使学生对y

(1)让学生阅读教科书内容,读后分组讨论：

你是如何思考书上提出的问题的?你是如何理解书上最后一段的结论的? 让学生在讨论与思考中得出一般性结论. (2)师生共同归纳. 由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0的形式,所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y=ax+b的值大(小)于0时,求自变量相应的取值范围. 新知应用

1.根据下列一次函数的图象,你能求出哪些不等式的解集?并直接写出相应不等式的解集. (1) (2)

(对每一题都能写出四种情况(>0,<0,≥0,≤O),

让学生在充分理解的基础上写出对应的x的取值范围.先小组内交流,然后反馈矫正. 注:此处练习为补充.在没有涉及完整的图象法解一元一次不等式以前设计这样的练习,使画图象这一已会的过程暂时忽略,突出函数与不等式关系这一重点.同时进一步熟悉利用图象确定解集的方法. 解：

(1)(略) (2)由图象可以得出：

-x+3>0的解集是x<3；-x+3<0的解集是x>3；

-x+3≥0的解集是x≤3；-x+3≤0的解是x≥3

2.如上图,利用y=-(1)求出-5x+5的图象, 25x+5=0的解；

25(2)求出-x+5>0的解集；

25(3)求出-x+5≤0的解集

25(4)你能求出-x+5>3的解集吗? 2(5)你还能求出哪些不等式的解集呢? 解：(略) 注:第2题同样是突出本节课重点内容的一种设计.(4)(5)小题为拓展开放. 小结反思

通过以上的分析和练习,我们知道,对于一般的一元一次不等式ax+6>0,它与一次函数的求值、利用图象分析数量关系等问题关系很密切.具体见如下框图：

从数的角度看：

求ax+b>0(a≠0)的解x为何值时y=ax+b的值大于0 从形的角度看：

求ax+b>0(a≠0)的解确定直线y=ax+b在x轴上方的图象所对应的x值

对于<0、≥0、≤0的情况,让学生自己口述,使其真正理解. 注:数形结合,揭示本质. 此处归纳放在教科书例讲解以前,可以居高临下地看待具体问题的求解,特别是对该题解法的理解. 例题讲解

教科书例(略) 注:例题讲解重思路和步骤分析

解法1：

分析：将不等式转化为一般形式,再画出对应的一次函数的图象,就是我们已会的求解了. (解答过程见教科书) 解法2：

分析：

(1)

如果不将原不等式转化,能否用图象法解决呢? (2)不等式两边都是一次函数的表达式,因而实际上是比较两个一次函数在x取相同值时谁大的问题. (3)如何在图象上比较两个一次函数的大小呢? (4)如何确定不等式的解集呢? (解答过程见教科书) 归纳(见教科书) 注:点明图象法解方程、不等式既是需要,也很便利. 教师补充归纳：当画图象成为一种自觉,成为一种习惯的时候,用图象法解方程,解不等式就很直观、形象,而且对于数学的后续学习很重要.实际上,计算机完全可以代替手工绘制图象,只要输入一个解析式,就可出来一个精确的图象.

巩固练习

教科书P.98 练习第1、2题. 注:学生独立完成,及时巩固.

布置作业

1.必做题

教科书习题第9题. 教学反思

19.2.3一次函数与方程、不等式

教学目标

①理解一次函数与二元一次方程组的关系,会用图象法解二元一次方程组；

②学习用函数的观点看待方程组的方法,进一步感受数形结合的思想方法；

③经历图象法解方程组的探究过程,学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想. 教学重点与难点

重点：二元一次方程组的解与两直线交点坐标之间的对应关系的理解. 难点：对应关系的理解及实际问题的探究建模. 教学设计

复习引新

我们已经学会了如何求一个二元一次方程组的解的方法,比如可以用代入法,也可以用加减法.我们如何用函数的观点去看待方程组的解呢? 383x5y8yx首先,任何一个方程组都可以看成是两个一次函数的组合.比如可化为552xy1y2x1①

对于①,根据方程组解的意义和函数的观点,就是求当x取什么数值时,两个一次函数的y值相等?它反映在图象上,就是求直线y=-38x+和直线y=2x-1的交点坐标. 55七年级下学期学习二元一次方程组时,有一个数学活动,就谈到了,求方程组的解就是求两条直线的交点坐标. 注:有了前面两节课初步形成的函数观点,以及七年级下学期数学活动的初步接触,此处直接引入结论,学生应该能接受.可以为例3这样的实际问题留下比较充裕的探究时间. 补充例题

1.根据下列图象,你能说出哪些方程组的解?这些解是什么?

(1) (2) (3) 注:此题忽略解方程组与画图象这些已会环节,让学生直观感受本节课的主题. 2xy02.利用函数图象解方程组：

3x2y7分析：此题为图象法解方程组.让学生感受解法的全过程. 解：由2x-y=0可得y=2x;由3x+2y=7可得y=-37x+

2237x+的22在同一直角坐标系内作出一次函数y=2x的图象l1和y=-图象l2,如右图所示.(建议课前作好图象,节省课内时间) 观察右图,得l1和l2的交点为(1,2) 所以方程组2xy0x1的解为. 3x2y7y2

3.求直线y=3x+9与直线y=2x-7的交点坐标.你有哪些方法?与同伴交流,并一起分析各种方法的利弊. 解法思路1：画出图象找出交点,确定交点坐标近似值. (由于两直线斜率接近,交点的确定,因作图误差可能有较大差别) 解法思路2：由解方程组,得到交点坐标.(把形的问题归结为数的解决,便捷准确) (解答过程略) 注:此题是让学生进一步体会数与形的统一和数形的优势利用. 三道补充例题的选配层次依次是：突出关键,规范示例,灵活运用. 归纳小结

(1)对应关系

二元一次方程组的解两个一次函数图象的交点坐标

点明一次函数与二元一次方程组的关系的本质. (2)图象法解方程组的步骤：

①将方程组中各方程化为y=ax+b的形式；

②画出各个一次函数的图象；

③由交点坐标得出方程组的解. 注:概括图象法解方程组的步骤. 例题讲解

教科书例3 按照教科书分析讲解解法1、解法2.讲解时要注意让学生有主动参与、充分发表意见的时间与空间. (例3不仅仅是一次函数与二元一次方程组的关系的应用,而且涉及到数学建模及一次函数与方程不等式之间的关系等问题.实际上是11.3内容的集中体现,是本大节内容的综合应用) 巩固练习

(1)利用函数图象解方程组xy1

2xy5 (2)教科书练习

注:(1)为补充,使学生对图象法解方程组能规范的运用. 布置作业

教科书习题第11题. 教学反思