复习参考题教案1

“坐标法解决一些向量问题”教学设计

一、教学目标

1、知识目标

以问题为导向，帮助学生学会用坐标方法解决一些有疑难性的向量问题。其实也不一定是面对“疑难问题”时才想起使用“坐标法”，通过研习，要形成面对问题情“得用就用”的思维的敏捷性和自然性。

2、情感、态度、价值观

坐标法又叫解析法，是“几何代数化”的具体操作。不能明确地说“向量”是纯几何知识，但解决向量问题的方法中，确实有一种“纯向量方法”，区别于此，以坐标为工具解决向量问题的方法自然叫“坐标法”。

要促使学生认识到，学习向量法的目的是开拓解决问题的新思路、新途径。面对一个新问题，用过往的“旧”方法解决不了或者难于解决，就思谋新的方法，这本来就是人类思维所具有的进取性，也是科学技术取得进步的内在动力的最基本表现。

“坐标法”的研习，也应体现“有条件要上，没有条件创造条件也要上”的意志过程；做题面临困境，必须会分析“困境”的结症，努力明白究竟“难”在何处，这样才能有的放矢地、有效地摸索解决问题的正确途径。

建立怎样的坐标系，关乎“坐标法”的简练或者繁杂，如果陷入后者的泥潭，那么坐标法的意义就丢失了。因此，“坐标法”的研习，也应涉及“方法的优化”的思维的厚实性，要鼓励学生敢于尝试、善于修正和改进。

“坐标法”的学习和掌握，不期望做到一蹴而就，教学中也要考虑到它其实也是下一步坐标法解决立体几何问题的预演（下一步，是二维空间的方法向三维空间迁移）。

二、重点、难点，

本《复习参考题》习题课计划3课时，这是“复习参考题”习题课的第2课时，之前，通过教师的引导，学生在课内、课外基本做完了课本安排的复习参考题，然后对之前有一定难度的题实施新方法，重点就是引导学生理解坐标法引入的意义，在研习“坐标法”的过程中夯实“四基（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验、）”，训练“四能（发现问题的能力、提出问题的能力、分析问题的能力、解决问题的能力）”。

师生努力，要使本节课没有难点。

三、教学方法

启发式教学

四、教学过程

这是本章复习、提升性质的《复习参考题》习题课的第二节。前一节课，师生共做，完成了包括A4的部分《复习参考题》，笔者有导向地请学生谈谈解题体会。有一个学生“向量方面的题，感觉坐标状态下的要容易一些，入手快，运算也不‘憋拐’”的看法引起了更多学生的共鸣，教师说：“我也有同感。”我请发言的学生用“复习参考题”中的具体题目举说明他感觉的“憋拐”是怎么回事，该生举例说“像A组第4题”，学生说（其间有其他学生插嘴补充）：忽地要用向量加法，忽地要用减法，一会儿要考虑共“共起点”，一会儿又要考虑“首尾相接”，一转身，又必须来个“相等平移”，晕了，晕了，曲里拐弯，太难绕出来了，虽然老师已经讲过，但现在还是似懂非懂！听罢此言，不少学生会心地笑了。D F C 产生了此种情景，笔者感觉启发、诱导有效，于是说：想不想开辟一种少一些“憋拐”的方法呢？学生齐声几乎是吼叫：“想！”“那好，我们先来解决下E 面两个问题。还是老章程，同学充分动脑、动手，老师提示、启发。”

题一：如图，已知正方形ABCD的边长为2，E、F分别是BC、CD的中A B 点，试求：（1）ADAB；（2）ADCA；（3）AEAF.

第（1）小题，学生多套用内积的定义公式，ADAB=ADABcos＜AD，AB＞，瞬间就完成，但教师要更强调，发现AD⊥AB，就该一口说出结果为0；第（2）小题，两个向量AD和CD的模不是问题，但它们不共起点，启发学生仿照本复习参考题B1（7）及课本P.108习题2.4之A2，不难明白＜AD，CD＞=3，得出结果22；第（3）小题，初有学生想当然说＜AE，AF＞=，立44即被多数学生“反驳”，但该角究竟有多大，学生普遍茫然。教师联系三角函数角公式asinbcos=±a2b2sin()中对辅助角的理解，启发提出“反驳”的学生把自己的理由拿稳：因tan∠EAB=1，故∠EAB≠，从而＜AE，AF＞≠。所以，这个问题的困难就在于两个244向量的夹角究竟是多少呢？这样一个思考“困难”的过程，对提升学生的数学素养有重要意义，“不愤不启，不悱不发”嘛！接下来，教师轻轻一句“以A为原点建立平面直角坐标系”，学生稍一动手便恍然大悟，哇，AE=（2，1），AF=（1，2），立即有所求=2×1+1×2 = 4。不是说“坐标状态下更好做题”吗？学生或惊奇或喜悦，思维被激活，气氛活跃，顺势进入下一题。

题二

在边长为1的正△ABC中，若BC2BD，CA3CE，试求cos＜AD,BE＞。

现在，解题方法上，建系已是学生的首选，教师引导“以A为原点”和“以AB中点为原点”两种建系方法让学生对比，以形成建系的经验：尽量使相关点位于坐标轴。确定合适的原点建系之后，A、B、C三点的坐标由正△的性质得出，D、E两点的坐标用相似△知识得出，套用夹角公式cos＜AD,BE＞=C E D B ADBEADBE，得到结果1。

4A 题三

重做课本P.118复习参考题A4，以第一问为例，后续各问要求学生举一反三作为课外作业完成。

已知六边形ABCDEF为正六边形，且ACa，BDb，使用a、b表示DE。

由平面向量基本定理，设DEab，下面用坐标法来求、的值。建系如右，O为原点，设正六边形边长为2（为什么不设为1 ？），连接BE、FC、EC，由正△、R t△中30°角、勾股定理、对称性等“零碎知识”，得A（-1,0）、B（0，3）、C（2，3）、D（3，0）、E（2，3），于是aAC（3，3），bBD（3，3），DE（-1，3），题目要求用a、b表示DE，其背景是平面向量基本定理，设DEab，则（-1，3）=λ（3，3）+μ（3，3），

B C F y E A O D x

21333∴，∴DE2a1b

3333313附：对照本题的“纯向量解法”——

如右图，上方是题目的原始图形

打拼1：DEFEFD=FEAC=FEa= ？前途未卜！

打拼2：DEBEBD2CDb= ？前途未卜！

打拼3：O是正六边形的中心，P是BD中点，DEOFA F E D 2PF

3B F C E =2(BFBP)=2[(BDFD)1b]=2[(ba)1b]

3323221ab，成功！

33A O P D =“纯向量解法”中，尝试没有方向，努力前景不明，思路很难捉摸，B C 诚如学生所言，“忽地要用向量加法，忽地要用减法，一会儿要考虑共‘共起点’，一会儿又要考虑‘首尾相接’，一转身，又必须来个‘相等平移’，晕了，晕了，曲里拐弯，太难绕出来了”。但坐标法的思路几乎是“透明”的，问题指向非常明确，每一步都有目的（目标），解决问题的难度大为降低。多数学生对坐标法生了喜欢之情。

练习（课内或课外）

1、如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若ADxAByAC，求x –y. 【x133，y】

22练习1 图

2、如图，ABCD是正方形，△ABE是等腰直角三角形，H为线段CD的中点，直线EH分别交AB、AC于F、G两点，若EFGH，试求

的值.

【5】

2练习2 图

3、如图，在正方形ABCD 中，P是对角线BD上的一点，四边形PECF是矩形，用向量证明：PA⊥EF.

练习3 图

五、讨论

所谓“纯向量法”，实际就是传统的数学解题方法之“综合法”。综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”。这是数学解题（乃至数学发展）的基本方法，对于培养和训练学生的逻辑推理能力有不可替代的作用。

从控制论角度看，数学解题好比游览一座城市，解题的逻辑体系就好比城市的交通系统。好的交通系统，应当有一个“放射型”的交通中心，交通中心应该四通八达，找到它，我们到哪儿都方便。综合法是一种“串联式逻辑结构”，运用综合法解题时，思维中往往没有“交通中心”那样一个让我们俯瞰全局的制高点，或者是难于找到解决问题的头绪，或者是面对多个头绪时难于确定谁有用，这实在应当说这是综合法的一个弱点，而“坐标法”，把“形”转化为“数”（往大处说，就是“将几何代数化”），如前所言，解题思路几乎是“透明”的、可控的，思路的指向非常明确，每一步都有目的（目标），问题解决的难度大为降低。

但是，向量法并不总是简洁的，有时会加大运算量而是学生陷入繁杂的运算。教学实践中，要启发、帮助学生充分认识“综合法”和“坐标法”各自的优势与不足，有一定的能力在解题时灵活选用。无视具体问题固守一法而偏废另一法，均会陷入二元对立论的误区，有害于提升学生的数学素养。应当认识到，综合法与做法的区别，主要是一种理念（观念）上的区别，过分强调谁比谁好，就把它们局限在“解题方法”的层面上了，恰恰就在这个层面上，它们是你中有我，我中有你。其次，学生是活生生的个体，不同的学生，其思维特点往往不同，对于综合法，可能有的学生较为敏感，操作起来较为顺手，而有的学生则可能相反。对于坐标法，情形亦然。因此，教师要注重启发式教学中的“因材施教”，广义的。

启发式教学，就是根据教学目的、内容、学生的知识水平和知识规律，运用各种教学手段，采用启发诱导办法传授知识、培养能力，使学生积极主动地学习，以促进身心发展。必须充分认识到，启发式教学不仅是教学方法，更是一种教学思想，是教学原则和教学观。

李光

2018-8-12