2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优质课一等奖

2．3.2 & 2.3.3

平面向量的正交分解及坐标表示

平面向量的坐标运算

知识点一

[提出问题] 问题1：在平面内，规定e1，e2为基底，那么一个向量对e1，e2的分解是唯一的吗？

提示：唯一．

问题2：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，任作一向量OA.根据平面向量基本定理，OA＝xi＋yj，那么(x，y)与A点的坐标相同吗？

提示：相同．

问题3：如果向量OA也用(x，y)表示，那么这种向量OA与实数对(x，y)之间是否一一对应？

提示：一一对应．

[导入新知] 1．平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．

2．平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则(x，y)叫做a的坐标，记作a＝(x，y)，此式叫做向量的坐标表示．

3．向量i，j，0的坐标表示

i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．

[化解疑难] 辨析点的坐标与向量的坐标

(1)当且仅当向量的起点在原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标．

(2)书写不同，如：a＝(1,2)，A(1,2)．

(3)给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一对实数，由于向量可以平移，故以这对实数为坐标的向量有无穷多个．

(4)两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同．

即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

x1＝x2，则a＝b⇔

y1＝y2.平面向量的正交分解及坐标表示

注意：相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同.

知识点二

[提出问题] 设a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j. 问题1：a，b的坐标分别是什么？

提示：(x1，y1)，(x2，y2)．

问题2：试求3a和2a－b. 提示：3a＝3(x1i＋y1j)＝3x1i＋3y1j，

2a－b＝(2x1－x2)i＋(2y1－y2)j. 问题3：3a与2a－b的坐标分别是什么？

提示：(3x1,3y1)，(2x1－x2,2y1－y2)．

平面向量的坐标运算

问题4：若把向量OA平移到BC，则OA和BC的坐标相同吗？BC的坐标是C点的坐标吗？

提示：相同．BC的坐标不是C点坐标．

[导入新知] 平面向量的坐标运算

加法

文字

两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和

两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差

实数与向量的积的坐标等于用数乘向量

这个实数乘原来向量的相应坐标

一个向量的坐标等于表示此向重要结论

量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标

[化解疑难] 向量坐标的特点

(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．

(2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变. 若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy) 已知向量AB的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1) 符号

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2) 减法

题型一

平面向量的坐标表示

[例1]

已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和AB与AD的坐标．

[解]

由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．

设B(x1，y1)，D(x2，y2)．

由三角函数的定义，得

x1＝cos 30°＝∴B31，y1＝sin 30°＝，

223，1. 2213x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝，

2231∴D－，22. ∴AB＝3，1，AD＝－1，3. 2222[类题通法] 求点和向量坐标的常用方法

(1)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．

(2)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．

[活学活用] 已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA|＝43，∠xOA＝60°. (1)求向量OA的坐标；

(2)若B(3，－1)，求BA的坐标．

答案：(1)OA＝(23，6)

(2)BA＝(3，7) 题型二

平面向量的坐标运算

[例2]

(1)已知三点A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，则向量3AB＋2CA＝__________，BC－2AB＝________. (2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标．

[解]

(1)(11,13)

(－7，－14) (2)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)；

a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)；

3a＝3(－1,2)＝(－3,6)；

2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5) ＝(－2,4)＋(9，－15) ＝(7，－11)．

[类题通法] 平面向量的坐标运算技巧

在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算(直角坐标运算法则即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差，数乘向量的积的坐标等于数乘向量相应坐标的积)．

[活学活用] 1．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于(

) 1313A．－a＋b

B.a－b

222231C.a－b

22答案：B 2．若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC等于(

) A．(－2，－4) C．(6,10) 答案：A 题型三

由向量相等求坐标

B．(3,4)

D．(－6，－10) 31

D．－a＋b

22[例3]

(1)若a＝(－1,2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，且c＝pa＋qb，则p＝________，q＝________. (2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且CM＝3CA，CN＝2CB，求M，N及MN的坐标．

[解]

(1)1

4 (2)由A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，

可得CA＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)，

CB＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)，

所以CM＝3CA＝3(1,8)＝(3,24)，

CN＝2CB＝2(6,3)＝(12,6)．

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则CM＝(x1＋3，y1＋4)＝(3,24)，x1＝0，y1＝20；

CN＝(x2＋3，y2＋4)＝(12,6)，x2＝9，y2＝2，

所以M(0,20)，N(9,2)，

MN＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．

[类题通法] 坐标形式下向量相等的条件及其应用

(1)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．

(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可求某些参数的值．

[活学活用] 已知a＝AB，B点坐标为(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求点A的坐标．

答案：A(8，－10) 题型四

向量坐标运算的应用

[例4]

(12分)已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且OP＝OA＋tAB，试问：

(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？

(2)四边形OABP可能为平行四边形吗？若可能，求出相应的t值；若不可能，请说明理由．

[解题流程]

[规范解答] 由题可知OA＝(1,2)，AB＝(3,3)，

[名师批注] 由向量坐标与点的坐标之间的关系可知，向量OP的坐标就是P点坐标．正确求解OP的坐标是后续解题的关键．

点在x轴上，只需纵坐标为0即可．

OP＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．(2分) (1)若P在x轴上，

2则有2＋3t＝0，t＝－；(3分) 3

1若P在y轴上，则有1＋3t＝0，t＝－；(43分)

点在y轴上，只需横坐标为0即可．

点在第二象限，需横坐标小于0，纵坐

1＋3t<0，若P在第二象限，则有2＋3t>0，



标大于0.此处易搞混坐标符号而导致解题错误．

假设四边形OABP是平行四边形，则21解得－

(2) PB＝PO＋OB＝(－1－3t，－2－3t)＋(4,5) ＝(3－3t，3－3t)．(8分) 若四边形OABP是平行四边形，则有OA＝OA＝PB.由OA＝PB相等求t，依据t是否有解判断假设是否成立即可．此处易出现找不到关于t的关系式而造成无法求解的PB

，(10分) 3－3t＝1，即方程组显然无解．(11分) 3－3t＝2，

情况.

∴四边形OABP不可能是平行四边形．(12分)

[活学活用] 如图，已知平行四边形的三个顶点坐标分别为A(4,3)，B(3，－1)，C(1，－2)，求第四个顶点D的坐标．

答案：点D的坐标是(2,2)或(6,4)或(0，－6)