小结课时教案

平面向量基本定理再认识教学设计

------平面向量基本定理系数性质的探究及应用

教学内容解析：平面向量问题一直在高中数学中以数学工具的形式出现，它很好地体现了数学知识间的联系与迁移，具体到平面向量基本定理，又在向量这部分知识中占有重要地位，是向量坐标法的基础，是联系几何和代数的桥梁，是集几何图形的直观与代数运算的简捷于一身，在解决平面几何问题时能起到奇特的作用。在用向量解决平面几何问题时，首先就是要将几何关系转化为向量表示（即选择适当的基底），然后再借助向量运算来解决。因此，本节课实际就是让学生学会：平面向量基本定理系数性质的探究及应用，知道将几何关系及代数（系数关系）关系的转化，并解决平面向量基本定理系数和的问题。

教学要求和高考要求：理解平面向量基本定理及其意义，会有平面向量基本定理解决简单问题，本节对平面向量基本定理再认识并解决一类简单的向量问题。

学情分析：学生已经学***面向量的一些基本概念、向量运算、向量共线的充要条件、平面向量基本定理和平面向量共线的坐标表示等，具有一定的向量知识。

教学目标：

1、在平面向量基本定理的表达式中，研究两系数的和线性表达式性质（等值线）；并运用其性质解决系数的和有关的向量问题；

2、掌握数形结合的思想方法；

教学重点：理解两系数的和线性表达式性质（等值线）并运用；

教学难点：理解两系数的和线性表达式性质（等值线）并运用；

教学过程：

【课前热身】

1.已知A、B、C三点共线，O为线段AB外一点，OCmOAnOB，则实数m+n的值为

，若AC4CB,则实数m的值为

. 2.如图1，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于两点M、N，若ABmAM,ACnAN，则实数m+n的值为

．

ANPBC图1 3.如图2，在ABC中，AN实数m的值是

．

【温故而知新】

图2 12NC，P是BN上一点，若APmABAC，则311复习1：定理1(平面向量基本定理)：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向

1

量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2不共线的向量e1、e2，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

λ1、λ2称作平面向量基本定理系数. 探究一

1.(必修四第102页习题B组改编)如图3，设Ox、Oy是平面内相交的两条数轴，e1、e2分别与x轴y轴方向相同的向量，若向量，若OP=xe1+ye2，则把有序实数对（x,y）叫做向量OP在坐标系xOy中的坐标.

(1) 由平面向量基本定理，本题中向量坐标的规定合理吗？

(2) Ox、Oy把平面分成四部分，试分析向量OP的终点P位置与坐标（x,y）符号关系？联系.在直角坐标系中，向量OP的终点P位置与坐标（x,y）符号关系，有何体会？

y

OP

e1

e1

x O

图3 （体会斜坐标系——直角坐标系推广和特殊化的过程）

复习2：定理2（三点共线定理）在平面内，设O、A、B是不共线的三点，对平面内的任意一点P，有OP=xOA+yOB，则P在直线AB上的充要条件为xy1. 探究二

1. 定理2中，点P为线段AB的中点，则x=?,若点P为线段AB的三等分点呢？1反之x=

4则指出点P、A、B位置关系. (体会1.点P在直线AB位置确定，相应的系数也确定，反之也成了；当点P在直线AB上移动，相应的系数也变化，但其和不变,) 2. 若OA，OB为正交基底且为单位向量，在直角坐标系中，分别取与x轴y轴方向相同的单位向量OA，OB，有平面向量基本定理得向量OP=xOA+yOB，P

2

在直线AB上，则有xy1？与定理2比较，有何体会？

3.由定理1得：OP=xOA+yOB，若以x,y作为有序实数对（x,y）,以OAx轴，OBy轴类比直角坐标系建立斜坐标系，若直线l平行直线AB ，点P在直线l上运动，有平面向量基本定理得OP=xOA+yOB，你能得到什么结论？你能证明吗？（xyk，k为定值）通过探究得如下结论：点P在直线l

1. 直线l恰为直线AB时，k=1 2. 直线l在点O与直线AB之间时，k0,1

3. 直线l与点O在直线AB两侧时，k1,+，

4．直线l过点O时，k=0

5. 直线l与直线AB在点O两侧时，k,0，

6.定值k的变化与直线l到点O的距离成正比。

7.各区域内xy范围如下图4

图4

（再次体会斜坐标系——直角坐标系推广和特殊化的过程）

3

【小试牛刀】

例1：给定两个长度为1的平面向量OA、OB，其夹角为120，点C在以O为圆心的圆弧AB上的一个动点．若OCxOAyOB，xR,yR,则xy的最大值是

．

试一试.(2017年全国高考数学卷3第12题)在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若APABAD，则的最大值为（

）

A.

3

B. 22

C.

例2.如图5，在扇形OAB中，AOB600，C为弧AB上的一个动点，

若OCxOAyOB，则x3y的取值范围是

．（答案：[1,3]）

B分析：注意到所求式为x3y，将题中的yOB调整为3yOB1．

5

D.

2 C

OA

图5

说明：本题若用向量坐标的代数方法求解，运算较繁，且需要三角换元等一定的技巧，而通过构造三点共线，巧妙地得到x3y，可谓事半功倍．

（归纳步骤，联系线性规划求最值的步骤）

解题步骤

1、确定等值线为1 的线；

2、平移该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；

3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；

几点补充

1、平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；

2、若需要研究的是两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和；

4

例3.如图6，OM//AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且OPxOAyOB，则x的取值范围是

；1当x时，y的取值范围是

．

2

P

B M

O A图6

变式.已知点P为ABC所在平面上的一点，且AP1ABtAC，其中t为实数，3若点P落在ABC的内部，则t的取值范围是（

）

A.0t11

B.0t

43

C.0t1

2

D.0t2

3

【试一试】

1.如图，C、M分别是OA,OB的中点且CM//AB，点P在由CM延长线、线段MB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且OPxOAyOB，则x的1取值范围是

；当x时，y的取值范围是

．

2

P M B O CA 2.在正六边形ABCDEF中，点P是CDE（含边界）的动点，设APxAByAF, xR,yR,则xy取值范围是

．

5

【课堂小结】本节课复习了哪些内容，主要有哪些常规解法？渗透了哪些数学思想方法？如何选择最合适的解法？通过本节课，你学习得到哪些启示？

【课后作业】

1.（2006江西高考理科7）已知等差数列an的前n项和为Sn，若，则S200＝（

）

OBa1OAa200OC且A,B,C三点共线（该直线不过原点O）A．100

B. 101

C.200

D.201 2.如图所示，A,B,C是圆O上的三点，CO的延长线与线段AB交于

OADCB圆内一点D，若OCxOAyOB，则（

）

A．0xy1

B．xy1

C．xy1

D．1xy0

3. 如下图所示，两射线OA与OB交于点O，下列5个向量中，

3131①2OAOB，

②OAOB，

③OAOB，

43451131④OAOB，⑤OAOB．

2345若以O为起点，终点落在阴影区域内（含边界）的向量有（

）个．

A．1

B．2

C．3

D．4 4.已知平面内三点P,Q,C共线，O是直线外一点，则OCOP(1)OQ，在下列各情况下，写出的取值范围：

（1）点C在线段PQ内，则的范围是

；

（2）点C在线段PQ的延长线上，则的范围是

；

（3）点C在线段QP的延长线上，则的范围是

．

5 .已知点G是ABO的重心，且PQ过ABO的重心G，设OAa，OBb，OPma，OQnb，则11的值是

．

mn6.已知D是ABC的边BC延长线上一点，记ADAB(1)AC．若关于x的2方程2sinx(1)sinx1在0[0,2)上恰有两解，则实数的取值范围是

．

7．(2015届河南省南阳市一中高三下学期第三次模拟)如图，已知正方形ABCD的边长为1，E在CD延长线上，且DECD．动点P从点A出发沿正方形ABCD的

6

边按逆时针方向运动一周回到A点，其中APABAE，则下列命题正确的．．是

．（填上所有正确命题的序号）

①0,0；②当点P为AD中点时，1；

③若2，则点P有且只有一个；④的最大值为3；⑤APAE的最大值为1．

8.在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC3CD，点O在线段CD上（与点C,D不重合），若AOxAB(1x)AC，则x的取值范围是（

）

1111A．(0,)

B．(0,)

C．(,0)

D．(,0)

2323

7