复习参考题ppt课件教学实录

第18讲

立体几何中的向量方法

教学目标：熟练掌握用向量法解决立体几何中的求角问题，培养学生的运算能力和逻辑推理能力。

教学重点：用向量法求空间角

教学难点：建系、求角

教学过程：

一、[全国卷3年考情分析]

年份

卷别

考查内容及考题位置

命题分析

卷Ⅰ

2017

卷Ⅱ

卷Ⅲ

卷Ⅰ

2016

卷Ⅱ

卷Ⅲ

卷Ⅰ

2015

卷Ⅱ

二面角的余弦值的求解·T18(2) 二面角的余弦值的求解·T19(2) 二面角的余弦值的求解·T19(2) 二面角的余弦值的求解·T18(2) 二面角的正弦值的求解·T19(2) 线面角的正弦值的求解·T19(2) 异面直线所成角的求解·T18(2) 线面角的正弦值的求解·T19(2)

高考对此部分的命题较为稳定，一般为解答题，多出现在第18或19题的第二问的位置，考查利用空间向量求异面直线所成的角、线面角或二面角，难度中等偏上. 二、问题导入

(1)

求证：M为PB的中点；

(2)

求异面直线AM与BD所成的角的余弦值

(3)求二面角B-PD-A的大小；

(4)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．

思考：怎样解决这类问题？

讨论得出解题方法：

1、

证中点想中位线

2、直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算

设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，

b＝(a2，b2，c2)．平面α，β的法向量分别为

m＝(a3，b3，c3)，n＝(a4，b4，c4)(以下相同)．

（1）线线角

（2）线面角

注意：线面角求出的就是正弦。

（3）二面角

(3)面面夹角

设平面α，β的夹角为θ(0≤θ≤π)，

|m·n|则|cos θ|＝|m||n|＝|cos〈m，n〉|.

提醒：求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析．

三、典例分析

例1：(2017·北京卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝6，AB＝4. (1)

求证：M为PB的中点；

(2)

求异面直线AM与BD所成角的余弦值

(3)求二面角B-PD-A的大小；

(4)

求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．

①

②

③

④

⑤

(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：

建立恰当的空间直角坐标系；

求出相关点的坐标；

写出向量坐标；

结合公式进行论证、计算；

转化为几何结论．

(2)求空间角注意：

①

两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cos α＝|cos β|. ②

两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角．

例2、如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC＝6，AD＝8，BC＝10，

∠PAD＝45°，E为PA的中点．

(1)求证：DE∥平面BPC；

(2)线段AB上是否存在一点F，满足CF⊥DB？若存在，试求出二面角F-PC-D的余弦值；若不存在，请说明理由．

(1)证明：取PB的中点M，连接EM和CM，过点C作CN⊥AB，垂足为点N. 因为CN⊥AB，DA⊥AB，所以CN∥DA，

又AB∥CD，所以四边形CDAN为平行四边形，

所以CN＝AD＝8，DC＝AN＝6，

在Rt△BNC中，BN＝BC2－CN2＝102－82＝6，

所以AB＝12，而E，M分别为PA，PB的中点，

所以EM∥AB且EM＝6，

又DC∥AB，

所以EM∥CD且EM＝CD，四边形CDEM为平行四边形

(2)由题意可得DA，DC，DP两两互相垂直，如图，以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，

则A(8，0，0)，B(8，12，0)，C(0，6，0)，P(0，0，8)．

假设AB上存在一点F使CF⊥BD，设点F(8，t，0)，

空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断．解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法．

小结：这节课你学到了什么？

作业：