2.1.2 向量的几何表示课件配套优秀

向量的几何表示

厦门实验中学 杜晓欢

一、教学设计

1.教材内容分析

本节课是

《普通高中课程标准实验教科书·数学 4》（人教 A 版）第二章第一节“平面向量的实际背景及基本概念”．

本节属于概念性知识，是向量知识体系中的起始内容，起着为其他知识学习奠基的重要作用．一方面，它能为其他向量知识的学习奠基，通过了解向量的实际背景，理解向量的含义及几何表示等内容，奠定学生学习向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示和平面向量数量积的知识基础；另一方面，它能为学习新的数学对象奠基，学生通过认识向量，形成向量相关概念的过程，可以获得认识其他数学对象的基本方法和途径，可以为学习和研究其他数学对象奠定方法基础． 2.教学目标设置

（1）理解向量的概念，掌握向量的表示方法；

（2）理解特殊的向量：零向量、单位向量；理解向量的几种特殊关系：平行

（共线）

向量、相等向量；

（3）体会研究一个数学新对象的基本方法；

（4）经历借助有向线段表示向量的操作过程，体会数学的实用性、表达的简洁美．

3.学生学情分析

学生已经具备的认知基础以及达成教学目标时所需要具备的认知基础如下：

（1）在物理学中，已经知道位移、速度、加速度等是既有大小又有方向的物理量

（矢量）；（2）知道可以借助有向线段来作位移的图示；

（3）已经经历并了解实数的形成过程；

（4）对实际生活中的一些常见的量，能识别它们是否具有大小、方向；

（5）在以前的学习中，能运用类比的思想发现问题、提出问题，进而解决问题．

但是，高一学生在思维辨析方面还比较薄弱．

基于上述分析，本节课的教学重点除了向量的概念、向量的表示方法、相等向量和共线向量等概念之外，更为重要的是获得这些概念的“基本套路”，即获得数学研究对象、认识数学新对象的基本方法，用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径. 本节课的教学难点在于向量相关概念的形成．这是学生获得新的数学对象的基本方法、基

本套路的重要体现，需要学生思维的灵活性和思考的主动性．

4.教学策略分析

采用启发引导式、探究讨论式的教学方式．在情景引入时进行德育渗透．在向量概念的抽象过程中，引导学生经历从具体事例（位移）中领悟向量概念的本质特征，类比直线（段）的基本关系认识向量的基本关系，体会科学知识间的相互联系和发展过程，培养严谨的治学态度，为不懈努力、不断追求、勇于创造的人生观、价值观打下基础．要使学生从中体会到认识一个数学概念的“基本套路”：从具体背景中抽象出共同本质特征——定义——表示——定义“相等”、“单位元”，“0元”——某些特殊关系，培养学生用联系的观点，类比的方法研究向量，拓宽数学视野，发展能力．

教学流程：

情景引入——探究新知——巩固提升——归纳小结

二、教学过程

1.问题情境：

地图导航播报过程中，我们会听到哪些关键信息？

设计意图：向量概念不是凭空产生的。用这一简单直观的问题让学生感受“既有大小又有方向的量”的客观存在，自然引出学习内容，学生会产生亲切感，有助于激发学习兴趣．

2.探究新知：

（1）

向量的概念

问题1 请你举出一些既有方向，又有大小的量？

设计意图：激活学生的已有相关经验．

（学生能容易地举出位移、速度、加速度等物理中学过的量．）

追问：生活中有没有只有大小，没有方向的量？请你举例．

设计意图：形成区别不同量的必要性．

（学生所举的例子有年龄、身高、面积等．）

概念抽象需要典型丰富的实例．让学生举例可以观察到他们对概念属性的领悟，形成对概念的初步认识，为进一步抽象概括做准备．

教师：由同学们的举例可见，现实中有的量只有大小没有方向，有的量既有大小又有方向．数学中对位移、速度……这些既有大小又有方向的量进行抽象，就形成一种新的量——向量．

向量——既有大小又有方向的量

数量——只有大小没有方向的量

设计意图：由学生熟悉的知识引入，以此更加自然地引入向量概念，并建立学习向量的认知基础．

（2）向量的表示

问题2 定义概念后，通常要用符号表示它．从向量的定义看，向量是既有大小又有方向的量，那么该怎样把向量表示出来呢？

由学生小组讨论,若没有结论可适时引导

设计意图：以鲜明的表象(如位移等)作为过渡,使学生在鲜活的感知、抽象的过程中经历概念的抽象、概括和符号化的过程. 教师：约公元前350年，伟大的古希腊哲学家、科学家的亚里士多德（前384~前322）就知道了力可以表示为矢量，但英国科学家牛顿（1642年12月25日~1727年3月31日）被认为是最先使用有向线段来表示矢量的. 这是向量的“形”的表达方式，为了更简洁地表达，我们也可用符号语言表示．类比几何中有向线段及有向线段长度的表示方法，得到向量及向量大小的表示方法：

①

几何表示法：常用一条有向线段表示向量(如图所示).

②

符号表示：以A为起点、B为终点的有向线段，记作AB.(注意起终点顺序). ③

字母表示法：可表示AB为a.(一定要学生规范书写:印刷用黑体a,书写用a) ④

向量AB的大小———向量AB长度（或称为向量的模）. 记作：AB. 设计意图：（1）作为对一个新事物的形象表示，教师有必要做准确的陈述，并加以强调．（2）结合学生的描述，教师引导学生适时拓展，得到向量的多种合情合理的表示．（3）在教师引导下，理应有学生可以想到借助于有向线段来表示向量，教师借此机会进行表扬，称赞其想法与大数学家牛顿的想法不谋而合，赞扬学生的同时，渗透数学史的知识．（4）强化学生的符号意识和规则意识．

练习（作图题）：

在坐标纸上（每个小方格的边长均为1）用直尺划出下列向量：

①OA，使OA4，点A在点O的正南方向；

②OB，使OB22，点B在点O的北偏西45方向. 思考：

①

AB与BA相同吗？AB与BA相同吗？② 若ab，则一定有ab吗？

设计意图：启发学生时刻注意向量的方向性. 得到了向量的常见表示方法之后，通过类比线段的表示方法和实践操作，结合向量的特殊性，加深学生对向量概念的进一步理解．

（3）

两个特殊向量

问题3

在实数集中，0和1是两个特殊的元素，0是正负分界点，有0就可以定义相反数，1是单位，作用很大。类比实数，在向量中，你认为哪些向量比较特殊？

（学生普遍认为零向量、单位向量是特殊的．）

①

零向量——长度为零的向量，记作0. 规定：零向量的方向是任意的． ②

单位向量——长度等于1个单位长度的向量．

（4）相等向量、平行向量、共线向量、相反向量的概念

问题4 观察图中的正六边形ABCDEF．给图中的任意两个线段加上箭头表示向量，并说说你所标注的向量之间的关系．（举例）

EODFCAB设计意图：不是先给出相等向量、平行向量、共线向量、相反向量的定义，再做练习巩固，而是让学生参与概念的形成过程，使概念成为学生观察、归纳、概括之后的自然产物．

留给学生足够的时间，并提出问题5，组织学生交流．

问题5 你是怎样研究的？比如，你画了哪几个向量？你认为它们有怎样的关系？

结论:

相同

(1)从方向来看:

相反

相交(有夹角)

相等

(2)从大小来看

:

不相等

(3)从大小和方向一起看:

相等

方向相同：大小

不相等

相等

方向相反：大小

不相等

方向既不相同也不相反

教师：任意两个非零向量之间的关系，我们将在本章中逐步学习，这节课我们先学习其中的特殊关系，那么从方向来看大家认为哪些向量的关系是特殊的？

设计意图：引导学生由方向相同或相反的向量得出平行向量的定义．

引导学生积极参与小组活动，获得数学的基本活动经验．在活动中渗透公平价值，人人有参与的意识，人人有发言的机会，营造互相关心、互相帮助，和睦友好的团队关系．

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,记作ab．规定：0与任一向量平行．

教师：从大小和方向一起看，又有哪些向量是特殊的？

由学生讨论得出结论：

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作ab

长度相等且方向相反的向量叫做相反向量，记作ab

并得到结论：只要大小和方向不变，向量和位置无关，可以在平面内任意平移．

设计意图：强调向量是自由的，并联系价值观中的自由，自由是指人的意志自由、存在和发展的自由．

问题6 如果图中的三个向量的起点平移到同一起点O处，

那么这三个向量的位置有何特征? 结论：平行向量又叫做共线向量．

'EOD

AB

'

O

FC3. 巩固提升

学案第2题：

给出下列六个命题：

①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

②若|a||b|，则ab；

③若ABDC，则四边形ABCD是平行四边形；

④平行四边形ABCD中，一定有ABDC；

⑤若mn，nk，则mk；

⑥ab，bc，则ac. 其中不正确的命题的个数为（

）

A.

2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个

学案第11题：

已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量AB是平行向量，与BC是共线向量，则m＝________. 设计意图：巩固所学知识，解决学生认知中存在的问题.

4. 归纳小结 教师：能否用思维导图将本课学习的内容作一个小结. 引导学生进行反思小结,给出如下思维导图：

教师补充：今天我们学习向量的概念及其表示方法，并初步研究了向量这个集合，发现了其中的两个特殊向量，以及向量之间的一些特殊关系．同学们要认真体会其中的基本思路，即：从同类具体事例中抽象出共同本质特征——下定义——符号表示——认识特殊对象——考察某些特殊关系．

另外，我们用类比数集的方法初步认识了向量的集合．我们知道，引进一种新的数，就要研究关于它的运算，就要研究相应的运算律．今天我们引进了一个新的量——向量，下面我们该研究它的哪些问题？如何研究？

设计意图：通过类比“数及其运算”而获得研究的内容与方法的启发，再一次体会研究

一类新的数学问题的基本套路，为本章后面的知识作铺垫．

５.课后作业

1.本节课后练．

2.在实际的生活中还有许多离不开方向和大小的实例，请大家在课后进行收集、讨论．

设计意图：通过作业，进一步内化学生的认知结构，并弄清知识和方法上的易混点、易错点；培养学生的动手实践、合作探究能力，让学生进一步体会数学的科学价值和应用价值，增强学生学习数学的兴趣，激发学生的学习热情．

6.板书设计

2.1.2 向量的几何表示

向量：既有大小又有方向 一、

向量的几何表示

二、

特殊向量

三、

相等向量与共线向量

应用（思考及练习题）