探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质课堂实录【2】

第三节

三角函数的图像与性质

[考纲传真]

(教师用书独具)1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图像，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大ππ值和最小值、图像与x轴的交点等)，理解正切函数在区间－2，2内的单调性

．教学目标



1．理解并掌握作正弦、余弦函数图象的方法．



2．理解并熟练掌握用五点法作正弦函数简图的方法．



3. 培养学生数形转化的能力。



教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦、余弦函数的图象．



教学难点：理解弧度值到轴上点的对应。开始时，教学过程要慢一些，让学生有一个形成正确概念的过程。在小学度量角度使用的进制，弧度用弧长（十进制）度量，再转化为轴上的有向长度。实践证明，这个抽象过程对初学者有一定的难度。

(对应学生用书第51页) [基础知识填充] 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

π正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,0)，2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．

π余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,1)，2，0，(π，－3π1)，2，0，(2π，1)．

2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质

函数

图像

y＝sin x y＝cos x y＝tan x

定义域

值域

R

[－1,1]

递增区间：R

[－1,1]

递增区间：

πxx≠kπ＋，k∈Z

2

R

单调性

2kπ－π，2kπ＋π，[2kπ－π，2kπ]，

22k∈Z，

k∈Z，递减区间：递减区间：

π3π2kπ＋，2kπ＋22[2kπ，2kπ＋π]，

，k∈Z

k∈Z

偶函数

对称中心对称中心(kπ，0)，k∈Z

πkπ＋2，0，k∈Z

π对称轴x＝kπ＋2(k∈Z)

对称轴x＝kπ(k∈Z) 2π

递增区间

ππkπ－2，kπ＋2，

k∈Z

奇偶性

奇函数

奇函数

kπ对称中心2，0，k∈Z

对称性

π

周期性

2π

[知识拓展]

1.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则

π(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝2＋kπ(k∈Z)；

(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．

2．f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)．

π(1)f(x)为奇函数的充要条件：φ＝kπ＋2，k∈Z. (2)f(x)为偶函数的充要条件：φ＝kπ，k∈Z. [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)常数函数f(x)＝a是周期函数，它没有最小正周期．(

) (2)函数y＝sin x的图像关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称．(

) (3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(

) (4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(

)

(5)y＝sin |x|是偶函数．(

) [答案]

(1)√

(2)√

(3)×

(4)×

(5)√

π2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋3的最小正周期为(

) A．4π

C．π

B．2π

πD．2

π2πC

[函数f(x)＝sin2x＋3的最小正周期T＝2＝π.故选C．] 3．函数y＝tan 2x的定义域是(

)

kππB．xx≠2＋8，k∈Z

πC．xx≠kπ＋8，k∈Z

kππD．xx≠2＋4，k∈Z

πA．xx≠kπ＋4，k∈Z

πkππD

[由2x≠kπ＋2，k∈Z，得x≠2＋4，k∈Z，

所以y＝tan 2xkππ的定义域为xx≠2＋4，k∈Z

.] 1π4．函数y＝sin2x＋3，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是(

) 5πA．－2π，－3

5ππC．－3，3

5ππB．－2π，－3和3，2π

πD．3，2π

ππ1πC

[令z＝2x＋3，函数y＝sin z的单调递增区间为2kπ－2，2kπ＋2(k∈Z)，π1ππ5ππ由2kπ－2≤2x＋3≤2kπ＋2得4kπ－3≤x≤4kπ＋3，而x∈[－2π，2π]，故其5ππ单调递增区间是－3，3，故选C．] ππ5．(教材改编)函数f(x)＝sin2x－4在区间0，2上的最小值为________．



π2ππ3π－2

[由已知x∈0，2，得2x－4∈－4，4，

πππ2所以sin2x－4∈－，1，故函数f(x)＝sin2x－4在区间0，2上的最22小值为－2.]

(对应学生用书第52页)

π

(1)(2016·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝cos 2x＋6cos2－x的最大值为(

) A．4

C．6

(2)函数y＝lg sin x＋(1)B

B．5

D．7 1cos x－2的定义域为________．

π[(1)∵f(x)＝cos 2x＋6cos2－x＝cos 2x三角函数的定义域与值域

π(2)x|2kπ＜x≤3＋2kπ，k∈Z

＋6sin x

3211＝1－2sinx＋6sin x＝－2sin x－2＋2，

2又sin x∈[－1,1]，∴当sin x＝1时，f(x)取得最大值5.故选B．

(2)要使函数有意义，则有

sin x＞0，1cos x－2≥0，

sin x＞0，即1cos x≥2，

2kπ＜x＜π＋2kπ，解得ππ－＋2kπ≤x≤3＋2kπ3π∴2kπ＜x≤3＋2kπ，k∈Z. ∴函数的定义域为

(k∈Z)，

πx2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z.] 3[规律方法]

1.三角函数定义域的求法

求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式组，常借助三角函数线或三角函数图像来求解. 2.求三角函数最值或值域的常用方法

1直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解. 2化一法：把所给三角函数化为y＝Asinωx＋φ＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域. 3换元法：把sin x，cos x，sin xcos x或sin x±cos x换成t，转化为二次函数求解. π[跟踪训练]

(1)已知函数y＝2cos x的定义域为3，π，值域为[a，b]，则b－a的值是(

) A．2

B．3

C．3＋2

D．2－3 (2)函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x，x∈[0，π]的值域为________．

1π(1)B

(2)[－1,1]

[(1)∵x∈3，π，∴cos x∈－1，2，∴y＝2cos x的值域为[－2,1]，

∴b－a＝3. (2)设t＝sin x－cos x，

则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，

1－t2即sin xcos x＝2，且－1≤t≤2. t211∴y＝－2＋t＋2＝－2(t－1)2＋1. 当t＝1时，ymax＝1；

当t＝－1时，ymin＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]．]

三角函数的单调性

π

(1)函数f(x)＝sin－2x＋3的单调减区间为________.

【导学号：79140111】

πππ(2)若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间0，3上单调递增，在区间3，2上单调递减，则ω＝________. π5ππ3kπ－，kπ＋2x－(1)，欲求1212(k∈Z)

(2)2

[(1)由已知函数为y＝－sin3π函数的单调减区间，只需求y＝sin2x－3的单调增区间即可．

πππ由2kπ－2≤2x－3≤2kπ＋2，k∈Z，

π5π得kπ－12≤x≤kπ＋12，k∈Z. π5π故所求函数的单调减区间为kπ－12，kπ＋12(k∈Z)．

(2)∵f(x)＝sin ωx(ω＞0)过原点，

ππ∴当0≤ωx≤2，即0≤x≤2ω时，y＝sin ωx是增函数；

π3ππ3π当2≤ωx≤2，即2ω≤x≤2ω时，y＝sin ωx是减函数．

π由f(x)＝sin ωx(ω＞0)在0，3上单调递增，

ππ3ππ在3，2上单调递减知，2ω＝3，∴ω＝2.] [规律方法]

1.求三角函数单调区间的两种方法

1代换法：求形如y＝Asinωx＋φω＞0的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.若ω＜0，应先用诱导公式化x的系数为正数，以防止把单调性弄错. 2图像法：画出三角函数的图像，利用图像求它的单调区间. 2.已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解. π3π[跟踪训练]

(1)函数y＝|tan x|在－2，2上的单调减区间为________.

【导学号：79140112】

π(2)已知函数f(x)＝sin2x＋6＋cos 2x，则f(x)的一个单调递减区间是(

) π7πA．12，12

π2πC．－3，3

5ππB．－12，12

π5πD．－6，6

πππ3π－，0，π和2

(2)A

[(1)如图，观察图像可知，y＝|tan x|在－2，2(1)2ππ上的单调减区间为－2，0和2，π. 

π31(2)由题意得f(x)＝sin2x＋6＋cos 2x＝2sin 2x＋2cos 2x＋cos 2x＝3πππ3ππ7πsin2x＋3，由2＋2kπ≤2x＋3≤2＋2kπ，k∈Z，得12＋kπ≤x≤12＋kπ，π7πk∈Z，令k＝0，得函数y＝f(x)的一个单调递减区间为12，12，故选A．] 

三角函数的奇偶性、周期性、对

◎角度1

三角函数的奇偶性与周期性

ππ

(1)在函数：①y＝cos|2x|；②y＝|cos x|；③y＝cos2x＋6；④y＝tan2x－4中，最小正周期为π的所有函数为(

) A．②④

C．①②③

2称性

B．①③④

D．①③

3πx－(2)函数y＝1－2sin是(

) 4A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为π的偶函数

πC．最小正周期为2的奇函数

πD．最小正周期为2的偶函数

(1)C

(2)A

[(1)①y＝cos|2x|＝cos 2x，T＝π.

②由图像知，函数的周期T＝π.

③T＝π.

π④T＝2. 综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③. 3π3π(2)y＝1－2sin2x－4＝cos 2x－4＝－sin 2x，所以f(x)是最小正周期为π的奇函数．] ◎角度2

三角函数的对称性

π

(1)(2018·东北三省四市模拟(一))已知函数f(x)＝2sinωx＋6(ω＞0)的周期为π，则下列选项正确的是(

) πA．函数f(x)的图像关于点6，0对称

πB．函数f(x)的图像关于点－12，0对称

πC．函数f(x)的图像关于直线x＝3对称

πD．函数f(x)的图像关于直线x＝－12对称

π5π(2)已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x＝4和x＝4是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ＝(

) πA．4

πC．2

πB．3

3πD．4

π2ππ(1)B

(2)A

[(1)因为ω＝T＝2，所以f(x)＝2sin2x＋6.由2x＋6＝kπ(k∈Z)，kπππ得x＝2－12(k∈Z)，当k＝0时，x＝－12，所以函数f(x)的图像关于点π－12，0对称，故选B．



π2π5(2)由题意得ω＝24π－4，∴ω＝1，

πππ∴f(x)＝sin(x＋φ)，∴4＋φ＝kπ＋2(k∈Z)，φ＝kπ＋4(k∈Z)，又0＜φ＜π，∴φπ＝4，故选A．] [规律方法]

1.函数fx＝Asinωx＋φ的奇偶性与对称性

1若fx＝Asinωx＋φ为偶函数，则当x＝0时，fx取得最大或最小值；若fx＝Asinωx＋φ为奇函数，则当x＝0时，fx＝0. 2对于函数y＝Asinωx＋φ，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点x0，0是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验fx0的值进行判断. 2.求三角函数周期的方法：

1利用周期函数的定义. 2π2利用公式：y＝Asinωx＋φ和y＝Acosωx＋φ的最小正周期为|ω|，y＝tanωxπ＋φ的最小正周期为|ω|. 3借助函数的图像. π[跟踪训练]

(1)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cosx＋3，则下列结论错误的是(

) A．f(x)的一个周期为－2π

8πB．y＝f(x)的图像关于直线x＝3对称

πC．f(x＋π)的一个零点为x＝6

πD．f(x)在2，π单调递减

4π(2)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图像关于点3，0中心对称，那么|φ|的最小值为(

) πA．6

πB．4

πC．3

πD．2

π(1)D

(2)

A

[(1)A项，因为f(x)＝cosx＋3的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确．

ππB项，因为f(x)＝cosx＋3图像的对称轴为直线x＝kπ－3(k∈Z)，所以y＝f(x)8π的图像关于直线x＝3对称，B项正确．

4ππ54πC项，f(x＋π)＝cosx＋3.令x＋3＝kπ＋2(k∈Z)，得x＝kπ－6π，当k＝1ππ时，x＝6，所以f(x＋π)的一个零点为x＝6，C项正确．

π2ππD项，因为f(x)＝cosx＋3的递减区间为2kπ－3，2kπ＋3(k∈Z)，递增区2π5ππ2π2π间为2kπ＋3，2kπ＋3(k∈Z)，所以2，3是减区间，3，π是增区间，D项错误．

故选D．

4π2×＋φ

(2)由题意得3cos32π2π＝3cos3＋φ＋2π＝3cos3＋φ＝0，

2πππ所以3＋φ＝kπ＋2(k∈Z)，φ＝kπ－6(k∈Z)，

π取k＝0，得|φ|的最小值为6.故选A．]