小结板书设计及意图

学校：云大附中呈贡校区

学科：高中数学

姓名：梁龙高

教学内容：平面向量数量积复习（教案）

一、教学内容解析

向量是近代数学基本和重要的数学概念之一，有着极其丰富的实际背景，它具有代数和几何的双重身份，是沟通代数、几何的桥梁。它能与中学数学中许多教学内容许多主干知识相结合，形成知识交汇点。而且初中课本里已经对平面向量做了简单的介绍，再次将平面向量坐标表示引入高中课程，是现行数学教材的重要特色之一。人教版《高级中学课本

数学

必修四》中第二章《平面向量坐标表示》涉及到了向量的坐标表示及运算（2课时）、向量的数量积（2课时）、平面向量的分解定理（2课时）、向量的应用（2课时）。其中平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一个重要运算，也是高中平面向量教学中的一个重要概念，既有对几何的体现，也有其对应的特殊性质和运算律。因此它在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节平面向量数量积的复习课在教学内容方面不仅有对于向量相关知识的回顾，也有对于数量积求法的总结，也涉及到向量数量积的应用；课堂中也很好的融入了数形结合的数学思想和化归思想。

二、教学目标设置

《高级中学

数学教学参考资料》（人教版）在教学设计建议中提到：向量是沟通代数、几何的一种工具。向量有非常直观的几何意义，是数与形的完美结合。一方面，它可以把几何问题转化为坐标的代数运算；另一方面，它还可以结合图形对向量的有关问题进行分析求解。向量是解决数学问题和实际问题的有力工具。所以，对于向量的数量积复习课而言，希望可以从定义的梳理展开，结合图形将向量数量积相关问题的求解方法进行归纳总结，并且让学生体会到向量数量积如何成为解决数学问题的有力工具入手完成这节课。

综上所述，结合《全国中小学课程标准》要求和学生实际，制定本节课的教学目标和教学重难点。

教学目标：

1.掌握平面向量数量积的概念，回顾梳理与平面向量数量积相关的知识点。

2.通过体验、归纳，总结求解平面数量积的方法，同时提高对题目的反思重解能力。

3.通过平面向量数量积的应用，提高分析问题解决问题的能力。

教学重点：平面向量数量积概念的掌握。

教学难点：应用数量积解决问题。

三、学生学情分析

本节课的教学对象是高一实验班的学生，是任课教师自己平时所带班级学生，刚刚完成平面向量这一章节的学习。

1．知识方面：学生已完成了平面向量这一章知识内容的学习，并已能运用平面向量的知识解决一些简单的向量几何问题，但是还不能融会贯通地综合理解运用知识，尤其知识的迁移能力还不够。同时整章的知识脉络还没完全成型。因此，本节复习课对现阶段的学生来说尤为重要。 2．能力方面：因为刚刚完成向量部分的学习，对于向量的相关知识内化的还不够完善。部分学生解题时数形结合能力弱，但是由于学生是市实验性示范高中的学生，所以大部分学生的求知欲和学习主动性较高。

3．心理方面：学生已具备了一定的归纳知识的意识和能力，而且现阶段学生表现欲也很强，本节课的教学设计正好符合高二学生的这个心理特征。

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四、教学策略分析

1.本节课的框架设计

本节课是一节复习教学课。数学课程标准中教学策略有以下几个方面的要求：①全面把握知识教学的要求。②重视教学的开放性。③有效应用现代信息技术。④尊重学生现有的认知水平和个性差异。⑤坚持主导原则下的平衡与兼顾。依据以上要求，结合本节课的知识的逻辑关系，按照以下框架安排本节课的教学：

环节一：“做”中“理”——问题导入，梳理知识。

环节二：“解”中“结”——一题多解，总结方法。

环节三：“变”中“悟”——变题悟法，训练思维。

环节四：“用”中“升”——应用感悟，任务后延。

2.对教学过程各环节的教学材料分析

环节一：“做”中“理”——问题导入，梳理知识。

首先，让学生解决一组与向量数量积相关的数学问题。每一道小题的处理方式都是通过学生回答，自行梳理概念，老师板书提炼包括向量的定义，向量数量积的坐标表示，向量数量积的几何意义，向量数量积的运算律等相关知识，达到对向量数量积相关知识的复习。同时对于每道判断题做说明和反例的细致解读，分析抽取概念。留出必要的时间对相关知识点做一个回顾和梳理，也为后面的例题展开做铺垫。这样处理不仅避免枯燥的知识罗列，也为了避免做题中牵扯太多的精力和时间，更加兼顾了不同认知水平的同学。建构四道看似普通的题目作为平台，将题目赋予了极大的价值，也给同学们提供一种课后复习的手段，在一些简单题目中就蕴含大量知识讯息。“做”中“理”，“会做”很重要的，但是“会理”是更高境界。

环节二：“解”中“结”——一题多解，总结方法。

让学生解决在正方形背景下的一个数量积典型例题，本例题是2013年全国2卷的一个填空题。教学过程中，老师启发激励学生挖掘出多种解题方法，同时在点评不同解法时，融入不同的数学思想方法，比如在点评解法一时，强调将未知化归已知的数学思维方式；在点评解法二时，将“形”化归“坐标”；又比如在点评解法三，特别强调数形结合的思想方法。而且在解题的同时适当的对于向量数量积解题方法做归纳总结。对于复习课的例题如果选取若干道背景不同的题目，容易造成计算量的增加，同时读题时间的增加，而时间对于一堂复习课而言是非常宝贵的，所以选取一题多解的方式，简化运算和读题时间，同时达到方法提炼的目的。同时在讲解方法中，适当的牵引学生的未知化归已知的思想方法，和数形结合思想，也能够达到复习课所必须的广度和深度。

环节三：“变”中“悟”——变题悟法，训练思维。

在这个环节中，学生自主变题，再由学生答题。教师事先做好充分的准备，也做好情境的预设，建构一个有效平台，创设出生生互动的一个课堂。让学生在变题中体会四种解题方法。复习课，单纯的老师出题学生答题，容易产生学生被动记忆接受的效果，再加上学生刚刚完成《向量坐标表示》的全章学习，解题的欲望和表现的欲望比较强，故此设计这样的一个环节。在变题中完成对于不同解题方法的再练习，在变题中做逆向的发散思维，在变题中体会不同条件对于题目背景的影响，不同条件对于解题方法的影响。达到复习课所内含的思维的碰撞和课后的学习方法的外延。

环节四：“用”中“升”——应用感悟，任务后延。

最后环节中，采取学生回顾，老师板书总结的方式对于向量的几何应用做了复习。同时对于向量的代数应用也选择了由之前变式求数量积范围而改编的应用。让学生体悟到数学中代数和几何的联系，也体悟到向量在跨章节方面的应用。会“做”是为了能“用”，一堂向量数量积的复习课，不仅需要完成必要解题思路的总结和训练，也需要为知识的外延做好充分的推手。

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3.对教学方法和手段的分析

因为是平面向量的复习课，教学内容涵盖较大。为了保证教学任务的完成，顺利实现本节课的教学目标，考虑到本节课的实际特点，在教学方法上，尽可能的采用一个矩形或三角形为主体背景，将“知识回顾——方法提炼——变题训练——向量应用”四个环节有机串联起来，不同认知基础的同学都可以参与到相应的环节中。通过师生共同探讨。根据学生的反馈，及时加以引导，达成本节课教学目标。

在教学手段的应用上，我的设想主要有以下两点：

（1）制作高效实用的电脑多媒体课件，主要作用是改变相关内容的呈现方式，以此来提高效率，增加课堂容量。①使用ppt教学，主要是对课堂的内容作快速呈现。

（2）设计科学合理的板书①使学生加深对主要知识的印象，②使学生清楚本节内容知识间的逻辑关系，形成知识网络，③ppt和板书配合使用，达到了快速呈现题目，同时板书梳理知识的效果

（3）课堂小结，布置作业，

五、教学过程设计

一、知识回顾

环节一：“做”中“理”——问题导入，梳理知识。

1．完成以下问题

（1）已知等边ABC的边长为3，则ABAC______；

（2）已知向量a(1,2)，b(x,1)，且ab，则x______；

（3）已知a3，b2，a与b的夹角为120，则b在a方向上的投影为______；

（4）判断下列说法正确的是

①

aa （ ）

②

若ab0则a0或b0 （ ） ③

若b0,abcb,则ac （ ）

④

若(ab)ca(bc)，对任意向量a,b,c都成立

（ ）

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2.通过以上问题的解决，引出课题，并对以下知识进行回顾梳理。

1．ab|a||b|cos

2．若a(x1,y1),b(x2,y2)，则abx1x2y1y2

3.平面向量数量积的几何意义：ab等于a的长度a与b在a方向上的投影bcos的乘积.

二、方法提炼

环节二：“解”中“结”——一题多解，总结方法。

1．例题讲解

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例1．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AEBD________．

解法一：（定义法）设DOEAOB，OAB,ABO，则180()

coscos()122210105252102

10AEBDAEBDcos522解法二：（坐标法）如图，建立直角坐标系，则A(0,0)，E(1,2)，B(2,0)，D(0,2)

AEBD(1,2)(2,2)2

解法三：（数量积的几何意义）如图，AE在BD方向上的投影为AEcosFGAEBDBDAEcosBD1BD2

41BD，4

解法四：（基底法）设ABa,ADb，则

21112AEBD(ba)(ba)bababa2

222

2．方法提炼：

由例1提炼出求数量积的方法：

数量积的定义；数量积的坐标运算；数量积的几何意义；利用基向量求数量积.

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环节三：“变”中“悟”——变题悟法，训练思维。

变式1：边长为6的正ABC中，点M满足BM2MA,则CMCB等于_________.

变式2：【2012·北京卷理科】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DECB的值为________，

DEDC的最大值为______.

小结：平时解答问题时，不要满足于原问题的解答，我们可以对解题有一个反思，如果已知条件发生变化，结论是否依旧成立？如果结论变成条件，那么原条件是否成立。在对题目的变化和重解过程中，不仅可以达到复习巩固的目的，同时思维也可以得到很好的训练！

三、迁移、应用

环节四：“用”中“升”——应用感悟，任务后延。

能力提高：【2017年云南省一统】在平行四边形ABCD中，AB8，AD6，N为DC的中点，

BM2MC，则AMNM（ ）

A.48 B.36 C.24 D.12

211121122解法一：设ABa,ADb，则AMNM(ab)(ab)aababb

323233912643632824。

29解法二：（坐标法）

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四、小结：1. 向量数量积的定义及相关知识；

2．平面向量数量积的四种主要求法；

3. 数量积在几何和代数中的应用。

五、课后作业

一、填空题：

1．已知向量OAAB，|OA|3，则OAOB

. 2．在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3,BD=1，则ABAD___________；

3．正三角形ABC的边长为1，则ABBCBCCACAAB等于__________________；二、选择题：

4．已知向量a(1,2),b(2,4),|c|5,若(ab)c52，求a与c的夹角 （ （A）30°

（B）60°

（C）120°

（D）150°

5．已知a（0，）1，b（3，4)，则向量a在向量b方向上的投影等于（

）

（A）4

（B）45

（C）45

（D）4

6．已知a、b、c是三个不共线的非零向量，则下列等式中成立的是 （ （A）aaa2 （B）abcabc

（C）abbab2 （D）ab2a2b2

三、解答题：

7．在ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，求OA(OBOC)的最小值。

8．已知：2a3b20i8j，a2b11i5j，（i,j是x,y轴正方向上的单位向量），求向量a,b的夹角。

9．已知a2,b3,3ab6，求（1）a与b的夹角；（2）a3b

6 ）

）