2.1.3 相等向量与共线向量教学内容分析

高中数学教案

第五章

向量的概念（第1课时）

王新敞

课

题：向量的概念

教学目的：

1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示；

2.了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或出与某一已知向量相等的向量；

3.了解平行向量的概念. 教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示

教学难点：向量概念的理解

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题

向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法

本章共分两大节第一大节是“向量及其运算”，内容包括向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算；线段的定比分点、平面向量的数量积及运算律、平面向量数量积的坐标表示、平移等

本节从帆船航行的距离和方向两个要素出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念

在“向量及其表示”中，主要介绍有向线段，向量的定义，向量的长度，向量的表示，相等向量，相反向量，自由向量，零向量

教学过程：

一、复习引入： 在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量. 向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们新疆奎屯市一中

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向量的概念（第1课时）

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将学习向量的概念、运算及其简单应用.这一节课，我们将学习向量的有关概念. 二、讲解新课：

1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量

注意：1数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小

2从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质

2.向量的表示方法：

①用有向线段表示；

②用字母ａ、ｂ等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：AB；

④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|. 3.零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的

注意0与0的区别

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向. 4.平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；

②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；

（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 5.相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；

（2）零向量与零向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．．向线段的起点无关. ．．．．．．．．6.共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 探究：1.对向量概念的理解

要深刻理解向量的概念，就要深刻理解有向线段这一概念.在线段AB的两新疆奎屯市一中

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个端点中，我们规定了一个顺序，A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有射线AB的方向，具有方向的线段就叫做有向线段.通常有向线段的终点要画箭头表示它的方向，以A为起点，以B为终点的有向线段记为AB，需要学生注意的是：AB的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度. 既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有些向量既有大小、方向、作用点(起点)，比如力；有些向量只有大小、方向，比如位移、速度，我们现在所学的向量一般指后者. 2.向量不能比较大小

我们知道，长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，“对于向量ａ，ｂ，ａ＞ｂ，或ａ＜ｂ”这种说法是错误的. 3.实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘. 初学向量的同学很可能认为一个实数与一个向量之间可进行加法或者减法，这是错误的.实数与向量之间不能相加减，但可相乘，相乘的意义就是几个相等向量相加. 4．向量与有向线段的区别：

（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；

（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段

三、讲解范例：

例1

判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.

①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D

④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB＝DC ⑤模为0⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. 解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上. ②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定. ③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. 新疆奎屯市一中

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④、⑤正确.⑥不正确.如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同. 评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好. 例2下列命题正确的是（

A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c

B.

C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ

D.有相同起点的两个非零向量不平行

解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C. 评述：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考虑，要启发学生注意这两方面的结合

四、课堂练习：

1．平行向量是否一定方向相同？（不一定）

2．不相等的向量是否一定不平行？（不一定）

3．与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）

4．与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）

5．若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）

6．两个非零向量相等的充要条件是什么？（长度相等且方向相同）

7．共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）

8．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量

五、小结

：向量及向量的有关概念、表示方法，还知道有两个特殊向量，最后学了向量间的两种关系，即平行向量（共线向量）和相等向量

六、课后作业：

1.下列各量中不是向量的是（ A.浮力B.风速 C.位移 D.2.下列说法中错误的是（ ）

．．

A.C. B.零向量的长度为0 D.

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3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）

A.B.C. D.

4.“两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的 条件.

5.已知非零向量a∥b,若非零向量c∥a,则c与b必定 . 6.已知a、b是两非零向量,且a与b不共线,若非零向量c与a共线,则c与b必定

. 参考答案：1.D 2.A 3.D 4.必要非充分 5.c∥b 6.

七、板书设计（略）

八、试题：

1.在△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点,则（ A. AB与AC共线 B. DE与CBC. AD与AE相等 D. AD与BD相等

2.下列命题正确的是（ A.向量AB与BA

B.若a、b都是单位向量,则a=bC.若AB=DC,则A、B、C、DD.两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同

3.在下列结论中,正确的结论为（

(1)a∥b且|a|=|b|是a=b

(2)a∥b且|a|=|b|是a=b

(3)a与b方向相同且|a|=|b|是a=b

(4)a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b

A.(1)(3) B.(2)(4) C.(3)(4) D.(1)(3)(4)

4.把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点,则终点所构成的图形是 ;若这些向量为单位向量,则终点构成的图形是 .

5.已知|AB|=1,| AC|=2,若∠BAC=60°,则|BC|= .

6.在四边形ABCD中, AB=DC,且|AB|=|AD|,则四边形ABCD是 .

7.设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K、L、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点, 新疆奎屯市一中

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求证：KL =NM.

8.某人从A点出发向西走了200m到达B点,然后改变方向向西偏北60°走了450m到达C点,最后又改变方向,向东走了200m到达D点.

(1)作出向量AB、BC、CD (1 cm表示200 m).

(2)求DA的模.

9.如图,已知四边形ABCD是矩形,设点集M={A、B、C、D},求集合T={PQ、Q∈M,且P、Q不重合}.

参考答案：

1.B 2.A 3.D 4.8.(1)

(2)450 m

5.3 6.菱形 7.(略) 第9题图

9.{AC、CA、BD、DB、AB、AD、BA、DA}

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