探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期优质课教学设计

正弦、余弦函数的周期性教案

一、教材分析：

《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．本节课是学生学习了诱导公式和正弦、余弦函数的图象之后，对三角函数知识的又一深入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．所以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用．

二、教学目标：

学情分析：

学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．

本课的教学目标：

(一)知识与技能

1．理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．

2．会求一些简单三角函数的周期. (二)过程与方法

从学生生活实际的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sinx图形的比较、概括抽象出周期函数的概念.运用数形结合方法研究正弦函数y=sinx的周期性，通过类比研究余弦函数y=cosx的周期性．

(三)情感、态度与价值观

让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力．

三、教学重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性.

四、教学难点：周期函数定义及运用定义求函数的周期. 五、教学准备：三角板、多媒体课件

六、教学流程：

创设问题

情境引入

课堂

小结

七、教学过程：

复习回顾

引入新知

构建周期函数定义

正弦函数的周期

巩固周期函数定义

知识

应用

余弦函数的周期

课堂

反馈

预计时间教学程序

（分）

1分钟

2分钟

教师活动

学生活动

备注

从生活中的周期现象引入，激发学生的学习兴趣.

问:生活中有哪些周而复始

创设问题现象？

情境引入

问:数学中有哪些周期现象?

复习回顾

引导学生回顾：

1．诱导公式（一）

2．正弦线

3．利用正弦线画正弦函数图象（动画演示）.

学生举例

引导学生回学生回顾诱导公式（一）

顾旧知为本课

做准备.

学生观察动画演示

通过动画演示让学生直观感知周而复始的变化规律.

答：由动画演示观察可得：正弦函数图象具有周而复始的变化规律

答：即sin(2π+x)=sinx,

由诱导公式也可得：

sin(2π+x)=sinx,

抽象概括：

设f(x)=sinx,则对于任意x∈R,都有f(x+2π)=f(x)．

周期函数定义: 一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

通过对正弦函数y=sinx图象观察、分析，结合诱导公式，构建出周期函数的定义，主要是立足于从学生的最近思维区入手，着力于知识建构，培养学生观察、分析和抽象概括能力,并进一步渗透数形结合思想方法．

10分钟

构建周期函数定义

问:正弦函数y=sinx图象有什么特征？

问:图象呈周期性变化怎样用数学表达式表示? (让学生再次观察动画演示) 正弦函数图象的周而复始的变化实际上就是函数值的周而复始的变化. sin(2π+x)=sinx这个结论可由图象观察分析得到，也可由诱导公式得到. 问: 对于sin(2π+x)=sinx, 若记f(x)=sinx,则对于任意

x∈R,都有f(

)=f(

) 给出周期函数及周期的定义.

预计时间教学程序

（分）

2分钟

正弦函数的周期和最小正周期的定义.

巩固周期函数定义

教师活动

问:

正弦函数的周期为多少?

问: 在正弦函数的周期中, 最小正数是多少? 给出最小正周期的定义．

判断题：

1.因为sin()sin,424答: 学生活动

备注

……

让学生理解最2、4、6、2kπ(k∈Z且k≠0)都是小正周期的定它的周期．

义．

培养学生的答: 2

数形结合能力

答:1.错

举反例:

9分钟

为了帮助学生正确理解sin()sin

323周期函数概所以是ysinx的周期. 22.错（结合正弦函数周念，防止学生2.周期函数的周期唯一．

期分析）

以偏概全，让3.常数函数f(x)=5是周期函3.对（结合定义分析）

学生学会怎样数. 学生谈体会：

学习概念；培（分四人一组进行讨论,再1.

周期的定义是对定养学生透过现由学生发表看法.）

义域中的每一个x值来象看本质的能

说的. 力，使学生养

2.周期函数的周期不唯成细致、全面引导学生做完判断题后谈一. 地考虑问题的一谈体会．

3.周期函数不一定存在思维品质.让最小正周期. 学生在讨论交说明:今后不加特殊说流中不断完善明，涉及的周期都是最自己的认知结小正周期. 构，充分感受成功与失败的情感体验.

问题：

余弦函数y=cosx是周期函数吗？即能否找到非零常数T，使cos(T+x)= cosx成立？若是，请找出它的周期，若不是，请说明理由.

学生回答: 余弦函数y=cosx是周期函数，2kπ(k∈Z且

k≠0)都是它的周期．

最小正周期为2

通过对定义的理解、余弦函数图象以及类比正弦函数，可以得到余弦函数是周期函数，这样使学生加深对定义的理解，培养学生类比思想和数形结合能力．

2分钟

探究余弦函数的周

期

预计时间教学程序

（分）

9分钟

教师活动

学生活动

备注

1.f(x)3sinx，xR；

两名学生板演，其余学

生在下面独立完成，

xR2.，；

f(x)sin2x

完成后由学生点评. 1知识应用

3.f(x)2sin(x)，

学生可能的方法：

24

1.周期函数定义 xR；

2.函数图象观察得到周第1题师生共同完成

期

第2、3题学生独立完成

预设：利用课件中的图象引

导学生发现最小正周期

例1．求下列函数的最小正周期T. 练习：

1．等式sin(3001200)sin300是否成立?如果这个等式成立,能否说1200是正弦函数

答：

1. 成立

不能

2.(1)

观察学生对周期函数定义的掌握情况．

培养学生的数形结合能力．

4分钟

课堂反馈

ysinx的一个周期？

2.求下列函数的周期: (1)ycos4x,xR1(2)ycosx,xR

2



2(2)4

通过课堂反馈能准确、及时地了解学生对周期函数定义和函数周期求法的掌握情况,做到及时反馈、评价,及时查漏补缺,达到堂堂清.

1分钟

课堂小结

1.回顾周期函数的定义．

2.函数y=sinx和函数y=cosx周期为多少？.

3.函数周期有多少种求法? 1.周期函数定义:

一般地，对于函数

引导学生f（x），如果存在一个对所学知识进非零的常数T，使得定行小结,有利义域内的每一个x值，于学生对已有都满足f(x+T)=f(x)，的知识结构进那么函数f（x）就叫做行编码处理,周期函数，非零常数T加强记忆. 叫做这个函数的周期.

2.函数y=sinx和函数y=cosx周期均为2π．

3．周期的求法：

①定义法 ②图象法

课外作业：

求下列函数的周期：

(1)y3sin，xR；(2)ysin(x)，xR；

10x4(3)ycos(2x),xR(4)y313sin(x)，xR

24

课外思考：

1. 求函数f(x)Asin(x)和f(x)Acos(x)（其中A,,为常数，且A0,0）的周期．

2.求下列函数的周期：

（1）y|sinx|，xR；（2）y|cos2x|，xR

附：板书设计

课题：正弦、余弦函数的周期性

1．

周期函数定义 例1

为了使学生全面系统地了解本节内容的知识结构,达到突出重点,简洁明了的目的.

设计意图

板演及学生演示区

2．

正弦函数y=sinx的周期为2 余弦函数y=cosx的周期为2 .

小结：

1．本节课预计学生建构周期函数概念时有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始变化实际上是函数值的周而复始变化”

的本质学生理解有一定困难.为了突破这个难点，借助了几何画板来帮助学生从形象思维过渡到抽象思维．

2．预计部分学生对周期函数定义的自变量的任意性的理解有困难，为了突破这个难点，设计了三道判断题让学生分组讨论交流，通过学生思维碰撞来体会数学概念的严谨，通过学生互动建构自己对周期函数概念的认识．

3．预计部分学生运用周期函数定义求函数周期有一定困难，为了解决这个困难，在设计中，例１第１问由师生共同完成，完成后小结解题的思路方法．再由学生完成第２问和第３问，再由师生共同点评．