复习参考题教学内容

题型一

数形结合思想在三角函数中的应用

π例1

已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的简图如图2所示，求函数g(x)＝f(x)－lg x零点的个数．

解

显然A＝2. 1由图象过(0,1)点，则f(0)＝1，即sin φ＝，

2ππ又|φ|<，则φ＝. 2611π11π，0是图象上的点，则f＝0，

又121211ππ11π11π，0是图象在y轴右侧部分与x轴的第二个交点．ω＋＝0，即sin由图象可知，∴6121212πω＋＝2π.

6

π∴ω＝2，因此所求函数的解析式为f(x)＝2sin(2x＋)．

6π2x＋和函数y＝lg x的示意图如图所示：

以下，在同一坐标系中作函数y＝2sin6

1111∵f(x)的最大值为2，令lg x＝2，得x＝100，令π＋kπ<100(k∈Z)，得k≤30(k∈Z)，而π12121117π＋kπ，π＋kπ(k∈Z,0≤k≤30)的区间，在＋31π>100，∴在区间(0,100]内有31个形如121211π，100上有每个区间上y＝f(x)与y＝lg x的图象都有2个交点，故这两个函数图象在12110，π上还有1个交点，

2×31＝62个交点，另外在12∴方程f(x)－lg x＝0共有实根63个．

∴函数g(x)＝f(x)－lg x共有63个零点．

反思与感悟

运用数形结合的思想化抽象为直观，使问题简单明了，数形结合在三角函数中有着广泛的应用．

π跟踪训练1

若0

x的大小关系是(

) 2A．2x>πsin

x

B．2x<πsin

x

C．2x＝πsin

x

D．与x的取值有关

答案

B 解析

在同一坐标平面内作出函数y＝2x与函数y＝πsin

x的图象，如图所示．

观察图象易知：

当x＝0时，2x＝πsin

x＝0；

π当x＝时，2x＝πsin

x＝π；

2π0，时，函数y＝2x是直线段，而曲线y＝πsin

x是上凸的．所以2x<πsin

x．故选当x∈2B. 题型二

分类讨论思想在三角函数求值中的应用

例2

已知cos θ＝m，|m|≤1，求sin θ、tan θ的值．

π解

(1)当m＝0时，θ＝2kπ±，k∈Z；

2π当θ＝2kπ＋时，sin θ＝1，tan θ不存在；

2π当θ＝2kπ－时，sin θ＝－1，tan θ不存在．

2(2)当m＝1时，θ＝2kπ，k∈Z，sin θ＝tan θ＝0. 当m＝－1时，θ＝2kπ＋π，k∈Z，sin θ＝tan θ＝0. (3)当θ在第一、二象限时，

1－m2sin θ＝1－m，tan θ＝. m2(4)当θ在第三、四象限时，

1－m2sin θ＝－1－m，tan θ＝－. m2反思与感悟

已知角的某一个三角函数值为字母时，注意对字母是否为0、±1及分象限作讨论，讨论标准要统一．在三角函数部分，有不少题目都涉及到分类讨论的思想．

2sinπx，－1

函数f(x)＝x－1若f(1)＋f(a)＝2，则a的值为(

) e，x≥0.

A．1

B．1，－答案

B 222

C．－

D．1，

222解析

∵f(1)＝e11＝1，∴f(a)＝1. －当a≥0时，f(a)＝ea1＝1，

－∴a－1＝0，∴a＝1；

当－1

π1∴πa2＝2kπ＋，k∈Z，∴a2＝2k＋，k∈Z，

2212k只能取0，此时a2＝，∴a＝－. 22故选B. 题型三

转化与化归思想在三角函数中的应用

例3

已知函数f(x)＝－sin2x－asin x＋b＋1的最大值为0，最小值为－4，若实数a>0，求a、b的值．

解

令t＝sin x，则

aat＋2＋＋b＋1，

g(t)＝－t－at＋b＋1＝－2422a且t∈[－1,1]．下面根据对称轴t0＝－与区间[－1,1]的位置关系进行分类讨论．

2

a①当－≤－1，即a≥2时，

2ymax＝g－1＝a＋b＝0，a＝2，解得

ymin＝g1＝－a＋b＝－4.b＝－2.

a②当－1<－<0，即0

2aa－＝＋b＋1＝0，ymax＝ga＝2，24解得(舍) b＝－2ymin＝g1＝－a＋b＝－4.2

a＝－6，或(舍) b＝－10.

都不满足a的范围，舍去．

综上所述，a＝2，b＝－2. 反思与感悟

转化与化归的思想方法是数学中最基本的数学思想方法．数学中一切问题的解决都离不开转化与化归．上述解答将三角函数问题转化为熟悉的二次函数在闭区间上的最值问题．

跟踪训练3

已知定义在(－∞，3]上单调减函数f(x)使得f(1＋sin2x)≤f(a－2cos x)对一切实数x都成立，求a的取值范围．

解

根据题意，对一切x∈R都成立，有：

1＋sinx≤3a－2cos x≤3a－2cos x≤1＋sin2x2

sinx≤2⇔a≤2cos x＋3a≤1＋sin2x＋2cos x2

a≤2cos x＋3min⇔

2a≤1＋sinx＋2cos xmina≤1⇔

2a≤[－cos x－1＋3]mina≤1，⇔∴a≤－1. a≤－1，

[呈重点、现规律]

三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法．