2.1.2 向量的几何表示教案和学案内容

平面向量概念

教学目标

1. 通过对平面向量概念的抽象概括,体验数学概念的形成过程,培养学生的抽象概括能力和科学的思维方法,使学生逐步由感性思维上升为理性思维. 2. 理解向量的概念,会用有向线段表示向量,会判断零向量,单位向量,平行的、相等的、共线的向量. 任务分析

在这之前,学生接触较多的是只有大小的量(数量).其实生活中还有一种不同于数量的量---向量.刚一开始,学生很不习惯,但可适时地结合实例,逐步让学生理解向量的两个基本要素---大小和方向,再让学生于实际问题中识别哪些是向量,哪些是数量.这样由具体到抽象,再由抽象到具体;由实践到理论,再由理论到实践,可使学生比较容易地理解.紧紧抓住向量的大小和方向,便于理解两个向量没有大小之分,只有相等与不相等、平行与共线等.要结合例、习题让学生很好地理解相等向量(向量可以平移).这些均可为以后用向量处理几何等问题带来方便. 重点是向量的概念、相等向量的概念和向量的几何表示等

.难点是向量的概念. 教学设计

一、问题情景

数学是研究数量关系和空间形式的科学.思考以下问题: 1. 在数学或其他学科中,你接触过哪些类型的量?这些量本质上有何区别?试描述这些量的本质区别.

2. 既有大小又有方向的量应如何表示? 二、建立模型

1. 学生分析讨论

学生回答:人的身高,年龄,体重;……图形的面积,体积;物体的密度,质量;……物理学中的重力、弹力、拉力,速度、加速度,位移……

引导学生慢慢抽象出数量(只有大小)和向量(既有大小又有方向)的概念. 2. 教师明晰

人们在长期生产生活实践中,会遇到两种不同类型的量,如身高、体重、面积、体积等,在规定的单位下,都可以用一个实数表示它们的大小,我们称之为数量;另一类,如力、速度、位移等,它们不仅有大小,而且有方向.作用于某物体上的力,它不仅有大小,而且有作用方向;物体运动的速度既有快慢之分,又有方向的区别.这类既有数量特性又有方向特性的量,就是我们要研究的向量. 在数学上,往往用一条有方向的线段,即有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量不仅可以用有向线段表示,也可用a,b,c,…表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如

,向量

的大小就是向量

的长度(模),记作

.长度为零的向量叫零向量,记作0或

.长度等于1的向量叫作单位向量. 方向相同或相反的非零向量叫平行向量,记作a∥b,规定0∥a(a为任一向量) 长度相等且方向相同的向量叫作相等的向量,记作a=b.任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.在同一平面上,两个平行的长度相等且指

向一致的有向线段可以表示同一向量.因为向量完全由它的方向和模决定.

任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫"共线向量". 3. 提出问题,组织学生讨论

(1)时间、路程、温度、角度是向量吗?速度、加速度、物体所受重力是向量吗? (2)两个单位向量一定相等吗? (3)相等向量是平行向量吗? (4)物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量吗? (5)方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量吗?强调:大小、方向是向量的两个基本要素,当且仅当两个向量的大小和方向两个要素完全相同时,两个向量才相等.注意:相等向量、平行向量、共线向量之间的异同. 三、解释应用

[例

题] 如图,边长为1的正六边形abcdef的中心为o,试分别写出与

相等、平行和共线的向量,以及单位向量. 解: 都是单位向量. [练

习] 1. 如图,d,e,f分别是△abc各边的中点,试写出图中与

相等的向量. 2. 如果四边形abcd满足

,那么四边形abcd的形状如何? 3. 设e,f,p,q分别是任意四边形abcd的边ab,bc,cd,da的中点,对于

,哪些是相等的向量,哪些方向是相反的向量? 4. 在平面上任意确定一点o,点p在点o"东偏北60°,3cm"处,点q在点o"南偏西30°,3cm"处,试画出点p和q相对于点o的向量.

5. 选择适当的比例尺,用有向线段分别表示下列各向量. (1)在与水平成120°角的方向上,一个大小为50n的拉力. (2)方向东南,8km/h的风的速度. (3)向量

四、拓展延伸

1. 如图,在

abcd中,e,f分别是cd,ad的中点,在向量

中相等的向量是哪些?为什么? 2. 数能进行运算,那么与数的运算类比,向量是否也能进行运算? 案例点评

这篇案例设计完整,思路清晰.该案例首先通过实例阐述了向量产生的背景,然后归纳、抽象了向量、平行向量、相等向量等概念,充分体现了数学教学的本质是教学思维过程的教学,符合新课程标准的精神.例题与练习由浅入深,完整,全面."拓展延伸"的设计有新意,有深度.为学生数学思维能力、创造能力的培养提供了平台.