探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质第一课时教学实录

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质

【学习目标】

1、掌握正弦函数、余弦函数的周期性，周期，最小正周期。

2、掌握正弦函数，余弦函数的奇偶性、单调性。

3、会比较三角函数值的大小,会求三角函数的单调区间。

【学习过程】

1、正弦函数，余弦函数都是周期函数，周期是_________，最小正周期是________。

例1.求下列函数的周期：

11

（1）y=sinx ,

xR

(2)

y=cos(x) , xR

242

一般结论：函数yAsin(x)及函数yAcos(x)，xR的周期T1、变式：求下列三角函数的周期：

y=sin(x+) T= y=cos2x T= ,y=3sin(+3x22||

) T= 51y3cos(x) T= ysin(2x) T= ,y2sin(x) T= ,

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二

奇偶性

（1）因为y=sinx的定义域是R,且sin(-x)=-sin(x)

所以

y=sinx是

（2）因为

y=cosx的定义域是R,且cos(-x)=cosx

所以

y=cosx是

例2.判断函数的奇偶性

(1)

y = -sin3x,xR

(2)y=sinx+cosx,xR

三．单调性

1．正弦函数、余弦函数的图像

y=sinx-4-7-32-52-2-3-2-2y1-1y-52--2-32-2o3222523724x

y=cosx-3-4-721-1o2322523724x

2、正弦函数在每一个闭区间

2k，2k(kZ)上都是增函数，其值从22－1增大到1；在每一个闭区间_________________上都是减函数，其值从1减少到－1。

3、余弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间

到－1。

4、正弦函数当且仅当x＝___________时，取得最大值1,当且仅当x=_________________时取得最小值－1。

5、余弦函数当且仅当x＝______________时取得最大值1；当且仅当x=______ ____时取得最小值－1。

例3、求出下列函数的最大值、最小值，并写出取最大值、最小值时自变量x的集合。

（1）y1sin2x （2）y3cos2x

例4、利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小。

2317) cos()

（1）sin sin； （2）cos(5418102k，2k(kZ)

上都是减函数，其值从1减少

1例5、求函数ysin(x),x2,2的单调区间

23

1ysin(x)练习：写出函数32在区间[-2π，2π]的单调增区间

求三角函数的单调性的基本方法：

函数

yAsin(x)k的单调区间的确定，首先要看A、ω是否为正，2若ω为负，则先应用诱导公式化为正，然后将ωx+φ看作一个整体，化为最简式，再结合A的正负，在2kx2k2,kz和2k3x2k,kz两个区间内分别确定函数的单调增减区间。

22三.训练案

1、在下列各区间上，函数ycos2x单调递减的区间是（ ）

 A．, 443B．,

44C．0,

24D．,

2

2、在下列各区间上，函数ysin(x)的单调递增区间是（

）

A．,

B．0, C．,0 D．,

24423、函数ysin2x的单调递减区间是（ ）

35 A．2k,2k,kZ

1212511B．4k,4k,kZ

335115 C．k

D．,k,kZk,k,kZ

121212124、下列不等式成立的是（ ）

A．sinsin

1810

B．sin3sin2

7163317coscos C．cos D．

cos55545、若函数ysinx1在区间a,上是增函数，则a的取值范围是（ ）

2A．, B．,

C．,0 D．,

2226、函数ycosx的一个单调增区间是（

）

A．34,4

B．4,4

C．,32

7.比较大小

（1）sin3___sin4

（2）sin250 sin260

（3）cos15143___cos4

（4）cos8 cos922D．32,2