2.1.2 向量的几何表示教学目标

第五章平面向量

第一节

平面向量的概念及线性运算

本节主要包括2个知识点：

1.平面向量的有关概念；

2.平面向量的线性运算.

突破点(一)

平面向量的有关概念

基础联通

抓主干知识的“源”与“流”

名称

向量

零向量

单位向量

平行向量

定义

既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)

长度为0的向量；其方向是任意的

长度等于1个单位的向量

方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量

长度相等且方向相同的向量

长度相等且方向相反的向量

备注

平面向量是自由向量，平面向量可自由平移

记作0 a非零向量a的单位向量为±

|a|0与任一向量平行或共线

两向量只有相等或不等，不能比较大小

0的相反向量为0



相等向量

相反向量

考点贯通

抓高考命题的“形”与“神”

平面向量的有关概念

ab[典例]

(1)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(

) |a||b|A．a＝－b

C．a＝2b

B．a∥b

D．a∥b且|a|＝|b| (2)设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是(

) A．0

B．1

C．2

D．3

abab[解析]

(1)因为向量的方向与向量a相同，向量的方向与向量b相同，且＝，|a||b||a||b|a2bb所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，＝＝，故a|a||2b||b|ab＝2b是＝成立的充分条件．

|a||b|(2)向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. [答案]

(1)C

(2)D [易错提醒]

(1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；

(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；

(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．

能力练通

抓应用体验的“得”与“失”

1．给出下列命题：

①若|a|＝|b|，则a＝b；

②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

③若a＝b，b＝c，则a＝c；

④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b. 其中正确命题的序号是(

) A．②③

B．①②

C．③④

D．①④

解析：选A

①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC.又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB∥DC且|AB|＝|DC|，因此，AB＝DC.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A. 2．给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；

③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；

④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．

其中错误的命题的个数为(

) A．1

B．2

C．3

D．4 解析：选C

①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．错误的命题有3个，故选C. 3．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则图中与OC相等的向量有________．

答案：AB，ED，FO

14．如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设△3aABC的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则

3

(1)与向量GH相等的向量有________；

(2)与向量GH共线，且模相等的向量有________；

(3)与向量EA共线，且模相等的向量有________．

解析：向量相等⇔向量方向相同且模相等．

向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合．

答案：(1)

LB，HC

(2)EC，LE，LB，GB，HC

(3)EF，FB，HA，HK，KB