2.1.2 向量的几何表示优秀公开课教案

向量的几何表示

1．向量的概念和表示方法

(1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量．

(2)向量的表示：

表示法

几何表示：用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的

方向表示向量的方向，即用有向线段的起点、终点字母表示，如AB，…

字母表示：用小写字母a，b，c，…表示，手写时必须加箭头

[点睛] 向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段．向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．

2．向量的长度(或称模)与特殊向量

(1)向量的长度定义：向量的大小叫做向量的长度．

(2)向量的长度表示：向量AB，a的长度分别记作：|AB|，|a|. (3)特殊向量：

①长度为0的向量为零向量，记作0；

②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．

[点睛] 定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．

3．向量间的关系

(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量，记作：a＝b. (2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量平行．

[点睛] 共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个向量能比较大小．(

) (2)向量的模是一个正实数．(

) (3)单位向量的模都相等．(

) (4)向量AB与向量BA是相等向量．(

) 2．有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．

其中可以看成是向量的个数(

) A．1

B．2

C．3

D．4 3．已知向量a如图所示，下列说法不正确的是(

)

A．也可以用MN表示

B．方向是由M指向N

1

C．始点是M D．终点是M

有______．

4.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与ED相等的向量

向量的有关概念

[典例] 有下列说法：①向量AB和向量BA长度相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量BC是有向线段；④向量0＝0，其中正确的序号为________．

(1)判断一个量是否为向量应从两个方面入手

①是否有大小；②是否有方向．

(2)理解零向量和单位向量应注意的问题

①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．

②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．

[活学活用] 有下列说法：

①若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；

②若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，则AB＞CD；

③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；

④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．

其中正确说法的个数是(

) A．1

C．3

[典例] 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：

B．2 D．4

①OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°；

②AB，使|AB|＝4，点B在点A正东；

③BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°.

2

用有向线段表示向量的方法

用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．

必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．

[典例] 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA＝a，OB(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？

(2)与a共线的向量有哪些？

(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．

[解] (1)与a的长度相等、方向相反的向量有OD，BC，AO，FE. (2)与a共线的向量有EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD. (3)与a相等的向量有EF，DO，CB；与b相等的向量有DC，EO，FA；与c相等的向量有FO，ED，＝b，OC＝c. AB. [一题多变] 1．[变设问]本例条件不变，试写出与向量BC相等的向量．

解：与向量BC相等的向量有OD，AO，FE. 2．[变条件，变设问]在本例中，若|a|＝1，则正六边形的边长如何？

解：由正六边形性质知，△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝1.

寻找共线向量或相等向量的方法

(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．

(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．

层级一

学业水平达标

1．下列说法正确的是(

) A．向量AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线

B．长度相等的向量叫做相等向量

C．若a＝b，b＝c，则a＝c

D．共线向量是在一条直线上的向量

3

2.如图，在圆O中，向量OB，OC，AO是(

) A．有相同起点的向量

B．共线向量

C．模相等的向量

D．相等的向量

3．向量AB与向量BC共线，下列关于向量AC的说法中，正确的为(

) A．向量AC与向量AB一定同向

B．向量AC，向量AB，向量BC一定共线

C．向量AC与向量BC一定相等

D．以上说法都不正确

4.如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与AEA．1个

C．3个 B．2个

D．4个

平行的向量有(

) 5．已知向量a，b是两个非零向量，AO，BO分别是与a，b同方向的单位向量，则下列各式正确的是(

) A．AO＝BO C．AO＝1 B．AO＝BO或AO＝－BO

D．|AO|＝|BO| 6．已知|AB|＝1，|AC|＝2，若∠ABC＝90°，则|BC|＝________. 7．设a0，b0是两个单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．

①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0. 8．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．

9.如图，O是正方形ABCD的中心．

(1)写出与向量AB相等的向量；

(2)写出与OA的模相等的向量．

10.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南米才到达B地．

(1)在如图所示的坐标系中画出AD，DC，CB，AB. (2)求B地相对于A地的位移．

4

方向行驶2千米到D地，偏西30°方向行驶2千

层级二

应试能力达标

1.如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是(

) A．AD＝BC

C．PE＝PF 2．下列说法正确的是(

) A．若a∥b，b∥c，则a∥c

B．终点相同的两个向量不共线

C．若a≠b，则a一定不与b共线

D．单位向量的长度为1 3．若a为任一非零向量，b为单位向量，下列各式：

①|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1.

其中正确的是(

) A．①④ C．③④ B．③

D．②③

量中相等向量有(

) B．AC＝BD

D．EP＝PF

在两腰AD，BC上，EF4．在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的向

A．一组 C．三组 B．二组

D．四组

5．四边形ABCD满足AD＝BC，且|AC|＝|BD|，则四边形ABCD是______(填四边形ABCD的形状)．

6.如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和AOBE均为平行四等的向量为________；与向量OA共线的向量为__________；与向量OA________．(填图中所画出的向量) 7．如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点．

(1)写出图中所示向量与向量DE长度相等的向量．

(2)写出图中所示向量与向量FD相等的向量．

(3)分别写出图中所示向量与向量DE，FD共线的向量．

5

边形，则与向量AD相的模相等的向量为

8．如图，已知函数y＝x的图象l与直线m平行，A0，－22，(1)x，y为何值时，AB＝0；

(2)x，y为何值时，AB为单位向量．

6

B(x，y)是m上的点．求