原（逆）命题、原（逆）定理教学实录及点评

17．2 勾股定理的逆定理

教学目标: 1．理解勾股定理逆定理的具体内容及原命题、逆命题、勾股数的概念．

2．能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形．

重、难点：根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形．

教学过程：

一、

回顾旧知

勾股定理的内容及其应用

二、预习反馈

阅读教材P31～33，体会例1、例2的解答过程，并完成下列预习内容：

1．古埃及人画直角的方法是：在一根绳子上打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，然后用木桩钉成一个三角形，其中一个角是直角．

2．互逆命题：在一对命题中，第一个命题的题设恰好为第二个命题的结论，而第一个命题的结论恰好是第二个命题的题设，像这样的两个命题叫做互逆命题．我们把其中一个叫做原命题，那么另一个就叫做它的逆命题．

3．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，这两个定理为互逆定理．

4．勾股定理是：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边为

c，那么a2＋b2＝c2. 它的逆定理是：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．

5．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数(或勾股弦数)．

三、讲解例题

例1 (教材P32例1)判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形．

(1)a＝15，b＝8，c＝17；

(2)a＝13，b＝14，c＝15. 解：(1)因为152＋82＝225＋64＝289，172＝289，

所以152＋82＝172，这个三角形是直角三角形．

(2)因为132＋142＝169＋196＝365，152＝225，

所以132＋142≠152，这个三角形不是直角三角形．

【点拨】根据勾股定理逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小线段的平方和是否等于最大边长的平方．大边对的是大角，即大边对的角是直角．

【跟踪训练1】如图，D是BC边上的一点，若AB＝10，AD＝8，AC＝17，BD＝6，求BC的长．

解：∵BD2＋AD2＝62＋82＝102＝AB2，

∴△ABD是直角三角形．

∴AD⊥BC. 在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝15，

∴BC＝BD＋CD＝6＋15＝21. 例2 古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？

解：

对．

因为a2＋b2＝(2m)2＋(m2－1)2＝4m2＋m4－2m2＋1＝m4＋2m2＋1＝(m2＋1)2，

而c2＝(m2＋1)2，所以a2＋b2＝c2，即a，b，c是勾股数．

m＝2时，勾股数为4，3，5；m＝3时，勾股数为6，8，10；m＝4时，勾股数为8，15，17. 【跟踪训练2】

下列各组数据是勾股数的是(A) A．5，12，13

B．6，9，12 C．12，15，18

D．12，35，36 例3

一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边长如图2所示．

(1)你认为这个零件符合要求吗？为什么？

(2)求这个零件的面积．

解：(1)∵AD＝4，AB＝3，BD＝5，DC＝13，BC＝12，

∴AB2＋AD2＝BD2，BD2＋BC2＝DC2. ∴△ABD、△BDC是直角三角形，

∴∠A＝90°，∠DBC＝90°. 故这个零件符合要求．

(2)这个零件的面积＝S△ABD＋S△BDC＝3×4÷2＋5×12÷2＝6＋30＝36. 答：这个零件的面积是36. 【跟踪训练3】

如图，AD＝8，CD＝6，∠ADC＝90°，AB＝26，BC＝24，求该图形的面积．

解：连接AC，在Rt△ACD中，AD＝8，CD＝6，

∴AC＝AD2＋CD2＝10. 在△ABC中，∵AC2＋BC2＝102＋242＝262＝AB2，

∴△ABC为直角三角形．

11∴图形面积为：S△ABC－S△ACD＝×10×24－×6×8＝96. 22四、巩固训练

1．以下各组数为边长，能组成直角三角形的是(C) A．5，6，7

B．10，8，4 C．7，25，24

D．9，17，15 2．下列各命题的逆命题成立的是(B)

A．对顶角相等

B．两直线平行，同位角相等

C．若a＝b，则|a|＝|b| D．全等三角形的对应角相等

3．如图，正方形网格中有△ABC，若小正方形的面积为1，则△ABC的形状为(A)

A．直角三角形

B．锐角三角形

C．钝角三角形

D．以上答案都不对

4．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．

解：连接AC. ∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，

根据勾股定理，得AC＝22，∠BAC＝45°，

∵CD＝3，DA＝1，

∴AC2＋DA2＝8＋1＝9，CD2＝9. ∴AC2＋DA2＝CD2. ∴△ACD是直角三角形．

∴∠CAD＝90°. ∴∠DAB＝45°＋90°＝135°. ∴∠DAB的度数为135°. 五、课堂小结

1．什么是勾股定理的逆定理？如何表述？

2．什么是命题？什么是原命题？什么是逆命题？