二次根式应用优质课教案整理

16．3 二次根式的加减

第一课时

教学目标

1．理解二次根式加、减法法则．

2．会进行二次根式的加、减运算．

教学重难点

重点：合并被开方数相同的二次根式．

难点：二次根式加减法的实际应用．

教学过程

一、情境引入

【问题1】

现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图16.3－1(见教材P12)的22方式，在这块木板上截出两个面积分别为8dm和18dm的正方形木板？

学生自主探究，分组交流，发现：

(1)两正方形边长分别为8dm、18dm. (2)比较最大正方形边长18dm与木板宽度5dm的大小．

∵18<5，∴木板够宽．

(3)比较两正方形边长之和18＋8与木板长7.5的大小．

看木板是否够长，就必须计算18＋8的大小．

这就是今天我们所要学习的二次根式的加减运算．

[来源:Z#xx#k.Com]

二、互动新授

【问题2】

如何计算8＋18呢？试一试．

师生共同分析：8＋18能否等于8＋18？即a＋b＝a＋b成立吗？

显然4＋4＝8，4＋4＝2＋2＝4≠4＋4，a＋b≠a＋b. (1)先把8＋18化成最简根式：8＋18＝22＋32. (2)利用分配律计算：22＋32＝(2＋3)2＝52. 2∵2<1.5，∴2<1.5，∴52<7.5 由2＜1.5可知52＜7.5，即两个正方形的边长的和小于木板的长，因此可以用这块22木板按要求截出两个面积分别是8dm和18dm的正方形木板．

分析上面计算8＋18的过程，可以看到，把8和18化成最简二次根式22和32后，由于被开方数相同(都是2)，可以利用分配律将22和32进行合并．

一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．

【例1】

计算：

(1)80－45；

(2)9a＋25a. 【解】 (1)80－45＝45－35＝5；

(2)9a＋25a＝3a＋5a＝8a. 【例2】

计算：

1(1)212－6＋348；

(2)(12＋20)＋(3－5)．

3

【解】

（1）

212－61＋3483

＝43－23＋123

＝143；（2）

（12＋20）＋（3－5）

＝23＋25＋3－5＝33＋5.【问题3】

下列计算是否正确？为什么？

(1)8－3＝8－3＝5；

(2)3＋6＝3＋6＝3；

2(3)5×15＝5×15＝5×3＝53；

(4)6－24＝6－26＝(1－2)6＝－6. 学生交流、讨论后，教师评析：(1)(2)不正确．只有被开方数相同的二次根式才能进行加、减运算，教师引导学生将二次根式加减法与整式合并同类项作类比，并与二次根式乘除法法则的作比较，发现不同之处．

三、课堂小结

通过本节课的学习，你有什么收获？

本节课主要学习了二次根式的加减运算法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．

四、板书设计

16．3

二次根式的加减

第一课时

二次根式加减法法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式

进行合并．

五、教学反思

本节课是通过创设与学生实际生活贴近的教学情境，引导学生自主探索、小组讨论，并在教师引导下总结出二次根式的加减运算法则，通过类比整式的合并同类项、乘除法则的不同点，给学生充分的学习时间及探索空间，培养学生用数学方法体现问题、解决问题的能力．教学中，教师应重点关注不同层次的学生对二次根式的加减运算掌握的程度，对新的运算错误，应用具有针对性的分析和点评，使学生计算达到熟练性、准确性．

导学方案

一、学法点津

学生通过对二次根式加减的实质就是同类二次根式的合并的理解，可以知道二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应该先化简，再在化简的基础上去括号，然后将同类二次根式进行合并，合并的方法类似于同类项的合并．

二、学点归纳总结

1.知识要点总结

二次根式加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开数相同的二次根式进行合并．

2.规律方法总结

（1）二次根式加减法步骤为：将每个二次根式都化为最简二次根式；逐个判断哪些二次根式是被开方数相同的二次根式，运用加法结合律，将被开方数相同的二次根式结合为一组；合并．

（2）可与整式运算中的合并同类项类比，合并被开方数相同的二次根式，依据是乘法对加法的分配律．

第一课时作业设计

一、选择题

1．下列计算中，正确的是(

)．

A.3＋3＝6

B.3－3＝0

2C.3·3＝9

D.（－3）＝－3 2．下列等式中，正确的是(

)．

A．5m＋3＝8m

B.3＋22＝35

122 C.a＋a≥0

D．2x＝2xx

x3．代数式4a＋3aa的值为(

)．

A．正数

B．零

C．负数

D．非负数

二、填空题

4.12－27＝__________．

[来源:学科网ZXXK]3

5.4a－3aa－a321＝__________．

a6．当x＝5时，代数式x＋3＋3x＋1－7x＋15的值是__________．

三、解答题

7．计算：

1213a(1)－＋2＋－46；

(2)a＋9a－. 238a2－38．已知a＋b＝4，ab＝3，求a＋bb的值．

a

【参考答案】

一、1.B 2.C 3.D

二、4.－3 5.－2aa 6.4－32 121210三、7.(1)原式＝－2＋6＋2－46＝－－6. 23443[来源:学+科+网Z+X+X+K](2)原式＝3a＋3a－(2＋3)a＝3a＋3a－2a－3a＝a. 8．解：∵a＋b＝4，ab＝3，

abababab（a＋b）3×44∴原式＝＋＝＋＝＝＝3. baab33ba

第二课时

教学目标

1．掌握二次根式的加、减、乘、除的混合运算．

2．利用多项式的乘法公式进行二次根式的混合运算．教学重难点

重点：利用二次根式的混合运算．

难点：运用运算律、整式计算方法及化简等进行混合运算．

教学过程

一、情境引入

【问题1】

请同学们一起回顾：(1)单项式乘单项式，(2)单项式乘多项式，(3)多项式除以单项式，(4)平方差公式，(5)完全平方公式．并完成以下的计算：

22(1)(2a＋b)·5a＋(b－a)(－3b)；

(2)(2xy＋4xy)÷xy＋(5x－1)y；

22(3)(2x－5)(5＋2x)；

(4)(2a＋3)－(2a－3). 学生小组交流讨论后，教师评讲．

二、互动新授

【问题2】

如果把上面计算题中的a，b，x，y等字母改写成二次根式，如2，3等，以上运算规律是否能成立？为什么？

学生自主探究，小组交流讨论．

[来源:学,科,网][来源:学§科§网Z§X§X§K]

教师总结：整式运算中的字母a，b可以代表任何数，当然也可以代表二次根式，所以整式中的运算律、乘法公式等对二次根式也适用．

【例3】

计算：

(1)(8＋3)×6；

(2)(42－36)÷22. 学生独自练习后，教师讲评．

【解】

解2（1）（8＋3）×6＝8×6＋3×6＝8×6＋3×6

＝43＋32；

（2）（42－36）÷22

＝42÷22－36÷223＝2－3.2说明：例3(1)运用了分配律．

【例4】

计算：

(1)(2＋3)(2－5)；

(2)(5＋3)(5－3)．

【】

（1）（2＋3）（2－5）＝（2）＋32－52－15

＝2－22－152＝－13－22；

（2）（5＋3）（5－3）2＝（5）－（3）＝5－3

＝2.22说明：例4(1)用了多项式乘法法则，(2)用了公式(a＋b)(a－b)＝a－b.在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．

三、课堂小结

通过本节课的学习，你有什么收获？

本节课在学习了二次根式乘除和二次根式加减的基础上，应用类比的方法，把整式的运算法则应用到二次根式的混合运算中来，体现数学活动中从未知向已知转化的思想，混合运算的最后结果要化成最简根式．

四、板书设计

16．3

二次根式的加减

第二课时

在二次根式的混合运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．

五、教学反思

本节课主要应用转化思想和类比思想来学习二次根式的混合运算．首先，有意识地让学生回顾整式的运算律，合并同类项、单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式、多项式除单项式以及运算顺序、符号法则等诸多内容．由于整式中字母的意义非常广泛，它可以代表任何数，也可以代表二次根式，这样学生就能自然而然地把未知向已知转化，加深对二次根式混合运算的理解．通过典例剖析及学生必要的实践练习，用类比学习的方法，把整式运算规律迁移到二次根式混合中来，教师应及时了解学生进行二次根式加减运算的熟练性、准确性，便于调整教学．

导学方案

一、学法点津

学生在学习二次根式的混合运算时，首先要复习好二次根式的定义、性质及加、减、乘、除运算的法则，回忆整式混合运算的各项规则：整式的运算法则和公式在二次根式的运算中继续适用，体会运算律在数扩充过程中的一致性，要注意知识之间的相互联系，养成以联系和发展的观点学习数学的习惯．在进行二次根式混合运算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，有时还需要灵活运用公式和逆用公式，这样可以使计算过程大大地简化．

二、学点归纳总结

1.知识要点总结

（1）．二次根式的运算中，整式的运算法则和乘法公式仍然适用．

（2）二次根式运算有多种方法，应注意观察、分析运算的特点，选择一种简洁的方法进行，最后结果要化成最简根式．

2.规律方法总结

二次根式运算可类比整式运算法则进行．

第二课时作业设计

一、选择题

1.2＋1与2－1两数的关系是(

)．

A．互为相反数

B．互为倒数

C．乘积等于－1

D．以上答案都不对

2．下列计算中，正确的是(

)．

2A.3＋2＝5

B.3×2＝6

C．(3－1)＝3－1

22D.5－3＝5－3 3．下列各式中，对一切实数都恒成立的是(

)．

22A.a－1＝a＋1·a－1

B.（a＋b）＝a＋b

a2a42C.＝

D.a＝a

22二、填空题

4．计算：(3＋1)(3－1)＝__________．

5．设a＝5－6，b＝6－7，则a与b的大小关系是__________．

116．已知a＝2＋3，b＝2－3，则＋＝__________．

ab三、解答题

7．计算：

2014201422(1)(22－3)×(22＋3)；

(2)(5－1)＋(5＋1).

3－23＋2228．已知x＝，y＝，求3x－5xy＋3y的值．

3＋23－2

【参考答案】

一、1.B 2.B 3.D 二、4.2 5.b＞0 6.4 20142014三、7.(1)原式＝[(22－3)(22＋3)]＝(－1)＝1. 22(2)原式＝[(5)－25＋1]＋[(5)＋25＋1]＝6－25＋6＋25＝12. 2（3－2）5－268．解：∵x＝＝＝5－26. 3－2（3＋2）（3－2）y＝＝5＋46. （3＋2）（3－2）∴x＋y＝(5－26)＋(5＋26)＝10，xy＝(5－26)(5＋26)＝1. 2222∴3x－5xy＋3y＝3（x＋y）－11xy＝3×10－11×1＝289＝17.

（3＋2）2