构建知识体系教案和学案内容

勾股定理构建知识体系(1) 商城县余集一中

余立东

教学目标：

1．回顾本章知识，在回顾过程中主动构建起本章知识结构；

2．思考勾股定理及其逆定理的发现证明和应用过程，体会方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化思想在解决数学问题中的作用.

教学重难点：

勾股定理及其逆定理的综合应用．

学情分析：

本班学生人数较多，且基础较差，接受较慢，应讲慢一

些，并加强启发引导，循序渐进。

教学过程：

（一）基础训练

巩固知识

1.在Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）如果a=3，b=4，

则c=

；

（2）如果a=12，c=20，

则b=

；

（3）如果c=13，b=12，则a=

；

（4）已知b=3，∠A=30°，求a，c.

2、在Rt△ABC中，已知a=1，b=3，∠B=90°，则第三边c的长为

．

3、在Rt△ABC中，已知a=1，b=3，则第三边c的长为

4、分别以下列四组数为一个三角形的边长：

①3，4，5；②5，12，13；③8，15，17；④4，5，6．

其中能构成直角三角形的有

．

5.如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，若BC＝4 ，

AB＝x

，AC=8-x，则AB=

,AC=

.

6.在Rt△ABC 中,∠B=90°，b=34,a:c=8:15,则

a=

, c=

.

（二）综合运用

解决问题

要树立方程思想

1．证明线段相等.

已知：如图，AD是△ABC的高，AB=10，AD=8，BC=12 .

求证：

△ABC是等腰三角形.

分析：利用勾股定理求出线段BD的长，也能求出线段AC的长，最后得出AB=AC，即可. 证明：∵AD是△ABC的高，

∴∠ADB=∠ADC=90°.

∵在Rt△ADB中，AB=10，AD=8，

∴BD=6 .

∵BC=12, ∴DC=6.

∵在Rt△ADC中，AD=8，

∴AC=10，

∴AB=AC.即△ABC是等腰三角形.

2．解决折叠的问题.

已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，

使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，

BC=10, 求BE的长.

【思考】1、由AB=8，BC=10,你可以知道哪些线段长？2、在Rt△DFC中，你可以求出DF的长吗？3、由DF的长，你还可以求出哪条线段长？4、设BE = x，你可以用含有x的式子表示出哪些线段长？

解:设BE=x，折叠，∴△BCE

≌△FCE，

∴BC=FC=10.

令BE=FE=x，长方形ABCD，

∴

AB=DC=8 ，AD=BC=10，∠D=90°，

∴DF=6, AF=4，∠A=90°, AE=8-x

，

∴

，

解得

x = 5 .∴BE的长为5.

3.做高线，构造直角三角形.

已知：如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=2.求（1）BC 的长；（2）S△ABC .

分析：由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以添加BC边上的高这条辅助线，就可以求得BC及S△ABC .

解:过点A作AD⊥BC于D,∴∠ADB=∠ADC=90°.

在△ABD中，∠ADB=90°，

∠B=45°，AB=2，∴AD=BD=

.∵在△ABD中，∠ADC=90°，∠C=60°，AD=

，

∴CD=

,∴BC=

，S△ABC = 4.分类讨论思想

在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．

解：当高AD在△ABC内部时，如图①.

在Rt△ABD中，由勾股定理，

得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，

∴BD＝16. 在Rt△ACD中，由勾股定理，

得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，

∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，

∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60. 当高AD在△ABC外部时，如图②.

同理可得

BD＝16，CD＝9. ∴BC＝BD－CD＝7，

∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60. 方法总结

题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的况．如

在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．

（三）感悟与反思

1、通过这节课的学习活动你有哪些收获？

、对这节课的学习，你还有什么想法吗