二次根式的混合运算教学设计

第2课时

二次根式的混合运算

(1)（323）27+63；

1．会熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算，进一步提高运算能力；(重点) 2．正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简．(难点)

0(2)（20163）+312-6.2

解：(1)原式

633336



33.

一、复习导入

问题1 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则法则分别是什么? m(a+b+c)=ma+mb+mc；

(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb 问题2 多项式与单项式的除法法则是什么? (ma+mb+mc)÷m=a+b+c 二、讲授新课

探究点一：二次根式的混合运算及应用

二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用。

计算：

（）1（8+3）6；（2）（4236）22；

（）1（8+3）6（2）（4236）2286+36

42223622

43+32. 233.2

(2)原式

1+2333

32.

归纳：有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数。

典例精析：

甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路，

其中有一段路基的横断面设计为上底宽 ，下底宽 ，高 的梯形，这段路基长 500 m，那么这段路基的土石方 (即路基的体积,其中路基的体积=路基横断面面积×路基的长度)为多少立方米呢？

42m

6m

62m解：路基的土石方等于路基横断面面积乘以路基的长度，所以这段路基的土石方为：

1

4262650022322

526500

50003m3.

3答：这段路基的土石方为50003m.

（3）(23)(25).

解：

（3）(23)(25)2（2）52+3215 6500 1322.

方法总结：二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行。

【变式题】计算：

练一练：

计算：

( 1 ) 6 -38

2

； ( 2 ) 2 + 21 -2 .

解：

( 1 ) 6 -38

2



=

62-382

=

62-382

= 23-3

2

=

323.

( 2 ) 2 + 21

-2

= 2-22 + 2-22

= 2-22 + 2-2

= -2 .

探究点二：利用乘法公式进行二次根式的运算

问题1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些? 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2; 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2; (a-b)2=a2-2ab+b2. 问题2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗?

计算：

1(53)(53);(2)(32)2.

1(53)(53)(2)(32)2

（5）2（3）2 （3）2232+22

53343+42. 743.(3)32481843;

解：

(3)32481843

32433243

322432

30.

(4)a3a2babaabab.

(4)a3a2baababab

aabababaabab

aab

b.

方法总结：进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式，因式分解等来简化运算。

【变式题】计算：

（）（1223）2018（223）2018; 2）（2-3）2017（23）2019232.解：(1)原式

=[（223）（22+3）]2018

=（1）2018

=1.

(2)

原式

（[2-3）（23）]2017（23）2232

12017（7+43）3

（（）

（）

7+433

7+33.

练一练

计算：

(1)

22-1

2； (

2

) 2-3

57

23

.解： (

1

) 22-1

2

(

2)

2-3

57

23



2221222122-3

23

57



942. 57



57.

探究点三：求代数式的值

已知x31y,3试1求,x2+2xy+y2的值。

解：

x2+2xy+y2=（x+y)2

把x31,y31,代入上式得

原式= （

3+1）（+31）2 

（22 3）12.

已知

x32,y32求x3y+xy3. 解:∵x32,y32

∴xy323223,

xy3232321,

∴x3y+xy3=xy(x2+y2)=xy[(x+y)2-2xy] 12322110.

方法总结：用整体代入法求代数式值的方法：求关于x,y的对称式(即交换任意两个字母的位置后，代数式不变)的值，一般先求xx+y,xy,x-y, y

等的值，然后将所求代数式x适当变形成知含x+y,xy,x-y, y等式子，再代入求值。

拓展探究

在前面我们学习了二次根式的除法法则时，学会了怎样去掉分母的二次根式的方法，比如: 557357777

思考：如果分母不是单个的二次根式，而是含二次根式的式子，如：21,32 等，该怎样去掉分母中的二次根式呢？

计算: （）1132;（2）451.

解:

（）1113232323232.（2）4451451 515115451.

总结：分母形如manb的式子，分子、分母同乘以manb的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号.

1【变式题】

已知a52,b152求a2b22

a12解:∵525525252,

b15252525252,

a2b22ab22ab2

【变式题】

52522252522

202225.

方法总结：解决二次根式的化简求值问题时，先化简已知条件，再用乘法公式变形、代入求值即可。

练一练

已知10的整数部分是a,小数部分是b,求a2-b2的值。

解：

3104a3,b103.

a2b2

32(103)2

31033103

10610

61010.

当堂练习

1.

下列计算中正确的是（ ）

A.3(313)3 B.(12-27)31

C.321222

D.3(23)623

2.

计算：（

2+3）224.

3.设

a



110



3，

b



10



3,

则a

b(填“>”“ < ”或

“= ”）.

4.

计算：

(1)

32

22

； (

2

) 1

解(1)

32

22

2312-3;：



42

22



5

5.22

(

2

) 11232-3





2-3 32-3

232232-3

 

4232-3



4

22-32

4.

(

3

) 33

3-3

；

解：原式=3232 =93=6.

(

4

) 3102-5

;

解：原式=32-352552 =-225.

2(5)（31）（3+1）103+（π-2）+8.

解：原式

29+1+22

6+22.

课堂小结：

三、板书设计

1．二次根式的四则运算

先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．

2．运用乘法公式和运算律进行计算

在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．

本节课以学生发展为本的教育理念，注重对学生的启发引导，鼓励学生主动探究思考，获取新知识，通过启发引导，让学生经历知识的发现和完善的过程，从而利用二次根式加减法解决一些实际问题，并及时进行巩固练习和应用新知，以深化学生对所学知识的理解和记忆．同时加强师生交流，以激发学生的学习兴趣.