三 因数和倍数（通用）课堂实录【2】

“因数与倍数”教学实录与评析

于晓宇执教(江苏省盐城市第二小学)

游基宏评析(江苏省盐城市教育科学研究院)

【教学内容】:

苏教版小学数学五年级下册第30-32页例1、例2、例3和相应的“试一试”“练一练”,练习五中的部分习题。

【教学目标】:

1.使学生结合整数乘、除法计算初步认识因数和倍数的含义,探索求一个数因数和倍数的方法,能找出100以内某个数的所有因数,能在1-100的自然数中找出10以内某个数的所有倍数。

2.使学生在认识因数和倍数以及探索求一个数因数或倍数方法的过程中,进一步体会数学知识之间的内在联系,加深对自然数的认识,提高数学思考水平。

3.进一步培养学生对数和运算的学习兴趣,激发对自然数特点的探索愿望。

【教学重点】:

初步认识因数和倍数的含义,掌握求一个数的因数和倍数的方法。

【教学难点】:

发现一个数的因数与倍数的特点。

【教具准备】:

作业纸、PPT课件

【教学过程】:

一、认识因数与倍数

师:问个简单的问题,于老师教什么学科?

生:(齐)数学。

师:说到数学,一定和什么有关?

生:数。

师:这节课我们就来研究和数有关的知识。

(课件出示12个小正方形)

师:你能用这12个小正方形摆成一个长方形吗?

生:(齐)能。

师:一定没问题。你能用乘法算式表示你的摆法吗?

生:3×4=12。

师:说说你是怎样摆的。

生:每排摆3个,摆4排;或者每排摆4个,摆3排。(多媒体显示摆法)

师:这两种摆法其实是——

生:(齐)一样的。

师:还有不同的算式吗?

生:2×6=12。

师:你的摆法是——

生:每排摆6个,摆2排;或者每排摆2个,摆6排。(多媒体显示摆法)

师:这两种摆法其实也是——

生:(齐)一样的。

师:两种了,还有没有?

生:1×12=12。

师:来,大伙用手比划比划它的摆法。

(学生边比划,教师边多媒体显示)

师:还有没有其他不同的摆法?

生:没有了。

师:这3种不同的摆法,相对应的也就有3道不同的乘法算式。咱们的研究就从这三道

算式开始。

课件出示:

师:以第3道算式为例。3×4=12,在数学上我们说3是12的因数,4也是12的因数。反过来,12是3的倍数,也是4的倍数。

师:哪位同学能像老师这样说说3、4、12之间的关系?

生:3是12的因数,4也是12的因数;12是3的倍数,12也是4的倍数。

师:这两道算式(指着屏幕中的2×6=12和1×12=12),你能像这样说一说谁是谁的因数,谁是谁的倍数吗?同桌之间互相说一说。

(同桌互说,全班交流)

生:2×6=12,2是12的因数,6也是12的因数;12是2的倍数,12也是6的倍数。

生:1×12=12,1是12的因数,12也是12的因数;12是1的倍数,12也是12的倍数。

师:这道式子说起来,是不是有点拗口?

生:(齐)是。

师:拗口归拗口,数学上就认这个理了。在这里,要说明的是,咱们研究因数与倍数时,所说的数一般指——(课件出示:非0自然数)

师:真好,能不能自己想一道算式,说一说谁是谁的因数,谁是谁的倍数?

生:6×7=42。6是42的因数,7也是42的因数;42是6的倍数,42也是7的倍数。

生:3×13=39。3是39的因数,13也是39的因数;39是3的倍数,39也是13的倍数。

(师相机板书算式)

师:同学们有没有发现,刚才两位同学想到的都是什么算式?

生:乘法算式。

师:有和他们想法不一样的吗?

生:8÷2=4。2是8的因数,4也是8的因数;8是2的倍数,8也是4的倍数。

师:大家觉得可以吗?

生:可以。

师:看样子,根据算式来说各数之间的因数与倍数关系,大伙没有问题,如果没有算式

呢?

课件出示:

先看1号方框里的两个数。

生:6是12的因数,12是6的倍数。

师:怎么想的?

生:我想到了乘法算式2×6=12。(师板书:2×6=12)

生:我想到了除法算式12÷6=2。(师板书:12÷6=2)

师:真好。2号方框呢

生:12是36的因数,36是12的倍数。

师:能想到对应的乘法和除法算式吗?

生:12×3=36,36÷12=3。(师板书)

师:孩子们看,这里的12怎么一会儿是倍数,一会儿又是因数呢?

(教师提问后默默地等着)

生:要看它和谁在一起,它和6在一起就是6的倍数,和36在一起就是36的因数。

师:是的,因数与倍数指的是两个数之间的关系,它们之间是——

生:(齐)相互依存的。

师:所以我们在说因数与倍数时,一定要说谁是谁的因数,谁是谁的倍数。3号方框里的2个数,它们存在因数与倍数关系吗?(课件出示3号方框里的数:12和5。)

生:它们之间不是因数与倍数关系。

师:为什么?

生:12除以5得到的是小数,而我们研究因数与倍数时,所说的数是非0自然数。

师:是的,我们不能找到一个非0的自然数和5相乘,积等于12,是吗?

生: 是的。

师:难怪有人说,在非0自然数范围内,因数与倍数的背后总能找到相应的乘法算式或——

生:(齐)除法算式。

师:孩子们看,除了这里的三道算式,你还能找到两个自然数相乘积是12吗?

课件出示:

师:所以12的因数一共有几个?

生:6个

师:分别是——

生:(齐)1、12;2、6;3、4。

师:在书写的时候,习惯上我们按照从小到大的顺序书写。

(课件依次出示:12的因数有1,2,3,4,6,12。)

【评析】把同样大的正方形拼成长方形的操作,不仅有助于学生体会因数和倍数的实际意义,而且也体现了数学不同领域教学内容之间的联系和综合。教学中于老师让学生用12个小正方形摆长方形,用乘法算式表示自己的摆法,然后结合3×4=12这个乘法算式介绍因数和倍数,并让学生充分说一说、读一读,初步建立因数和倍数的概念,在学生初步理解因数和倍数意义的基础上,及时让学生根据另外两个乘法算式说一说几个数的因数和倍数的关系,巩固因数和倍数的意义,实现数学知识学习的正迁移。通过三道乘法算式初步认识了因数和倍数,多次体会()是()的因数,()是()的倍数,强化学生对因数和倍数意义的理解。接着继续利用这一教学资源,让学生从除法算式中也能找出因数和倍数,为后面找一个数的因数做好铺垫,也感受到乘、除法是互逆的,再次认识因数和倍数。最后通过没有算式的三组数据来强化学生对因数和倍数的理解,学生在选择数据时,必然要以乘、除法算式的表象作支撑来说所选择数据的因数和倍数的关系,实现了思维从具体到抽象的过渡,是对学生数学思维的再一次提升。

二、探索找一个数因数的方法

师:36,要找它的因数,你打算怎么找?

生:看哪两个自然数相乘积是36。

师:大伙听明白他想借助什么算式吗?

生:(齐)乘法算式。

师:如果借助乘法算式,哪个数是一定的?请你上来填一填。

(师贴出:()×()=())

(生填写()×()=( 36 ))

师:还可以借助什么算式?

生:除法算式。

(师贴出:()÷()=())

师:借助除法算式,被除数、除数、商,哪个数是确定的?

生:被除数,是36。

（教师填写（ 36 ）÷（ ）＝（ ））

师：咱们五（12）班的孩子真不错，很快想到两种方法，可是本题的最大难度在于你能 找到36的所有因数吗?（播放研究单录音）

（学生独立找36的因数，全班展示交流）

生1研究单：

师：这位同学借助的是乘法算式，他找到的36的因数有遗漏吗？

生：没有。

师：有重复没？

生：没有。

生2研究单：

师：再来看这位同学的，他也是借助乘法算式，可是——

生:有遗漏。

师:比较刚才那位同学,你觉得它的遗漏仅仅是因为粗心还是有可能思考方法出了问题? 生:我认为是思考方法出了问题,他写的乘法算式没有按照一定的顺序,而人家是按由小到大的顺序思考的。

师:这是一个很重要的数学思考方法,有序思考,老师把它写下来。(板书:有序思考)再来看,它这里还出现了算式9×4=36,你有什么意见吗?

生:他这个就和4×9=36重复了。

师:大家觉得呢?

生:是。

师:那你们在找的时候,找到几乘几就不再找下去了?

生:6×6=36。

师:说到6×6=36,大伙来看看这位同学的。(出示下面的生3研究单)有什么问题吗?

生3研究单:

生4研究单:

师:这位同学的挺有意思,发现没?

生:她既想到了乘法算式还想到了除法算式。

师:关键是,无论是乘法算式还是除法算式,她都做到了——

生:(齐)有序思考。

师:有问题的同学抓紧修正一下。好,孩子们,现在我们把算式藏在心里和老师一起来找36的因数,好吗?

生:(齐)好。

师:我们找到了1就找到了——

生:(齐)36。

师：找到了2——

生：(齐)就找到了18，找到3就找到了12，找到4就找到了9。

师：最后找到了——

生：(齐)6。

（根据学生回答，板书依次出示36的因数）

师：同学们，在书写的时候，如果你不能很好地调控数与数之间的距离，可以先在草稿纸上找到36的所有因数，再按从小到大的顺序依次写出来就可以了。36的因数还可以用集合图来表示。认识这是什么吗？（出示下面的数轴图）

生：(齐)数轴。

师：在数轴上找到36的因数所对应的点。来，和

老师一起感受一下这其中的变化。伸出双手分别指向1，

36，我们发现这时候两个数之间的距离比较——

生：远。

师：继续。2、18，距离在——

生：缩小。

师：3、12，距离——

生：进一步缩小。

师：所以当我们找到因数6的时候，还用继续找下去吗？

生：不用找了。

（噢——，孩子们点点头，若有所悟的样子）

师：15的因数会找吗？

生：会。

师：你打算一个一个找，还是一对一对找？

生：一对一对的找。1、15，3、5。

师：16的因数，一起说吧。

生：(齐)1、16，2、8，4。

（课件按从小到大的顺序依次出示16的因数）

师：看样子，找一个数的因数大家没有问题。有人

说啊，学习就像一场旅行，如果再往前走一步，也许就

能看到不一样的风景。仔细观察（见右图），看谁能有

新的发现？

生1：我发现它们最小的因数都是1。

生2：最大的因数和自己一样。

生3：它们因数的个数都是有限的。

师：这3个数的因数有这样的特点，是不是任意数的因数都有这样的特点呢？

生：(部分学生)是的。

师：谁来说说理由？（没人举手）一种感觉是吗？

生：是的。

师：很好的感觉，可这不能光凭感觉，咱得说清其中的道理。

（学生默默地思考，慢慢地有人举起了手）

生：因为不管这个自然数是谁，它都可以写成1和本身相乘，也就是说它最小的因数是1，最大的因数是本身。既然有最小的，也有最大的，又必须是自然数，那它的因数的个数就是有限的了。（课件出示）

师：说的好不好？

生：(齐)好。

师：掌声送给这位善于思考的孩子。的确是这样，一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，一个数的因数的个数是有限的。（课件出示）

【评析】完整地找出一个数的所有因数是这节课的教学难点。于老师从“36，要找它的因数，你打算怎么找？”引出借助乘法算式和除法算式这两种方法来找，让学生借助因数研

究单，放手让学生尝试找一个数的因数，待他们思考过程中的不足充分暴露后，再进行必要

的方法指导,这样既有效地保护了学生的探索热情,又能充分凸显方法本身的价值。让学生充分经历从无序到有序,从自寻到互学,讨论互评,自主学习,主动建构的数学学习过程,培养和提高了学生思维的有序性和深刻性。在交流中突出方法的多样性,使学生明白找一个数的因数既要有序、不重复、“一对一对”地找,还要有序地书写的必要性,创造性地利用数轴让学生进一步理解找一个数的因数的方法,培养学生的有序思考。最后引导学生观察,使学生自主发现,归纳出一个数的因数的特征。

三、探索找一个数倍数的方法

师:孩子们,刚才我们一起在因数的王国里探索了一番。接下来我们该研究什么了?

生:(齐)倍数。

师:没错,你能用列举的方法找一个数的倍数吗?就以3为例。

生:3的倍数有3,6,9。

师:停,于老师摁个暂停键。请你说一说,3,6,9分别是3的几倍,又是怎么找的?

生:3乘1等于3,3就是3的1倍;3乘2等于6,6就是3的2

师:接下来谁想说?

生:3乘4等于12,12就是3的4倍;3乘5等于15,15就是3

的5倍。

师:我们把算式藏在心里,一起找一找,好不好?

生:(齐)好。18,21,24,27,30,33,36,39。

师:这样说下去能说完吗?

生:(齐)不能。

师:不能怎么办?

生:(齐)用省略号。

师:是的,一个数的倍数通常写5个或6个,再加上省略号就可以了。

师:3的倍数同样可以用集合图来表示。在数轴上能找到3的倍数所对应的点吗?这样

的点有多少个?

(学生回答,课件出示数轴,根据学生回答依次出现对应的点。)

师:2的倍数会找吗?5的倍数呢?

(学生回答略)

师:谁能仿照一个数因数的特点,说说一个数倍数的特点?

生:一个数最小的倍数是它本身,没有最大的倍数,一个数的倍数的个数是无限的。

(课件出示)

【评析】于老师充分考虑到找一个数的倍数与找一个数的因数的方法存在某种相似性,借助学生在此前的学习中已经积累了较为丰富的探索经验,来教学探究求一个数的倍数的方法,通过说不完、写不完来体验、感受一个数的倍数的个数是无限的。借助发现一个数因数特征的经验,概括出一个数的倍数的特征,同时培养了学生思维的有序性。这样的课堂教学过程具有一定的节奏感,有利于学生保持积极的学习心态。

四、练习拓展

1、猜猜我是几?

师:我的最小倍数是60。

生:60。

师:我的最大因数是80。

生:80。

师:我的最小倍数和最大因数都是100。

生:100。

师:我是6的因数。

生1:1。

生2:2,3。

生3:6。

师:有点乱,谁能有序地说一说。

生:1,2,3,6。

师:其实也就是找6的——

生:所有因数。

师:我的最小因数是1。

生:1。

生:不是,所有自然数都有可能。

师:于老师设计了个小陷阱,不小心掉下去了吧。

2、猜猜看,60,80,100,哪个数的因数最多?

生:(齐)100。

师:异口同声啊,怎么想的?说说理由。

生:因为100最大。

师:说实话,小学时代的于老师也是这么想的,直到有一天,我看了《数字王国》这本书——(播放录音)

师:看样子,我们认为一个数越大它的因数就越多,这句话是——

生:(齐)错误的。

【评析】这节课的练习紧紧抓住找一个数的因数和倍数的方法,以及一个数的因数和倍数的特点进行设计,特别是通过猜猜看,60,80,100,哪个数的因数最多?,引出数学小知识的录音,渗透把确定60作为时间进制,并一直沿用至今的道理,也跟今天我们学习的内容有关。通过针对性练习,了解学生对所学知识重点、难点的掌握情况,加强了对学生进行综合分析、判断能力的训练,把教学目标落到实处。

五、全课小结

师:同学们,今天我们一起学习了——(板书:因数与倍数)通过今天的学习,你有哪些收获?

生:我知道了什么是一个数的因数与倍数。

生:我会找一个数的因数和倍数。

生：我还知道一个数因数与倍数的特点。

师：同学们的收获大概有这些，仔细看，静静想。（课件出示）

师：今天这节课，就上到这里，下课。

【评析】课堂总结并不是一个孤立的环节，也绝不是什么程序化的过程，而是对整节课自然而然的点睛之笔。对课堂中学到的知识进行回顾、梳理，可以巩固因数和倍数的相关知识，沟通知识间的联系，从而加深印象，建立合理的知识结构。

【总评】

这节课从学生的操作入手，由浅入深，利用学生的已有的知识和经验，在操作中引出因数和倍数的概念。以学生讨论、交流、相互评价，促使学生对找一个数的因数和一个数的倍数的方法进行优化、提升，培养和提高了学生思维的有序性、完整性和深刻性。

1.注重概念教学

课始，于老师让学生用12个小正方形摆长方形，用乘法算式表示自己的摆法，引导学生说出算式的理由，然后结合3×4=12这个乘法算式让学生理解因数和倍数的概念，并让学生充分说一说、读一读，初步建立因数和倍数的概念，在学生初步理解因数和倍数意义的基础上，及时让学生根据另外两个乘法算式说一说几个数的因数和倍数的关系，巩固因数和倍数的意义，实现数学知识学习的正迁移。接着继续利用这一教学资源，让学生从除法算式中也能找出因数和倍数，为后面找一个数的因数做好铺垫，也感受到乘、除法是互逆的，再次认识因数和倍数。最后通过没有算式的三组数据来强化学生对因数和倍数的理解，学生在选择数据时，必然要以乘、除法算式的表象作支撑来说所选择数据的因数和倍数的关系，实现了思维从具体到抽象的过渡，是对学生数学思维的再一次提升。

2.注重方法指导

在新知教学中，于老师特别注重方法的指导。“36，要找它的因数，你打算怎么找？”引导学生思考得出两种方法，如何根据这两种方法，找出36

的所有因数呢？于老师并没有急切

地认定结果,也没有把方法简单地告诉学生,而是让学生根据因数研究单,独立探究,在研究单上独立写出36的所有因数,同时给出探究建议: (1)想一想:用什么方法找36的因数?怎样才能做到不重复、不遗漏?(2)写一写:把找到的36的因数按从小到大的顺序记录下来。(3)说一说:在小组里交流你是怎样思考的。有了这样的方法,学生就不难找出36的所有因数。方法对路,事半功倍。

3.注重自主探究

整个教学过程中力求体现学生是学习的主体,教师只是教学活动的组织者、指导者、参与者、引导者。整节课中,于老师始终为学生创造宽松的学习氛围,让学生自主探索,学习理解因数和倍数的意义,探索并掌握找一个数的因数的方法,引导学生在充分的动口、动手、动脑中自主获取知识。知识让学生探索,方法让学生总结,问题让学生解决,真正做到让学生自己学,自己来思考。

总之,本节课的各个教学环节的设计都遵循由易到难,循序渐进的原则,力求紧扣重点,层次分明,适当提高,体现“让学引思”的课堂教学改革主张,学生学得轻松,教者教得灵活,课堂效果好!