小结课堂实录【1】

平面向量的数量积

一、教学设计思路

本课是高三第一轮平面向量的复***面向量是每年高考的必考内容，从历年高考试卷来看，直接考查向量的试题每年一道，占5分。平面向量在高考中，主要考查平面向量的基本定理，向量的基本运算，包括向量的线性运算和数量积运算，计算向量的模，向量的共线、垂直等。重点是向量数量积的运算，试题难度一般是易或偏易，主要分布在填空题第1、2题（全卷第13、14题）的位置，有时也在选择题第2至3题的位置。平面向量具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是中学数学的一个重要交汇点，在高考中，主要考查向量的基础知识，突出向量的工具作用。

本课复***面向量的数量积，是平面向量的重要内容。先使用现代信息技术制作了课件辅助课堂教学，制作了导学案引导学生学习。

二、教学目标

（一）知识与技能

1.

理解平面向量的数量积的含义及其物理意义；了解平面向量的数量积与向量投影的关系；

2.

掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；

3.

能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系﹒

（二）过程与方法

教师首先对历年高考中对平面向量的数量积的考查做简要说明，激起学生的求知热情和心中信念。通过基础自测，检测学生对这部分知识的掌握程度，是学生快速进入学***面向量的数量积的有关知识和公式进行梳理，加深理解和记忆。通过例题和

变式，使学生掌握本课基础知识，及时对题中所用方法进行归纳和总结。

（三）情感态度与价值观

在本课中，***面向量数量积的定义，理解其运算法则和性质，重点掌握平面向量数量积的几何意义和平面向量数量积的坐标运算，利用数量积求解平面向量的夹角、模以及两向量的垂直关系，渗透化归思想和数形结合思想。平面向量数量积的定义及坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径，准确把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程，同时，平面向量数量积的两种形式沟通了数和形转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具。

三、教学重难点

教学重点：掌握平面向量的数量积及运算；

教学难点：用数量积求夹角、模及数量积的坐标运算﹒

四、教学过程

1.基础自测（通过一个题组的练习检测学生对知识的掌握程度）

2.知识梳理（回顾平面向量的有关知识，温故知新）

3.知识应用（通过例题和变式教学掌握本节知识，提升能力）

4.拓展提升（通过一个拓展提升题巩固所学知识，提高学生思维能力，培养学生综合运用知识的能力，激发学生学习兴趣。）

5.课时小结（总结知识和方法，明确学习目标）

6.布置作业（课后训练）

五、教学活动

（一）基础自测

1.已知|a|5，a与b的夹角为60，则ab=__________ |b|4，2.已知a(3,1),b(x,3),且ab,则x 3.已知|a|1，ab1,则|2ab|=________ |b|2，4. 已知|a|6,|b|2，ab6,则a在b方向上的投影为_______________

学生快速完成，口答，简要说明解答过程和方法；

设计意图：检验学生对这部分知识的掌握程度。在学生口述解答过程中，让学生明确解题思路；教师对出现的问题进行及时的解决；对学生的回答给予积极的评价。

（二）知识梳理

1.数量积的定义：________________ 2.数量积的坐标表示_____________ 3.投影：a在b方向上的投影：_______ b在a方向上的投影：________： 4.数量积的运算律：ab ____ (a)b ___=___ (ab)c_______ 4.

几个重要结论： ①

模长公式： ②

垂直关系： ③夹角公式：

请三个学生口答，并请学生进行补充，教师板书，点出其中的注意事项。复习相关知识，熟练掌握有关公式。

设计意图：让学生忆一忆﹑记一记平面向量的数量积的有关知识和公式为本节课的学习做好知识储备。

（三）知识应用

例1.已知|a|6,|b|2, a与b的夹角为60，求(a2b)(a3b)的值. 鼓励学生上台展示，别的学生独立完成。

平面向量的数量积的基本运算，让学生习惯数量积的运算。对学生的展示进行及时和积极的评价，规范答题格式。

变式一：已知|a|6,|b|2, a与b的夹角为60，若

(a2b)(akb)4，求k的值. 变式二：已知|a|6,|b|2, 若(a2b)(a3b)6求a与b的夹角. 变式三：已知|a|6, a与b的夹角为60，(a2b)(a3b)6,求|b|的值. 学生思考变式并口述解答过程。

设计意图：让学生体会一题多变，积极思考，从不同的角度思考平面向量的数量积的运算。

例2. 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，求AEBD. 鼓励学生上台展示，并提醒学生可以展示不同的方法。

希望学生做出图形，让学生体会一题多解，从向量和坐标的角度理解数量积，体现数形结合的数学思想，对此题方法进行归纳总结。

例3. 已知a与b的夹角为120，|a|3，|ab|13，求|b|. 鼓励学生上台展示，可以有不同的方法。

设计意图：将模转化为向量，利用方程的思想解决问题；也可做出图形，结合余弦定理用解三角形。

（四）拓展提升

1. 已知a,b是单位向量，ab0.若向量c满足|cab|1，则|c|的取值范围是（ ）

A．[21,21] B．[21,22] C．[1,21] D．[1,22]

先让学生思考5分钟，鼓励学生阐述思路，有多种解题方法，适当提示。

设计意图：培养学生分析问题和解决问题的能力；提高学生的自信心和增强学生的运算能力，体验成功带来的喜悦。

（五）课时小结

本堂课你的收获是什么？引导学生去归纳总结：（两到三位同学谈谈自己的看法）

学生口答自己的收获。

设计意图：让学生在学习中总结，在总结是回顾与反思。

（六）课后训练

1. 向量a(1,1),b(1,2),则(2ab)a（ ）

A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 2. 设向量a,b满足ab10，ab6，则ab=（ ）

A．1 B. 2 C.3 D.5 3. 已知a(2，3)，b（4，7),则a在b上的投影为_____.

A．65

5B．13

C．13

D．65

54. 已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c=ta＋(1－t)b，若b·c=0，则t=_____. 5. 设向量a(1,2m)，若(ac)b，则|a|______. b(m1,1)，c(2,m)，6. 已知|a|12,|b|9,ab542,则a与b的夹角为__________. 7. 已知向量a(1,2),b(m，1),若向量ab与a垂直，则m=________.

8．已知ABC是边长为1的等边三角形，点D,E分别是边AB,BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，求AFBC的值. 认真完成课后作业。

设计意图：适当的练习对本堂课中知识的巩固，作业的反馈也能对教师的教学提供反思的依据。

（七）板书设计

知识梳理 例1 例2 例3 拓展提升

变式一

变式二

变式三 方法归纳