小结教学设计(第一课时)

平面向量小结与复习

一、教学目标：

1.

知识与技能：理解向量及其相关概念，能熟练进行平面向量的线性运算、坐标表示。

2.

过程与方法:

通过对所学的知识的回顾梳理，进而加强对平面向量的理解.

3.

情感态度与价值观：

（1）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；

（2）让学生体验成功，增强学习数学的兴趣.

二、学习重点：

理解向量及其相关概念，能熟练进行平面向量的线性运算、坐标表示。

三、学习难点：

理解向量及其相关概念，能熟练进行平面向量的线性运算、坐标表示。

四、教学资源：

教师导学过程(导案) 【导学过程1:】．课前热身，知识梳理

1．下列命题中，正确的是（

）

A．|a||b|ab

B．a//b,b//ca//c

C．aba与b共线

D．|a|0a

= 0 2．化简PMPNMN所得的结果是

3．若AB(3,4),Ａ点的坐标为（-２，-１），则Ｂ点的坐标为

【导学过程2:】

例1、如图，在ABC中，AD

学生学习活动(学案) 【学生学习活动1:】知识梳理. 学生先独立完成，后个别展示，通过具体的题目回顾梳理相关知识点：

1、

向量及其相关概念

2、

平面向量的线性运算

3、

平面向量的坐标表示

【学生学习活动2:】

1、学生先独立完成例1，个别展示

2、师生共同归纳总结解题方法

1AB,E4为BC边的中点，设ABa，AC请用a,b表示BC,AE,DE

b，

A B C

【导学过程3:】

例2、已知ABa(1,2)，BCb(3,2)，【学生学习活动3:】

学生先独立完成，然后展示交流。

CD(6,4)

（1）证明：A,B,D三点共线. （2）k为何值时，

①

向量kab与a3b平行 ②

向量kab与a3b垂直

变式：已知非零向量a,b不共线，

（1）如果ABab，BC2a8b，CD3a3b，求证：A,B,D三点共线。

（2）若使kab和akb共线，试确定实数k的值。

五、小结：

一.向量的基本概念与基本运算

1、向量的概念：

①向量：既有大小又有方向的量

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行

③单位向量：模为1个单位长度的向量

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量

2、向量加法：设ABa,BCb，则a+b=ABBC=AC

（1）0aa0a；（2）向量加法满足交换律与结合律；

ABBCCD．

PQQRAR，但这时必须“首尾相连”3、向量的减法：

①

相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量

②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，③作图法：ab可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）

4、实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ）aa；

（Ⅱ）当0时，λa的方向与a的方向相同；当0时，λa的方向与a的方向相反；当0时，a0，方向是任意的

5、两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a

6、平面向量的基本定理：如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1,2使：a1e12e2，其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

二.平面向量的坐标表示

1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a可表示成axiyj，记作a=(x,y)。

2平面向量的坐标运算：

(1)

若ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2,y1y2

(2)

若Ax1,y1,Bx2,y2，则ABx2x1,y2y1

(3)

若a=(x,y)，则a=(x, y) (4)

若ax1,y1,bx2,y2，则a//bx1y2x2y10

(5)

若ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2y1y2

若ab，则x1x2y1y20

三．平面向量的数量积

1两个向量的数量积：

b=︱a︱·已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a·︱b︱cos

叫做a与b的数量积（或内积）

规定0a0

2向量的投影：︱b︱cos=ab∈R，称为向量b在a方向上的投影投影的绝对值称为射|a|影

b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积

3数量积的几何意义：

a·

4向量的模与平方的关系：aaa2|a|2

5乘法公式成立： aba2abb22ababa2b2ab；

222a2abb

226平面向量数量积的运算律：

①交换律成立：abba

R

③分配律成立：abcacbccab

特别注意：（1）结合律不成立：abcabc；

②对实数的结合律成立：ababab（2）消去律不成立abac不能得到bc

（3）ab=0不能得到a=0或b=0

7两个向量的数量积的坐标运算：

b=x1x2y1y2

已知两个向量a(x1,y1),b(x2,y2)，则a·8向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作OA=a, OB=b,则∠AOB=

00（0180）叫做向量a与b的夹角

cos=cosa,babab=x1x2y1y2x1y1x2y22222

当且仅当两个非零向量a与b同方向时，θ=00，当且仅当a与b反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题

9垂直：如果a与b的夹角为90则称a与b垂直，记作a⊥b

010两个非零向量垂直的充要条件：

a⊥ba·b＝Ox1x2y1y20平面向量数量积的性质

六、作业安排：

完成平面向量章节复习练习题