信息技术应用 利用信息技术制作三角函数表教学活动设计方案

3.1.1

两角差的余弦公式

高中数学

人教A版2003课标版

1教学目标

1、掌握两角差的余弦公式,并能用之解决简单的问题。

2、渗透探究思想、类比思想以及分类讨论等思想。

2学情分析

教学内容涉及第一章和第二章，教学效果与学生基础有关。大部分学生应能达到设计效果，个别后进生只能简单运用公式。

3教学工具

多媒体

4重点难点

重点：通过探索得到两角差的余弦公式，公式的灵活应用。

难点：两角差的余弦公式探索与证明。

5教学过程

5.1 第一学时

教学活动

活动1【导入】两角差的余弦公式

1.两个诱导公式：

（1）

cos( π

—β)＝? （2）

cos(π/2 —β)＝? 大家接着思考一个问题，当特殊角π和π/2被一般角α取代，

即

cos( α－β

)＝? (不可能直接等于cosα或sinα或cosβ或sinβ) 2.下列这些可能是某些同学第一感觉

cos(α－β)＝cosα－cosβ cos(α－β)＝cosα*cosβ

cos(α－β)＝sinα－sinβ cos(α－β)＝sinα*sinβ

cos(α－β)＝sinα－cosβ

cos(α－β)＝sinα*cosβ cos(α－β)＝cosα－sinβ cos(α－β)＝cosα*sinβ

那么这些结论是否成立？（特殊角度验证，同是也是后进生的易错点）

让学生明白,要想说明猜想正确,需进行严格证明,而要想说明猜想错误,只需一个反例即可. 虽然这些猜想都不正确，不过根据两个诱导公式，我们相信cos(α－β)的值应该与cosα，cosβ，sinα，sinβ有关。

究竟cos(α－β)等于什么，我们继续研究。

如果把α－β看作成一个角，那么cos(α－β)就是一个角的余弦值。

3.公式推导：就我们已经会的知识，对于一个角的余弦，所学的无非就是第一章三角函数定义和第二章向量夹角。

方法一：利用单位圆上的三角函数线

图1 如图1, 设角α的终边与单位圆的交点为P1, ∠POP1=β, 则∠POx=α-β. 过点P作PM垂直于x轴,垂足为M,那么OM就是角α-β的余弦线, 即OM=cos(α-β),这里就是要用角α、β的正弦线、余弦线来表示OM. 过点P作PA垂直于OP1,垂足为A,过点A作AB垂直于x轴,垂足为B,过点P作PC垂直于AB,垂足为C. 那么,OA表示cosβ, AP表示sinβ,并且∠PAC=∠P1Ox=α.

于是,OM=OB+BM=OB+CP=OAcosa+APsina=cosβcosα+sinβsinα, 所以,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. 上述的推理过程中,角α、β、α-β是有条件限制的,即α、β、α-β均为锐角,且α>β,如果要说明此结果是否对任意角α、β都成立,还要做不少推广工作,并且这项推广工作的过程比较繁琐,我们放在课后一起探讨。

方法二：利用向量知识证明

假设与的夹角为θ，＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ）

由向量数量积的概念，有·＝||·||cosθ＝cosθ

由向量数量积的坐标表示有·＝cosαcos β+ sinαsinβ

于是有

cosθ＝cosαcos β+ sinαsinβ

分类讨论如下：

（1）α－β在[0，π]时，θ＝α－β

（2）α－β在[π，2π]时两向量夹角θ＝2π-（α－β） 此时

cos[2π-（α－β）]＝cos（α－β） （3）α－β在全体实数范围都可以由诱导公式转换到[0，2π] 综合三种情况，cos(α－β)＝cosαcos β+ sinαsinβ。

4．实战例题

例1: 用两角差的余弦公式证明问题

（1）cos (π—β)＝－cos β （2）cos (2π—β)＝cos β

证明（1）

cos(π—β) ＝

cosπ·cosβ＋sinπ·sin β

＝－1·cosβ

+0·sinβ ＝－cosβ

证明（2）

cos(2π—β) ＝

cos2π·cosβ

+ sin 2π·sinβ

＝1·cosβ

+ 0·sinβ

＝cosβ

例2: 用两角差余弦公式求cos15°. 解法一:cos15°

＝cos(45°—30°) ＝cos45°·cos30°+sin45°·sin30°

＝＝

解法二: cos15°= cos(60°—45°) = cos60°·cos45°＋sin60°·sin45°＝

5．动手练习：证明: cos[α- (-β)]= cosα·cos β－sinα·sinβ

证明: cos [α－(- β）] =cosα·cos( -β) +sin α

·sin(-β) = cosα·cosβ－sinα·sin β

其实我们得到了两角和的余弦公式：

cos(α＋β)=cosα·cosβ－sinα·sinβ

6．对比两角和与差的余弦公式:

cos(α–β)=cosαcosβ

+ sinαsinβ

cos(α＋β)=cosαcosβ

－

sinαsinβ

余

余

前后异号 正

正

7．继续强化和巩固

化简求值：

（1）

cos105°cos15°＋sin105°sin15° （2）cos(θ+20°)cos(θ－40°)＋sin(θ+20°)sin(θ－40°) （3）sin35°sin10°－cos35°cos10° （4）sin55°cos10°－sin35°sin10° （5）sin55°cos10°－cos35°sin10° （6）sin125°cos10°－cos35°sin10°

（7）sin125°cos10°－cos35°cos80°

8．作业：

P131 1、5。

9．回顾反思：公式本身的记忆和运用得熟练，但在推导公式过程中，培养对生对数学的兴趣和数学思想是学生成长的必要。