信息技术应用 利用信息技术制作三角函数表优质教案设计

《两角差的余弦公式》教学设计

课题

项目

教

材

地

教

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作

用

材

分

教

学

目

析

标

两角差的余弦公式

内 容

理论依据或设计意图

《两角差的余弦公式》是普通高中课程

标准实验教科书人教A版数学4（必修）中

的第三章的3.1.1节内容，教学课时为1

课时。前两章学生已经学习了任意角的三角

函数和平面向量等知识，对三角函数有了一

定的认识，有利于学生接受两角差的余弦公课程标准

式. 《两角差的余弦公式》是三角恒等变换这一章中的一个重要内容，只有对两角差的余弦公式有了认识，才能够以此为基础推导其他三角恒等变换公式。这是一个逻辑推理过程也是一个认识三角函数式的特征，体会三角恒等变换特点的过程. 1．知识与技能

（1）通过对两角差的余弦公式的推导，

使学生体会应用向量解决数学问题的技能.

（2）通过公式的灵活应用，使学生掌握根据新课程标准两角差的余弦公式的作用. 的要求，从提高学生的2．过程与方法

数学素质和能力出发，（1）利用两角差的余弦公式推导过程，结合学生心理发展的使学生体会向量在代数几何方面运用的方需求，以及人格、情感、式方法. 价值观的具体要求制（2）在公式的灵活运用过程中进一步培订. 养学生分类讨论思想、转化和化归思想、数

形结合思想. 3．情感态度与价值观

通过引导学生主动参与、大胆猜想独立探索、激发学生学习兴趣，形成探究、证明、应用的获取知识的方式。从应用中去体会数学的严谨，形成理性思维，体会向量及两角差的余弦公式的运用价值。

- 1 -

重

难

点

教

学

设

计

数学教学不仅使重点：两角差的余弦公式的运用.

难点：用两角差余弦公式进行简化、计算及学生理解知识的发生过程，更重要是培养学逆用公式等技能.

生对知识的应用能力.

一

活动1.（教师活动）提出问题：已知OP为角的终边，在单位圆中用角的三角函数通过设问，激发学生

温来表示点P的坐标。

自觉回顾三角函数的（学生活动）回忆三角函数定义、三角函数故相关知识，为公式的探知线.

新

索提供思路.

二

研探论证

活动2：（合作交流）如图，在平面直角坐标系中作单位圆，以x轴非负半轴为始边作角，，它们的终边与单位圆O的交点分别为A、B，则Acos,sin，

在教师的引导下，通过求两个已知向量的夹角问题以及三角函数定义的应用得出新的结论，使学生体会和认识严格的推导过程是获取数学结论的方法。

由学生得到结论，让学生在数学课上体会成功.

由于向量工具已被引入，因此将问题归结为角度问题，选用向量方法推导公式，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，大大降低了思考难度.另外，在公式的完善过程中，学生用对比、联系、Bcos,sin；

1、点A，点B的坐标及向量OA、OB的坐标是什么？

2、向量OA、OB的数量积由坐标怎么表示？

3、向量OA、OB的夹角是什么？

4、向量OA、OB的数量积由定义怎么表示？

活动3：

（教师活动）引导学生说出两角差的余弦公式的结构特点. （学生活动）发现公式左边是差角的余弦，右边是单角同名三角函数值乘积之和.

活动5：例题分析

（教师活动）

- 2 -

教

学

设

计

二

研探论证

讲评例1.利用两角差的余弦公式求cos15的值．

这是通过应用理解公式最基础的练习，在讲评过程中引导学生注意以下几个要点：

（1）三角变换关注角的拆分，易于理解. （2）由于是具体角，拆分过程容易进行. （3）拆分的多样性，决定变换的多样性.

（学生活动）

练习1：利用差角余弦公式证明：

（1）cossin

2（2）coscos

（教师活动）对学生的证明过程进行点评，使学生认识到该诱导公式是两角差余弦公式的特殊情形.

思考：（学生活动）求出sin75的值. （1）通过诱导公式转化为cos15；

（2）转化为先利用cos(12045)求cos75，再用同角关系求sin75

（3）拆分75°，求sin(45°+30°)为下节课学习做铺垫

（教师活动）

讲评例题2：

45已知sin,(,),cos,是5213第三象限角，求cos()的值. 化归的观点去分析问题、处理问题，使他们在建立公式的过程中发展逻辑推理能力和对知识的迁移应用.

培养学生用自己的语言描述公式特征的表达能力。加深对公式的印象，掌握公式特点，为下一步公式的应用做好铺垫.

非特殊角与特殊角之间的转化，进一步巩固公式的应用，渗透化归的数学思想.

利用差角的余弦公式解释前面学过的诱导公式，使学生独立完成证明，培养学生独立思考的数学思维品质和对数学知识前后联系，引导学生分析问题，形成如下思路：结合余建立数学知识网络的弦公式,欲求cos()的值,必先知道能力.

sin,cos,sin,cos的值,然后利用公式

余弦之间的转C()即可求解,注意角,所在的象限,准通过正、- 3 -

教

学

设

计

二

研探论证

三

反馈练习

确判断它们的三角函数值的符号.

化；检测学生对知识的应用程度，为后面学习合角公式做铺垫。

对题目进行解析，使学生形成解决这类问题的基本思路. 在讲评例题的过程中注重在表述规范性上作出点评和要求，提高学生的数学表达能力. 活动6：课堂练习

（学生活动）

学生练习，运用公式解决以下问题：

口述学生的解答过程，

是本节课教学的重要3（1）已知cos，，，求一环，

能充分调动学52生学习数学的实践活动能力，使教师了解学cos

的值.

生学习情况，是激发学4生学习兴趣的有效途（教师活动）对学生的计算过程的每一步进径. 行点评，是学生认识到两角差余弦公式使用

时注意利用特殊角的正弦值余弦值.

（学生活动）学生认真审题，求解问题

通过问题的设计，注重培养学生分类讨论- 4 -

教

学

设

计

的数学思想,在解题的23（2）已知sin，，，过程中培养学生思维32的严密性和逻辑的条理性，同时注重对学生33cos，,2，求cos的的表述规范性的指导. 42

值.

活动7：变式训练

（学生活动）

四

化简求值：

在练习中加深对公式cos53cos23sin53sin23

变（1）结构和功能的认识，使cos80cos35cos10cos55（2）

式学生熟练、灵活运用公

训式；掌握三角式变换的（教师活动）点评，不仅要会公式的正用而练

且要注意公式的逆用和变形应用. 特点，培养学生公式的

逆用能力.

课堂小结：

让学生在课堂小五

通过本节课的学习你有哪些收获？

结中进行自我评价，回

交流学习1、探索并证明了两角差的余弦公, 经历了，顾当堂所学，应体会. 猜想—

探究—证明 ,利用向量法得出了：用注意公式特征，正cos()coscossinsin

评在证明公式的过程中，我们利用了向量用，逆用和角的拼凑！价

这一简洁有效的工具，在后面的学习中我们在探究问题时，结合所

会继续感受它的便利. 学知识，要大胆猜想，

细心证明！

布置作业：

1. 基础题：课本P137习题3.1第2、3题；

通过例题、练习、课堂2. 探究题：猜想并证明cos和小结、作业等对学生在三维目标方面进一步sin公式；

评价，反思教学，改进方法.

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板书设计：

投影屏幕

两角差的余弦公式cos()coscossinsin(C())

例2：

例1：

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