2.1.3 相等向量与共线向量优质课一等奖教案

2.1.3 相等向量与共线向量【教学目标】1.1.掌握相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.2.3.3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.【教学重点】理解并掌握相等向量、共线向量的概念，【教学难点】平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.【教学思路】一、情景设置：

1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向）2、什么叫向量的模？零向量和单位向量分别是什么概念？ 3、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？

4、有一组向量，它们的方向相同、大小相同，这组向量有什么关系？5、任一组平行向量都可以移到同一直线上吗？这组向量有什么关系？二、新课学习

探究（一）：相等向量与相反向量

思考1：向量由其模和方向所确定.对于两个向量a、b，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？

思考2：两个向量不能比较大小，只有“相等”与“不相等”的区别，你认为如何规定两个向量相等？

uuurruuuruuuruuu思考3：用有向线段表示非零向量AB和

CD，如果AB=

CD

，那么A、B、C、D四点的位置关系有哪几种可能情形？

uuur思考4：对于非零向量AB点B与D的位置关系如何？

uuurruuuruuu和CD，如果

AB=CD ，通过平移使起点A与C重合，那么终ruuuruuu思考5：非零向量

AB与BA称为相反向量，一般地，如何定义相反向量？

uuur思考6：如果非零向量AB的位置关系如何？ 1定义：长度相等且方向相同（反）的向量叫相等（反）向量.uuur与CD是相反向量，通过平移使起点A与C重合，那么终点B与D 2说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.．．．．．．．．．．

探究（二）：共线向量与平行向量关系：

思考1：如果两个向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？

思考2：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行记作a//b，那么平行向量所在的直线一定互相平行吗？

思考3：零向量0与向量a平行吗？规定：零向量与任一向量平行. uuuruuuruuurOB=b，OC=c，那么点A、B、向量a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，分别作

OA=a，C的位置关系如何？

思考5：上述分析表明，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共思考4：将向量平移，不会改变其长度和方向.如图，设a、b、c是一组平行向量，任作一条与ruuuruuu线向量.如果非零向量AB与CD

是共线向量，那么点A、B、C、D是否一定共线？

思考6：若向量a与b平行（或共线），则向量a与b相等或相反吗？反之，若向量 a与b相等或相反，则向量a与b平行（或共线）吗？

思考7：对于向量a、b、c，若a // b， b // c，那么a // c吗？

思考8：对于向量a、b、c，若a =b， b =c，那么a = c吗？ 1.平行向量定义：平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上。

（与有向线段的起点无关）.．．．．．．．．．．．2.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 三、理解和巩固：

例1 判断下列命题是否正确：

（1）若两个单位向量共线，则这两个向量相等； （ ）

（2）不相等的两个向量一定不共线； （ ）

（3）在四边形ABCD中，若向量与共线，则该四边形是梯形；（ ）

（4）对于不同三点O、A、B，向量与一定不共线. （ ）

例2．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量. 变式一：与向量OA长度相等的向量有多少个？（11个）

变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）

变式三：与向量共线的向量有哪些？（CB,DO,FE）

例3下列命题正确的是（ ）

A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点

C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C. 四、当堂检测：

1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由

①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；

②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量不相等；

④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC ⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；

⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. 解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定. ③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确. ⑥不正确.如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同. 2．书本77页练习4题

五、课堂小结

：

1.相等向量与相反向量是并列概念，平行向量与共线向量是同一概念，相等向量（相反向量）与平行向量是包含概念. 2.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关. 3.向量的平行、共线与平面几何中线段的平行、共线是不同的概念，平行向量（共线向量）对应的有向线段既可以平行也可以共线. 4.平行向量不具有传递性，但非零平行向量和相等向量都具有传递性. 四、课后作业：

《优化设计》2.1.3习题。