2.1.2 向量的几何表示优质课教案推荐

《平面向量的实际背景及基本概念》教学设计 唐山市曹妃甸区第一中学 李立娟

一、教材内容分析

1．教材的地位和作用

本节内容是选自人教A版高中数学必修4第二章第一节，由于向量是近代数学中重要和基础的数学概念之一，它具有几何形式和代数形式的“双重身份”，因而成为数形结合的桥梁，成为沟通代数、几何、三角的得力工具.向量的概念从大量的生活实例和丰富的物理素材中抽象出来，反过来，它的理论和方法又成为解决生活实际问题和的物理学重要工具.它之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，可以使复杂问题简单化、直观化，使代数问题几何化、几何问题代数化.正是由于向量所特有的数形二重性，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介，在高中数学教学内容中有广泛的应用.本节课是向量的入门课，概念较多，但难度不大，学生可借鉴对物理学中的位移、力、速度等的认识来学习.

2.学情分析：

高一学生在认识能力、抽象能力和思维能力等方面相对较弱，由于对向量的认识还是比较单一的（往往只考虑大小而忽略方向），所以学生对它的认识不可能一步到位。因此，进行概念教学时，除了对概念进行逐字逐句分析外，还要通过日常生活中的实例和不同的例题对概念进行分析，并通过老师的引导，使学生对概念的理解逐步深入。

3.教学目标的确定

根据本课教材的特点，新课标的教学要求，学生身心发展的需要，本节课确定教学目标如下：

知识与技能

（1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；

（2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；

并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系

（3）通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 过程与方法

引导发现法与讨论相结合。这是向量的第一节课，概念与知识点较多，在对学生进行适当的引导之后，应让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提高学生学习的积极性。体现了在老师的引导下，学生的主体地位和作用。

情感目标与价值观

通过对向量与数量的比较，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，并且意识到数学与现实生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的。

4、教学重点及难点

（1）．重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示等

（2）．难点：向量的概念和共线向量的概念

二．教法分析：

向量的概念是从生活实例和物理素材中抽象出来的，如物理学中的位移、力、速度等概念，其几何背景是有向线段，虽然是抽象的形式符号，教学时依然可以用位移、力等物理量为背景，理解上并不困难.因此教学时要注意把握概念的物理意义，理解有关概念的实际背景，有助于学生认同新概念的合理性.而相等向量、共线向量等概念可以让学生在对向量的两要素（大小、方向）的认识中结合具体案例主动构建，让学生自己得出的概念比简单的告诉印象要深刻得多.总之，为了加深学生对向量内涵的理解，应精心选例设问，引导学生的思考置疑.通过直观形象→具体→抽象→再具体的反复过程，正向思考与逆向思考相结合，使学生逐步理解概念，克服思维的负迁移. 三．学法指导：

1

本课以问题为中心，以解决问题为主线展开，学生主要采用“探究式学习法”进行学习。本课学生的学习主要采用下面的模式进行：

通过直观形象→具体→抽象→再具体的反复过程。

学生在物理学科中已经积累了足够多的向量模型，并且在三角函数线部分内容的学习中（必修4任意角的三角函数、三角函数的图像与性质）已经接触到有向线段的概念，从而为本节课的学习提供了知识准备；学生间通过一学期的共同学习，其合作探究的习惯和意识已然养成，这就为本节课的学习提供了认知准备.

四：教学流程设计

创设情境 导入新课

提出问题

分析问题

引

出

概

念

ysinx,x[0,2]应用概念

巩固提升

小结

布置作业

五、教学过程与操作设计、

ysinx,x[0,2]教学

环节

创

设

情

境

问题设计

考考你：时间，路程，压力，重力、速度，温度师生互动 创设意图

情境设置符合学生的认知规律；从具体到抽象，从特殊到一般，从学生熟悉的经验和感兴趣的问题开始，从而顺利地将学生引导到向量的学习中来。

学生：

那些是矢量，哪些是标量？（课件展示）

阅读完后小组交以上这些量在物理中称为矢量的数学中称为标流完成，团结协作，培养合作能量，标量在数学中称为数量，今天我们开始学习向量。

力。

小组同学到黑认真阅读教材74—75页，并思考如下问题：

板上展示，注意板思考：

书清楚，思路明确。

问题1：找出向量的定义？并举例说明它与数量

教师：

的区别？

在教室中巡问题2：你能按书中向量的表达方式表示下列向视，及时发现问题，帮助学生解决量和它的大小吗？

问题。与学生近距离的接触。

问题3：你能按书中向量的表达方式表示下列向量和它的大小吗？

2

新

课

探

明白向量与利用类比的数量的不同。

思想得到数

量的定义。

让学生问题2、向量的几何表示

进一步体会（类比实数的数轴表示并结合实例过渡到向量的几并会进行表示向到向量的方何表示）

a

量，学以致用。并向性

向量的几何表示：

让他

B 谈具体要求，A 们体会学习的快 利用类（1）几何表示法；用有向线段表示；

乐和成就感。

比物理中力（2）向量的字母表示：用字母ａ、ｂ（黑体，印刷

的有向线段用）等表示，书写用a，b等；或用有向线段的

表示，类比向

量的表示方起点与终点字母：AB等；

法。

（2）向量AB的大小就是有向线段AB的长度（或

学生用过手

称模），记作|AB|；向量方向就是其有向线段指比划会“A地至

的箭头指向。

B、C两地的位移”

判断题1

学生更容1.

身高是一个向量. （ ）

易理解掌握2.

温度含零上和零下温度，所以温度是向量.（ ）

向量的表示3.

直角坐标平面上的 x 轴和 y 轴都是向量.（ ）

方法。

例1、如图，试根据图中的比例尺以及三地的位置，

在图中分别用有向线段表示A地至B、C两地的位移

用手指比划向量的方向。

并会根据比例尺得到AB,AC的距离。

问题1、向量定义：我们把既有大小又有方向的量叫向量

设问：时间、路程、功是向量吗？速度与加速度呢？

从而归纳出数量与向量的相关概念：数量只有大小，是一个代数量；向量有方向，大小，双重性.

解：AB表示A地至B地的位移，且|AB|≈____________

3

究

学

习

类比实数中____________ 我们研究的特殊

实数0,1，得到从进一步问道：当B里A点很近，甚至达到重合时，大小上定义的零|AB|的模为多少？当|AB|等于一个单位长度时，向量和单位向量概念。 AB也很特殊，他们叫什么呢？你能不能给他们起个

名字？

总结：

（3）零向量、单位向量概念：（从向量的大小方面过

渡）

①长度为0的向量叫做零向量，记作0。0的方组织学生进向是任意的。

行思考、交流能根据向量的平移性②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.

质得出正确的结说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 论。

判断题2

（1）若a0,则a0

（2）在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那么它们的终点的集合组成什么图形？（圆）

AC表示A地至C地的位移，且|AC|≈思考：如果转成空间中呢？

（球）

如图，设O是正六边形ABCDEF的中心,，观察图形中的线段，又怎样的位置关系？（平行，共线）

BA

思考：如何从作图

找到线段的位置CF

关系？如果画上

箭头表示向量的话，你认为向量有

ED怎样的位置关四、平行向量定义（从向量的方向关系进行引入）：

系？

平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行

向量；若向量a，b平行，记作a∥b

②我们规定0与任一向量平行，即都有0∥a.

学习过概念说明：综合①、②才是平行向量的完整定义

以后，我们通过三相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等个辨析题，加强对概念的理解。

向量.说明：（1）若向量a与b相等，记作a=b；

2）BAOODE任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关. ．．．．．．．．．．思考：共线向量与平行向量的关系？

平行向量就是共线向量

类比有助于将学生认知进行迁移，顺利形成向量的知识。

让学生独立思考，得到结论，加深对有向线段和向量的理解。

代数与几何的相互转化，数形结合思想的引入。

通过线段的位置关位置关系类推向量的位置关系（相等和平行）

类推思想的应用，提高学生的归纳总结能力。

4

例2

如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量.

解：（学生口答）

变式一向量OA与EF相等吗? 变式二：与向量OA长度相等的向量有多少个？（11个）

变式三：与向量OA共线的向量有哪些？（CB,DO,FE）

让学生巩固相等向量与平行向量的概念。

学生能够通过这些问题，弄清向量学习中比较容易混淆的几个基本概念

课

堂

小

结

让学生总结进行适归纳本节课知识，时小结，让学回顾反思。

生对这次课的学习有个系统的认识，加深学习印象。

当

堂

检

测

一、选择题：

（1）下列各量中是向量的是（ ）

A．时间 B．面积 C．速度 D. 长度

( 2 ).下列说法正确的是 ( ) A. 方向相同或相反的向量是平行向量. B. 零向量是0 . C.长度相等的向量叫做相等向量. D. 共线向量是在一条直线上的向量. 二、判断题：

让学生自己能通过这次课的学习，独立思考，完成练习，达到检测学习的效果。

限时训练，提高学生的分析综合解题能力。

（3）若ab,则ab.(4)若a//b,b//c,则a//c.(()) （5）向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D 四点必在一直线上. ( ) （6）单位向量都相等. （ ） （7）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

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课后

作业

必做: 课本: 习题2.1 A组 3, 6

选做： B组题 1，2

布置适当的作业巩固学习效果。

让不同的学生学习不同的数学。

六、

板书设计

一、向量定义：

二、向量的表示方法：

课题：平面向量的实际背景及基本概念

三：特殊向量

例1

四：特殊关系：（从向量的方向关

系进行引入）：

例2

共线向量与平行向量关系：

七.课后反思

此课稿是按照“教师为主导,学生为主体，课本为主线”的原则而设计的。教师的主导作用在于激发学生的求知欲，为学生创设探索的情境，指引探索的途径，引导学生不断地提出新问题，解决新问题。向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示等的教学是本节课的重点，由于其几何背景是有向线段，虽然是抽象的形式符号，所以学生对它的认识不可能一步到位。因此，进行概念教学时，除了逐字逐句分析，还要通过日常生活中的实例和不同的例题对概念进行分析，并通过老师的引导，使学生对概念的理解逐步深入, 通过直观形象→具体→抽象→再具体的反复过程，正向思考与逆向思考相结合，使学生逐步理解概念，克服思维的负迁移.

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