复习参考题ppt配套的教学设计及说课稿

《数学必修三统计复习课》教学设计

福建省晋江市养正中学 郑明铿

（多媒体公开课）《必修三统计复习》教学设计2018.9 福建省晋江市养正中学 郑明铿

一、教学目标：

1通过小结与复习，梳理本章知识内容，强化知识间的内在联系，提高综合运用知识解决问题的能力。

2．通过例题的讲解、讨论和进一步的训练，提高学生灵活运用本章知识解决问题的能力。

二、学情分析

现代社会是信息化的社会,人们常常需要收集数据,根据所获得的数据提取有价值的信息,作出合理的决策。统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科,它可以为人们制定决策提供依据。“统计”这一章,是初中数学中的“统计初步”的深化和拓展。要求主要会用随机抽样,分层抽样的方法从总体中抽取样本,并用样本频率分布估计总体分布。本章全国高考题常以中档题为主，常以实际问题为背景,综合考查学生应用基础知识解决实际问题的能力。全国高考的热点是总体分布的估计和抽样方法。知识的交汇点是排列、组合、概率与统计的解答题。

三、教学重、难点：

重点: (1)统计知识的梳理和知识之间的内在联系; (2)用知识解决实际问题。

难点：

(1)能通过样本的频率分布估计总体的分布; (2)能应用相关知识解决简单的实际问题。三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学方法：探析归纳，讲练结合。

五、课时与设备：一课时，多媒体录播教室

六、教学过程

（一）知识点归纳

1．总体和样本

总体：在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体．

个体：把每个研究对象叫做个体．

总体容量：把总体中个体的总数叫做总体容量．

为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量。

．．．．．．，

，

，

2．简单随机抽样：

设一个总体的个数为N。如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。实现简单随机抽样，常用抽签法和随机数表法。

（1）抽签法

制签：先将总体中的所有个体编号（号码可以从1到N），并把号码写在形状、大小相同的号签上，号签可以用小球、卡片、纸条等制作，然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌；

抽签：抽签时，每次从中抽出1个号签，连续抽取n次；

成样：对应号签就得到一个容量为n的样本。

抽签法简便易行，当总体的个体数不多时，适宜采用这种方法。

（2）随机数表法

编号：对总体进行编号，保证位数一致；

数数：当随机地选定开始读数的数后，读数的方向可以向右，也可以向左、向上、向下等等。在读数过程中，得到一串数字号码，在去掉其中不合要求和与前面重复的号码后，其中依次出现的号码可以看成是依次从总体中抽取的各个个体的号码。

成样：对应号签就得到一个容量为n的样本。

结论： ①

用简单随机抽样，从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为1/N；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为n/N；

②

基于此，简单随机抽样体现了抽样的客观性与公平性；

③

简单随机抽样的特点：它是不放回抽样；它是逐个地进行抽取；它是一种等概率抽样。

3．系统抽样：

当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）。

系统抽样的步骤可概括为：

（1）将总体中的个体编号。采用随机的方式将总体中的个体编号；

（2）将整个的编号进行分段。为将整个的编号进行分段，要确定分段的间隔k.当N/n是整数时，k=n/N；当N/n不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体数N´能被n整除，这时k=N’/n；

（3）确定起始的个体编号。在第1段用简单随机抽样确定起始的个体边号l；

（4）抽取样本。按照先确定的规则（常将l加上间隔k）抽取样本：l,lk,l2k,,l(n1)k。

4．分层抽样：

当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层。

结论：

（1）分层抽样是等概率抽样，它也是公平的。用分层抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本时，在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，都等于n/N；

（2）分层抽样是建立在简单随机抽样或系统抽样的基础上的，由于它充分利用了已知信息，因此利

用它获取的样本更具有代表性，在实践的应用更为广泛。

简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较

类

别

简

单

随

机

抽

样

系

统

抽

样

分

层

抽

样

共同点

（1）抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等

（2）每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样

各自特点

从总体中逐个抽取

联

系

适

用

范

围

总体个数较少

总体个数较多

总体由差异明显的几部分组成

将总体均分成几部

在起始部分

分，按预先制定的规则样时采用简

在各部分抽取

随机抽样

分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样

将总体分成几层，

分层进行抽取

用样本估计总体

5．频率分布的概念：

频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。一般用频率分布直方图反映样本的频率分布。其一般步骤为：

计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差；决定组距与组数；将数据分组；列频率分布表；画频率分布直方图。

6．频率分布直方图的特征：

从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势。从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了。

7．频率分布折线图、总体密度曲线

频率分布折线图的定义：

连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图。

总体密度曲线的定义：

在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线。它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息。

根据这条曲线，可求出总体在区间（a，b）内取值的概率等于该区间上总体密度曲线与x轴、直线x=a、x=b所围成曲边梯形的面积。

总体分布密度密度曲线函数y=f(x)的两条基本性质：

①f(x) ≥0(x∈R)；②由曲线y=f(x)与x轴围成面积为1。

8．茎叶图

茎叶图又称“枝叶图”，与频率分布直方图一样，都是用来表示样本数据的一种统计图。通常我们将数的大小基本不变或者变化不大的位作为“茎”，将变化大的位作为“叶”。

茎叶图的书写规则：书写规则是：“茎”一般要求按照从小到大的顺序从上到下列出。公用“茎”的“叶”一般也按照从小到大的顺序同行列出，注意重复的项也必须写上。

特点：图形形状的特点：（1）若图形扁而宽，则说明整体的样本数据集中，样本数据的差异性不大。(2)若图形长而窄，则说明样本数据比较分散，标准差较大，距组较大。

优缺点：同频率分布直方图比较，茎叶图中所有的原始数据都可以得到。并且在以后新增加数据的时候容易修改，但直方图这样操作起来就很困难了。茎叶图也有其缺点，就是当样本数据比较多的时候，很难进行此操作。如果我们将茎叶图的茎和叶按逆时针方向旋转90度，得到的是一个没有坐标的直方图。通过此操作，很容易求出各个数据段的频率分布或频率百分比。下面我们通过几个例子来阐述上述问题。

样本的数字特征

9.众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。

中位数：将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

平均数：

一组数据的算术平均数，即x= 10.从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数：

1(x1x2xn)n众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标。

例如，（1）课本中调查的100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t.如上图（较细的虚线）所示；

（2）在样本中，有50％的个体小于或等于中位数，也有50％的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值。此数据值为2.02t。 （3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。由图估计平均数为2.02t。（较粗的虚线）；

11.三种数字特征的优缺点：

（1）、众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其它数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征。

（2）中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响。

（3）平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大。 12.方差、标准差

（1）方差的计算公式：

（2）标准差的计算公式：

（3）方差和标准差的意义：用于考察样本数据的分散程度的大小，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小。

变量间的相关关系

自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则两个变量之间的关系叫做相关关系. 13.相关关系的概念：

函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系，

函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大. 在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断. 14、最小二乘法：

回归直线的定义,使离差的平方和Q=(yiabxi)2最小的那条直线,这种使“离差的平方和为最小”i1n的方法叫做最小二乘法,要掌握用最小二乘法求回归直线系数a、b的公式:

b(xix)(yiy)i1n(xx)ii1nxyii1nninxynx22xi1,

2iaybx15.求回归直线方程的步骤：

(1)将已知的数据列表,列出x,y,并求出x,y,xy. xiyinxy,a=y－bx,计算回归系数b,a. (2)利用公式b=i1i1n22xinx2n2(3)写出回归直线方程y=bx+a.

开始、结束

必修3--统计习题课

网络流程设计

学生活动

网络应用

学生利用

网络学习

分析判断

图符

说明

教师活动、

教学内容

开始

创设情境

说明学习任务，提出学习要求

指导学生学习

网络

进入“必修3--统计”网页

提出讨论问题：众数,中位数,平均数与频率分布

直方图的关系

网络

分组协作，发表探索结果

网络

引导与启发思维

网络

归纳总结，形成结论

例题解析，学习反馈

网络

引导与启发思维

网络

归纳总结，反馈

]

结束

导学案（学生）

设计理念：自主学习，合作探究。

设计学习思路：统计知识点总结例题解析在线测试讲评作业

必修3--统计>>在线测试

协作讨论

1．系统抽样适用的总体应是( ) A.容量较少的总体 B.总体容量较多

C.个体数较多但均衡的总体 D.任何总体

2．某公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取20个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，则职员、中级管理人员和高级管理人员各应该抽取多少人（ ）

A．8，15，7 ; B．12，3，5 ; C．16，2，2 ;D．16，3，1. 3．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )

A．46，45，56;B．46，45，53;C．47，45，56 ;D．45，47，53. 4．样本容量为9的四组数据，他们的平均数都是5，条形图如图所示，则标准差最大的一组是（ ）

频率1.0频率1.0频率1.0频率1.00 5数据0 4 5 6数据0 3 4 5 6 7数据0 2 5 8数据

第一组 第二组 第三组 第四组

A．第一组; B．

第二组;C．

第三组;D．第四组. 5．某地区共有10万户居民，该地区城市住户与农村住户之比为4：6，根据分层抽样方法，调查了该地

区1000户居民冰箱拥有情况，调查结果如表所示，那么可以估计该地区农村住户中无冰箱的总户数约为（ ）

有冰箱

无冰箱

城市

356（户）

44（户）

农村

440（户）

160（户）

A．1.6万户;B．4.4万户;C．1.76万户;D．0.24万户

6.甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（ ）

A．66; B．65 ; C．64 ;D．63 . 7．为了了解1200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为 ( ) A.40;B.30;C.20;D.12.

8．已知x与y之间的一组数据如下表，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为ˆbx0.35,那么b的值为（ ） yA.0.5;B. 0.6;C.0.7;D. 0.8 . 9．一组数据8,12,x,11,9的平均数是10，则其方差是（ ）

（注：方差s2[(x1x)2(x2x)2A.1;B.3 ;C.2;D4 x

y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 1n(xnx)2]）

10.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程y0.67x54.9



现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为（ ）

A．68;B.70 ; C.71;D.75

必修3--统计>>例题解析

例1.为了解某校学生数学竞赛的成绩分布，从该校参加数学竞赛的学生成绩中抽取一个样本，并分成5组，绘成频率分布直方图如下图，从左到右各小组的小长方形的高之比为1:2:2:20:5,最右边一组的频数是20，请结合直方图的信息，解答下列问题；

（Ⅰ）样本容量是多少？

（Ⅱ）现用分层抽样的方法在该样本中抽取30个学生的成绩作进一步调查，问成绩在120分到150分的学生有几个？

解：（Ⅰ）设样本容量为n，由题意得n20，1222055所以n120

所以样本的容量为120.

（Ⅱ）设成绩在120分到150分的学生有x个，由题意得

x30，所以x5

20120

例题解析

例2.从某学校高二年级共400名男生中随机抽取了部分学生测量身高，据测量，被测学生身高全部介于150cm到190cm之间，请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：

（Ⅰ）填充频率分布表的空格；并补全频率分布直方分组

频数

频率

图. [150,155)

频率2 0.04 组距0.0800.0720.0640.0560.0480.0400.0320.0240.0160.008 150 155 160 165 170 175 180 185 190 身高/cm[155,160)

[160,165)

[165,170)

[170,175)

①

10 14 11 0.08 0.20 ②

0.22

[175,180)

4 0.08 （Ⅱ）试通过你完成的频率分布直方图，求这个问题的众数，中位数及平均数的估计值. [180,185)

③

④

[185,190]

2 0.04

合计

50 ⑤

解：（Ⅰ）①___4_____；②__0.28_____；③___3____；④__0.06_____；⑤___1.00______.

频率

组距

0.0800.072

0.064

0.056

0.0480.040

0.032

0.024

0.0160.008

150 155 160 165 170 175 180 185 190 身高/cm

（Ⅱ）

例3.某人今年1月份加盟了一个食品连锁店，下表为近5 个月的营业额：

月 份

营业额（万元）

2 8 3 10 4 11 5 12 6 14 假定近期营业额与月份呈线性相关．试预测今年7月份的营业额为 万元. （参考数据：28310411512614234，2345690）

b22222(xix)(yiy)i1n(xx)ii1nxyii1nninxynx22xi12i,

aybx15.2

例4.

某校十佳歌手比赛中，以下是十位评委给其中两位参赛选手甲、乙评定的成绩：

甲

79

90

84

86

81

87

86

82

85

83

乙

82

84

85

89

79

77

91

78

79

82 （Ⅰ）用茎叶图表示甲，乙两位参赛选手的成绩，并根据茎叶图判断甲、乙两人成绩谁更好；

（Ⅱ）右边的程序框图是用来统计每位选手的成绩（k表示评委的人数， y表示选手的成绩），横线①处应填什么？“S=S-a-b”的含义是什么？

（Ⅲ）根据程序框图，甲、乙的成绩分别是多少？

开始

S=0,k=1 a=0,b=100

①

是

输入x s=s-a-b y=s/8

S=S+x 输出y 否

a> x？

是

否

结束

a=x b< x？

否

b=x k=k+1

解：（Ⅰ）

甲

乙

9 7 9 7 9 8

7 6 6 5 4 3 2 1 8 2 2 4 5 9

0 9 1

由茎叶图可判断甲的成绩更好

（Ⅱ）横线①处填：x10

“S=S-a-b”的含义是：去掉最高分与最低分，然后计算另八位评委评定成绩的和

（Ⅲ）y甲84.125,y乙82.25

必修3--统计>>拓展延伸

一、随机抽样

【例1】某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适

A.系统抽样 B.简单随机抽样 C.分层抽样 D.随机数表法

【例2】为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k为

A.40 B.30 C.20 D.12 【例3】从N个编号中要抽取n个号码入样，若采用系统抽样方法抽取，则分段间隔应为

A.NNN B.n C.［］ D.［］+1 nnn【例４】系统抽样适用的总体应是

A.容量较少的总体 B.总体容量较多

C.个体数较多但均衡的总体 D.任何总体

【例5】下列说法正确的个数是

①总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法

②在总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样

③百货商场的抓奖活动是抽签法

④整个抽样过程中，每个个体被抽取的机率相等（有剔除时例外）

A.1 B.2 C.3 D.4 【例6】一批灯泡400只，其中20 W、40 W、60 W的数目之比为4∶３∶１，现用分层抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为______________.答案：20、15、5 【例7】从总体为.的一批零件中用分层抽样抽取一个容量为３０的样本，若每个零件被抽取的机率为０.25，则N等于

A.150

B.200

C.120

D.100 【例8】一个总体的60个个体的编号为0，1，2，…，59，现要从中抽取一个容量为10的样本，请根据编号按被6除余3的方法，取足样本，则抽取的样本号码是______________.答案：3，9，15，21，27，33，39，45，51，57

解析：即按等差数列抽取，首项为3，公差为6. 【例9】体育彩票000001～100000编号中，凡彩票号码最后三位数为345的中一等奖，采用的是系统抽样法吗？为什么？ 是系统抽样，系统抽样的步骤可概括为总体编号，确定间隔总体分段，在第一段内确定起始个体编号，每段内规则取样等几步.该抽样符合系统抽样的特点. 【例10】某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如下表所示. 很喜爱

2435 喜爱

4567 一般

3926 不喜爱

1072 电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出60人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中各应抽选出多少人？

∵6024354567392610721=,∴≈12,≈23，≈20，≈5.故四类人应分别抽取12、23、20、5人12000200400200200200进行调查. 二、用样本估计总体

【例1】为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12. （1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？

（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？

分析：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。

（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据

落在各小组内的频率大小，

因此第二小组的频率为样本容量第二小组频数12150

第二小组频率0.0840.08又因为频率=第二小组频数所以 24171593样本容量（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为171593100%88%

24171593【例2】某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为

A.0.6 h B.0.9 h C.1.0 h D.1.5 h 【例3】把容量为100的某个样本数据分为10组，并填写频率分布表，若前七组的累积频率为0.79，而剩下三组的频数成公比大于2的整数等比数列，则剩下三组中频数最高的一组的频数为___________. a1(1q3)由已知知前七组的累积频数为0.79×100=79，故后三组共有的频数为21，依题意=21，a11q（1+q+q）=21（整解方程）∵q>2, ∴1+q+q>7.∴a1=1，q=4.∴后三组频数最高的一组的频数为16. 【例4】某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表：

分数段

人数

［0，80）

2 ［80，90）

5 ）

［90，100）

6 22

分数段

人数

分数段

人数

［100，110）

8 ［130，140）

4 ［110，120 12 ［140，150）

2 ［120，130）

6

那么分数在［100，110）中的频率和分数不满110分的累积频率分别是_____、_______（精确到0.01）. 由频率计算方法知：总人数=45.分数在［100，110）中的频率为的累积频率为8 =0.178≈0.18.分数不满110分45256821=≈0.47. 4545

100～200 200～300 300～400 400～500 20 30 80 40 500～600 30 【例5】对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：

寿命（h）

个 数

（1）列出频率分布表；

（2）画出频率分布直方图和累积频率分布图；

（3）估计电子元件寿命在100～400 h以内的概率；

（4）估计电子元件寿命在400 h以上的概率. （1）频率分布表如下：

寿命（h）

100～200 200～300 300～400 400～500 500～600 合 计

（2）频率分布直方图如下：

频率组距累积频率1.000.800.600.400.20频 数

20 30 80 40 30 200 频 率

0.10 0.15 0.40 0.20 0.15 1 累积频率

0.10 0.25 0.65 0.85 1

0.00400.00350.00300.00250.00200.00150.00100.0005o100200300400500600寿命ho100200300400500600寿命h

（3）由累积频率分布图可以看出，寿命在100～400 h内的电子元件出现的频率为0.65，所以我们估计电子元件寿命在100～400 h内的概率为0.65. （4）由频率分布表可知，寿命在400 h以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35，故我们估计电子元件寿命在400 h以上的概率为0.35. 例3从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm）

设计了如下茎叶图：

甲

7

5 3 5 1 0

27 28

4

乙

8

7

8

5 3 9 5 7

4 3 4 5 4

2 1 0 3 1 2 29 30 31 32 33 35 2 4 2 0 1 6 5 6 3 2 3

7 5 2 6

5 4 7

6 7

8 9

8

根据以上茎叶图，对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：

①_______________________________________________________________________________ ②________________________________________________________________________________

（1）乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）。

（2）甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散。（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）。甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花纤维长度的分散程度更大）。（3）甲品种棉花纤维长度的中位数为307mm，乙品种棉花纤维长度的中位数为318mm。（4）乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）。甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀。

三、变量间的相关关系

【例1】有关线性回归的说法，不正确的是 A.相关关系的两个变量不是因果关系B.散点图能直观地反映数据的相关程度

C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系

D.任一组数据都有回归方程

【例2】下面哪些变量是相关关系

A.出租车费与行驶的里程 B.房屋面积与房屋价格C.身高与体重 D.铁的大小与质量

ˆ=1.5x－15，则

【例3】回归方程yA.y=1.5x－15 B.15是回归系数a C.1.5是回归系数a D.x=10时，y=0 【例4】r是相关系数，则结论正确的个数为 ①r∈［－1，－0.75］时，两变量负相关很强

②r∈［0.75，1］时，两变量正相关很强

③r∈（－0.75，－0.3］或［0.3，0.75）时，两变量相关性一般

④r=0.1时，两变量相关很弱

A.1 B.2 C.3 D.4 ˆ=bx+a过定点________. 答案：【例5】线性回归方程y（x，y）

ˆ=4.4x+838.19，则可估计x与y的增长速度之比约为:【例6】已知回归方程y5

22【例7】为研究某市家庭平均收入与月平均生活支出的关系，该市统计调查队随机调查10个家庭，得数据如下：

家庭编号

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi（收入）千元

0.8 1.1 1.3 1.5 1.5 1.8 2.0 2.2 2.4 2.8 yi（支出）千元

0.7 1.0 1.2 1.0 1.3 1.5 1.3 1.7 2.0 2.5 求回归直线方程. 解析：用计算机Excel软件作出散点图（如图2－3－12），观察呈线性正相关，并求出回归方程

ˆ=0.8136x－0.0044. y月支出(千元)32.521.510.500

煤气消耗量(百万立方米)30252015105

00

1

图2－2

4

5图2－3－12 3－13 3煤气使用户数(万户)0.5

1

1.5

2

2.5

3y=6.0573x

＋

0.0811平均收入(千元)2y=0.8136x

－

0.0044r

=0.9961【例8】某市近10年的煤气消耗量与使用煤气户数的历史资料如下：

年

份

1993 1 6 1994 1995 1996 1997 2 12.1 1998 1999 2000 4 24 2001 2002 x用户（万户）

y （百万立方米）

1.2 1.6 1.8 7 9.8 12 2.5 3.2 14.5 20 4.2 4.5 25.4 27.5 （1）检验是否线性相关；

（2）求回归方程；

（3）若市政府下一步再扩大5千煤气用户，试预测该市煤气消耗量将达到多少. 解析：用计算机Excel软件作出散点图（如图2－3－13），观察呈线性正相关，并求出回归方程.用2计算机Excel软件求回归方程时，点选“显示r的值”可进一步得到相关系数.（1）r=0.998>0.632=r0.05，ˆ=0.08+6.06x；ˆ=30.38，所以煤气量约达3038万立方米. 线性相关；（2）y（3）x0=4.5+0.5=5，代入得y【例9】有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的饮料杯数与当天气温的对比表： 摄氏温度

-5 0 4 7 12 15 19 23 27 93 31 76 36 54 热饮杯数

156 150 132 128 130 116 104 89 （1）画出散点图；

（2）从散点图中发现气温与热饮杯数之间关系的一般规律；

（3）求回归方程；

（4）如果某天的气温是2℃，预测这天卖出的热饮杯数。

x=2时，y=143.063 【例10】一个单位的职工有500人,其中不到35岁的有125人,35～49岁的有280人,50岁以上的有95人.为了了解该单位职工年龄与身体状况的有关指标,从中抽取100名职工作为样本,应该怎样抽取？

解析：抽取人数与职工总数的比是100:500=1:5,则各年龄段(层)的职工人数依次是125:280:95=25:56:19,然后分别在各年龄段(层)运用简单随机抽样方法抽取. 所以,在分层抽样时,不到35岁、35～49岁、50岁以上的三个年龄段分别抽取25人、56人和19人. 【例11】某校500名学生中,O型血有200人,A型血有125人,B型血有125人,AB型血有50人,为了研究血型与色弱的关系,需从中抽取一个容量为20的样本.按照分层抽样方法抽取样本,各种血型的人分别多

少？写出抽样过程. 解析：用分层抽样方法抽样,O型血抽8人,A型血抽5人,B型血抽5人,AB型血抽2人,各种血型的抽取可用简单随机抽样(如AB型)或系统抽样(如A型),直至取容量为20的样本.

【例12】一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次实验,收集数据如下: 零件数x(个) 加工时间y(分钟) 10 62 20 68 30 75 40 81 50 89 60 95 70 80 102 108 (1)画出散点图；(2)求回归方程；

(3)关于加工零件的个数与加工时间,你能得出什么结论？

解析:(1)散点图略.(2)Ⅰ.先把数据列成表. 项

目

类

型

A B C D E F G H ∑

零件数x

10 20 30 40 50 60 70 80 360 加工时间Y

62 68 75 81 89 95 102 108 680 x2

100 400 900 1600 2500 3600 4900 6400 20400 Y2

3844 4624 5625 6561 7921 9025 10404 11664 59668 xY 620 1360 2250 3240 4450 5700 7140 8640 33400 Ⅱ.计算b,a的值. 由上表分别计算x,Y的平均数得x=n360680,Y=. 88代入公式b=i1nxiyinxyi1,a=y－bx,得(注意:不必把x,Y化为小数,以减小误差

xinx2236068088=2800=0.666667,a=680－0.666667×360=85－30=55. b=3602420088204008()8334008Ⅲ.写出回归直线方程.y=55+0.666667x. (3)回归直线方程y=55+0.666667x中的回归系数b=0.666667,它的意义是:零件数每增加一个,加工时间平均增加0.666667 min.

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

2011-2016全国统一考试理科数学(概率统计)试题（高考真题体验）

1. (2011)某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

A配方的频数分布表

指标值分组

[90，94）

[94，98）

[98，102）

[102，106）

[106，110] 8 20 42 22 8 频数

B配方的频数分布表

指标值分组

[90，94）

[94，98）

[98，102）

[102，106）

[106，110] 4 12 42 32 10 频数

（I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；

（II）已知用B配方生产的一种产品利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为

2,t94y2,94t102

4,t102从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元）．求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）．

解

（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为的优质品率的估计值为0.3。

由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为的优质品率的估计值为0.42 （Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间90,94,94,102,102,110的频率分别为0.04，，054，0.42，因此

P(X=-2)=0.04，

P(X=2)=0.54，

P(X=4)=0.42，

即X的分布列为

228=0.3，所以用A配方生产的产品10032100.42，所以用B配方生产的产品100X

P

－2 0.04 2 0.54 4 0.42 X的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 2.(2012)

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，

如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n

（单位：枝，nN）的函数解析式。 （2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。

（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，

数学期望及方差；

（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？

请说明理由。

【解析】（1）当n16时，y16(105)80

当n15时，y5n5(16n)10n80

10n80(n15) 得：y(nN)

80(n16) （2）（i）X可取60，70，80

P(X60)0.1,P(X70)0.2,P(X80)0.7

X的分布列为

X

P

60

0.1

70

0.2

80

0.7

EX600.1700.2800.776

DX160.160.240.744

（ii）购进17枝时，当天的利润为

222y(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4

76.476

得：应购进17枝

3.(2013) 一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验. 假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为互独立. （Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；

（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望。

1，且各件产品是否为优质品相2

4.(2014) 从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s（同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(,)，其中近似为样本平均数x，近似为样本方差s. （i）利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；

2222

（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX. 附：150≈12.2. 若Z～N(,2)，则P(Z)=0.6826，P(2Z2)=0.9544. 解：

（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s分别为

2x1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+2200.08+2300.02

200

………………………………………………6分

（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，Z~N(200,150)，从而

P(187.8Z212.2)P(20012.2Z20012.2)0.6826……………………9分

（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的赶驴为0.6826，依题意知X~B（100，0.6826），所以EX1000.682668.26……………………………12分

5.(2015)

某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i1,2,...,8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。

x

y

w

(xx)ii182

(ww)ii182

(xx)(yy)

(ww)(yy)

iiiii1i188

46.6 563 6.8 289.8 表中wi1.6 1469 108.8 xi，wwi

i18（Ⅰ）根据散点图判断，yabx与ycdx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z0.2yx。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

（i）

年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),...,(un,vn),其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

^(uu)(vv)iii1n(uu)ii1n,vu

^^2解：

（Ⅰ）由散点图可以判断，ycdx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型………………2分

（Ⅱ）令w8x，先建立y关于w的线性回归方程，由于

d^(ww)(yy)iii1(ww)ii1^^82108.868

1.6cydw563686.8100.6

所以y关于w的线性回归方程为y100.668w，因此y关于x的线性回归方程^y100.668x…………………………………………6分

（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当x49时，年销售量y的预报值

^y100.66849576.6

年利润z的预报值

^

z576.60.24966.32…………………………………9分

（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值

^z0.2(100.668x)xx13.6x20.12

^13.66.8，即x46.24时，z取得最大值，

所以，当x2^故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大……………12分

6. (2016)

某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （I）求X的分布列；

（II）若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值；

（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？

《统计》作业2016.6.8 【课堂小结】

1．

用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：

a)

用样本平均数估计总体平均数。

b)

用样本标准差估计总体标准差。样本容量越大，估计就越精确。

2．

平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平。

3．

标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度。

【评价设计】

优化设计第二章测评卷