阅读与思考 向量的运算（运算律）与图形性质教学设计模板

阅读与思考：向量的运算（运算律）与图形性质

教学目的：

1．明确平面几何问题中的全等和平行（平移）、相似、垂直可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积等运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系。

2.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题，让学生归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”；

经过比较多种方法，帮助学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性，体会向量是一种处理几何问题等的工具，发展学生的运算能力和解决实际问题的能力。

教学重点：向量的运算与图形性质的关系；向量法解决几何问题的“三步曲”。

教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题。

教材与学情分析：为了拓展学生的知识面，教材安排了“阅读与思考”：向量的运算（运算律）与图形性质。本节内容是安排在2.5节平面向量应用举例后，学生对用向量方法解决平面几何问题已经有了初步学习。向量作为工具研究几何问题，开创了研究几何问题的新方法：建立向量运算与几何图形之间的关系，对图形的研究推进到了有效能算的水平。通过本节内容的学习，学生能体会向量运算把向量与几何、代数有机地联系在一起。通过向量，可以将几何问题转化为代数问题，将数与形完美地结合在了一起。

教学方法：小组合作探究、问题引导教学

教学工具：电子白板、教学助手、几何画板等。

教学过程：

一、初步感知：

完成下表: 几何图形

平行四边形

DC几何变换

向量运算

向量运算律

AB

相似三角形

EC

ADB直角三角形

A

CB通过表格的填写，让学生初步感知向量的运算（运算律）与几何图形的性质有紧密联系。以向量为工具，可以把几何图形、几何变换、向量运算律统一起来。

二、典例探究：

例1. 请证明：（勾股定理）已知RT

ABC中，∠C=90°，证明

. 要求：组员独立思考，组内讨论、交流，每组推荐一人完成组间汇报（解题方法、优势等）

设计目的：学生独立完成，每位同学选择的方法不尽相同，在组内的讨论交流中，比较各种方法的优劣，切实感受向量在解决几何问题的优越性。组间的汇报，在师生共同的交流下，学生发现，由于向量能够运算，它把一个思辨过程变成了一个算法过程，学生可以按一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度，进而将这种方法进行推广，类似的几何问题都可以采用此种方法。

三、小试牛刀：

①、菱形ABCD中，求证：AC⊥BD. ②、长方形ABCD中，求证：AC=BD. ③、已知AC为⊙O的一条直径，∠ABC为圆周角.求证：∠ABC＝90. 设计目的：由这三个练习，让学生进一步体会向量运算与几何图形性质的关系，利用向量可以快速解决几何问题。在解答的过程中，逐步感知用向量解决几何问题的步骤，为后面的归纳打下基础。

o四、总结提升：

①利用向量这个工具我们将几何问题转化为代数问题，这种转化的数学思想在以后的数学学习中经常用到。

②归纳利用向量解决平面几何问题有哪些步骤？

设计目的：数学思想是数学学习的灵魂，这里不仅有转化的数学思想，还涉及到数形结合，通过在教学中渗透数学思想，逐步培养学生的学科素养。

五、强化巩固：

例2、如图所示，在平行四边形ABCD中，BC=2BA,∠ABC=60°，作AE⊥BD交BC于E，求的值。

练习2、如图，已知AM是 中 边的中线，求证：

-

。

设计目的：学生根据上个环节归纳得出的三步曲，利用向量解决具体的几何问题。在讲解之前，引导学生使用信息技术先发现本题的结论，提出猜想，然后再用向量方法证明结论。

六、归纳小结：

①本节课主要学习了什么知识？

②你有哪些收获？

作业：①完成学案后的课后练习。

②根据本节课内容，选择合适的例子，完成本周的数学周记。

设计目的：在生生交流中，再次归纳总结本节课知识点，是自我完善也是他人帮助完善知识体系的过程。数学周记的撰写，让学生把所感所想呈现出来，也是培养数学素养的一个手段。

七、课后练习：

=

=

1、在四边形ABCD中，设

,

，则（ ）

①.若

A. 四边形ABCD是矩形 B.四边形ABCD是菱形

C. 四边形ABCD是正方形 D.四边形ABCD是平行四边形

，则（ ）

②.若

A. 四边形ABCD是矩形 B.四边形ABCD是菱形

C. 四边形ABCD是正方形 D.四边形ABCD是平行四边形

=0，则（ ）

③.若

A. 四边形ABCD是矩形 B.四边形ABCD是菱形

C. 四边形ABCD是正方形 D.四边形ABCD是平行四边形

2、在△ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是(

) 57A．25 B.5 C．35 D.5 22→→→→→→3、点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的(

) A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点

C．三条中线的交点 D．三条高的交点

o4、已知AC为⊙O的一条直径，∠ABC为圆周角.求证：∠ABC＝90

5、

如图，AD，BE，CF是△ABC的三条高.求证：

AD，BE，CF相交于一点.