2.5.2 向量在物理中的应用举例课堂实录【1】

2．5.2

向量在物理中的应用举例

[学习目标]

1.经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其它一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理物理问题的重要工具.3.培养运用向量知识解决物理问题的能力．

知识点一

平面向量的线性运算在物理中的应用

(1)力、速度、位移的合成就是向量的加法，符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则．

(2)力、速度、位移的分解就是向量的减法，符合向量减法的三角形法则和平行四边形法则．

(3)动量mv就是数乘向量，符合数乘向量的运算律．

思考

请利用向量的方法解决下列问题：

如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1. (1)求|F1|，|F2|随θ角的变化而变化的情况；

(2)当|F1|≤2|G|时，求θ角的取值范围．

解

(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，

得－G＝F1＋F2，|F1|＝|F2|＝|G|tan θ，

当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐增大．

(2)由|F1|＝|G|1，|F1|≤2|G|，得cos θ≥. cos θ2|G|，

cos θ又因为0°≤θ<90°，

所以0°≤θ≤60°. 知识点二

平面向量的数量积在物理中的应用

物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W＝|F||s|cos〈F，s〉，功是一个实数，它可正可负，也可以为零．力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它实质是向量F与s的数量积．

思考

已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了20 m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝10 m/s2) 答案

如图所示，设木块的位移为s，

则F·s＝|F||s|cos 30°＝50×20×3＝5003(J)．

2

将力F分解，它在竖直方向上的分力F1的大小为

1|F1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)，

2所以，摩擦力f的大小为

|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，

因此，f·s＝|f||s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．

题型一

平面向量的线性运算在物理中的应用

例1

某人在静水中游泳，速度为43 km/h，如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？

→→解

如图所示，设人游泳的速度为OB，水流的速度为OA，以OA、OB为邻边→→→→作平行四边形OACB，则此人的实际速度为OA＋OB＝OC，根据勾股定理，|OC|＝8，

Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人沿与河岸夹角60°顺着水流方向前进，速度大小为8 km/h. 反思与感悟

速度是向量，速度的合成可以转化为向量的合成问题，合成时要分清各个速度之间的关系．

跟踪训练1

某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向．

解

设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a，

→→设实际风速为v，那么此时人感到风速为v－a，设OA＝－a，OB＝－2a，→→→→PO＝v，因为PO＋OA＝PA，

→所以PA＝v－a，这就是感到由正北方向吹来的风速，

→→→→因为PO＋OB＝PB，所以PB＝v－2a. →于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB. 由题意：∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，

从而，△POB为等腰直角三角形，所以PO＝PB＝2a，

即：|v|＝2a. 所以实际风速是每小时2a千米的西北风．

题型二

平面向量的数量积在物理中的应用

例2

已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．

(1)求F1，F2分别对质点所做的功；

(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功．

→解

(1)AB＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，

→W1＝F1·AB＝(3,4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，

→W2＝F2·AB＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．

∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99 J和－3 J. →→(2)W＝F·AB＝(F1＋F2)·AB

＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15) ＝(9，－1)·(－13，－15) ＝9×(－13)＋(－1)×(－15) ＝－117＋15＝－102(J)．

∴合力F对质点所做的功为－102 J. 反思与感悟

物体在力F作用下的位移为s，则W＝F·s＝|F|·|s|cos θ，其中θ为F与s的夹角．

跟踪训练2

已知F＝(2,3)作用于一物体，使物体从A(2,0)移动到B(－2，3)，求F对物体所做的功．

→解

AB＝(－4,3)，

→W＝F·s＝F·AB＝(2,3)·(－4,3) ＝－8＋9＝1 (J)．

∴力F对物体所做的功为1 J.

向量坐标在求解物理问题中的应用

例3

帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h，若不考虑其他因素，求帆船行驶的速度与方向．

分析

设帆船行驶的速度为v，依题设条件建立直角坐标系，求出向量v1，v2的坐标，再利用向量v＝v1＋v2，即可求出帆船行驶的速度与方向．

解

如图所示，建立直角坐标系，风力的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20 km/h，水流的方向为正东，速度为|v2|＝20 km/h，帆船行驶的速度为

v，则v＝v1＋v2.由题意可得向量v1＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10,103)，向量v2＝(20,0)，则帆船行驶的速度为v＝v1＋v2＝(10,103)＋(20,0)＝(30,103)，

∴|v|＝302＋32＝203(km/h)．

1031∵sin α＝＝，α为锐角，

2032∴α＝30°. 故帆船向北偏东60°方向行驶，速度为203 km/h. 点评

(1)物理中的速度、加速度、位移都具有大小和方向，它们都是向量，从而物理量之间的关系可抽象为数学模型来解决．速度的分解也就是向量的分解，因而满足平行四边形法则．

(2)用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：①问题的转化：把物理问题转化成数学问题；②模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；③参数的获取：求出数学模型的解；④问题的答案：回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．

1.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为

N. 答案

10 解析

设重力为G，每根绳的拉力分别为F1，F2，则由题意得F1，F2与－G都成60°角，

且|F1|＝|F2|. ∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10 N. ∴每根绳子的拉力都为10 N. 2．已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝

J. 答案

300 解析

W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉

＝6×100×cos 60°＝300(J)．

3．一条河宽为8 000 m，一船从A出发航行垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为

分钟．

答案

30 解析

v实际＝v船＋v水＝v1＋v2

|v1|＝20，|v2|＝12，

∴|v|＝|v1|2－|v2|2

＝202－122＝16(km/h)．

8∴所需时间t＝＝0.5(小时)＝30(分钟)．

16∴该船到达B处所需的时间为30分钟．

1．力、速度、加速度、位移以及运动的合成与分解就是向量的加减法，利用向量的平行四边形法则或三角形法则加以解决．

2．物体在力F的作用下，发生位移s时，力F所做的功就是力F与位移s的数量积．

3．动量是质量与速度的数乘向量．

一、选择题

1．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(

) A．6

B．2

C．25

D．27 答案

C 2．用力F推动一物体水平运动s m，设F与水平面的夹角为θ，则对物体所做的功为(

) A．|F|·s

C．Fsin θ·s

答案

D 3．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为(

) A．40 N

C．202 N

答案

B 解析

|F1|＝|F2|＝|F|cos 45°＝102，

当θ＝

120°，由平行四边形法则知：

|F合|＝|F1|＝|F2|＝102 N. 4．共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为(

) A．lg 2

B．lg 5

C．1

D．2 答案

D 解析

F1＋F2＝(1,2lg 2)．

B．102 N D．103 N B．Fcos θ·s

D．|F|cos θ·s

∴W＝(F1＋F2)·s＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1) ＝2lg 5＋2lg 2＝2. 5．已知作用在点A的三个力f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)且A(1,1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为(

) A．(9,1)

B．(1,9)

C．(9,0)

D．(0,9) 答案

A 解析

f＝f1＋f2＋f3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)，

设合力f的终点为P(x，y)，则

→→OP＝OA＋f＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)．

6．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝(4，－3)(即点P的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为|ν|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(

) A．(－2,4)

C．(10，－5)

答案

C 解析

设(－10,10)为A，设5秒后P点的坐标为A1(x，y)，

→→则AA1＝(x＋10，y－10)，由题意有AA1＝5ν. x＋10＝20x＝10即(x＋10，y－10)＝(20，－15)⇒⇒. y－10＝－15y＝－5B．(－30,25) D．(5，－10)

二、填空题

7．河水的流速为2 m/s，一艘小船以10 m/s的速度垂直于对岸的方向行驶，则小船在静水中的速度大小为

m/s. 答案

226 解析

设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则v＝v1＋v2，|v1|＝2，|v|＝10. 所以|v2|＝|v－v1|＝v2－2v·v1＋v21

＝100－0＋4＝104＝226. 8．一个重20 N的物体从倾斜角为θ，斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，若重力做的功是10 J，则θ＝

. 答案

30°

解析

∵WG＝G·s＝|G|·|s|·cos(90°－θ) ＝20×1×cos(90°－θ)＝10 J，

1∴cos(90°－θ)＝，∴θ＝30°. 2

9．力F＝(－1，－5)作用于质点m，使m产生的位移s＝(4,6)，则力F对质点m做的功是

．

答案

－34 解析

∵W＝F·s＝(－1，－5)·(4,6)＝－34，

∴力F对m所做的功是－34. 10．如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是

(写出正确的所有序号)．

①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．

答案

①③

π解析

设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ(0<θ<)．则|F|cos θ＝|f|，∴|F|2|f|＝. cos θ∵θ增大，cos θ减小，∴|F|增大．

∵|F|sin θ增大，∴船的浮力减小．

三、解答题

11．在水流速度为4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/小时的速度航行，求船实际航行的速度的大小．

解

如图用v0表示水流速度，v1表示与水流垂直的方向的速度．

则v0＋v1表示船实际航行速度，

∵|v0|＝4，|v1|＝8，

∴解直角三角形|v0＋v1|＝42＋82＝45. 故船实际航行的速度为45千米/小时．

12．如图所示，两根绳子把重1 kg的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计，g＝10 N/kg)．

解

设A、B所受的力分别为f1、f2，

10 N的重力用f表示，则f1＋f2＝f，以重力的作用点C为f1、f2、f的始→→→点，作右图，使CE＝f1，CF＝f2，CG＝f，则∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°. 3→→∴|CE|＝|CG|·cos 30°＝10×＝53. 21→→|CF|＝|CG|·cos 60°＝10×＝5. 2∴在A处受力为53 N，在B处受力为5 N.

13．质量m＝2.0 kg的木块，在平行于斜面向上的拉力F＝10 N的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0 m的距离．(g＝9.8 N/kg) (1)分别求物体所受各力对物体所做的功；

(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？

解

(1)木块受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力FN，如图所示．拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为：

WF＝F·s＝|F||s|cos 0°＝20(J)．

支持力FN与位移方向垂直，不做功，所以

WN＝FN·s＝0. 重力G对物体所做的功为：

WG＝G·s＝|G||s|cos(90°＋θ)＝－19.6(J)．

(2)物体所受各力对物体做功的代数和为：

W＝WF＋WN＋WG＝0.4(J)．