2.1.3 相等向量与共线向量第二课时教学设计

§2.1.3

相等向量与共线向量

一、教学分析

本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用,可通过几个具体的例子说明它的应用.位移是物理中的基本量之一,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础. 二、教学目标

1、知识与技能：

了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量。

2、过程与方法：

通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别。

3、情感态度与价值观：

通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。

三、重点难点

教学重点:理解并掌握相等向量、共线向量的概念, 教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 四、教学设想：

（一）导入新课

思路.两列火车先后从同一站台沿相反方向开出,各走了相同的路程,怎样用数学式子表示这两列火车的位移？从中国象棋中规定“马”走日,象走“田”,让学生在图上画出马、象走过的路线引入也是一个不错的选择. （二）推进新课、提出问题

提出问题：

①满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗? ②有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系？怎样定义平行向量? ③什么是共线向量，平行向量与共线向量有哪些区别及联系？

讨论结果：

①长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. ②是平行向量.平行向量定义的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我们规定0与任一向量平行即0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义；向量a,b,c平行,记作a∥b∥c.

图1 又如图1,a,b,c是一组平行向量,任作一条与a所在直线0平行的直线l,在l上任取一点O,则可在l上分别作出OA＝a,OB=b,

OC=c.这就是说,任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量. 说明:平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系. ③是共线向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系. （三）应用示例

例1 ：判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由. (1)ABCD中,AB与CD是共线向量; (2)单位向量都相等. 活动:教师引导学生画出平行四边形,如图7. 因为AB//CD,所以AB∥CD.由于上面已经明确,单位向量只限制了大小,方向不确定,所以单位向量不一定相等,即单位向量模均相等且为1,但方向不确定. 解:(1)正确; (2)不正确. 点评:本题考查基本概念,对于单位向量、平行向量的概念特征及相互关系必须把握好.

图:2

例2：如图8,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中所示向量与OA、OB、OC、相等的量. 活动:本例是结合正六边形的一些几何性质,让学生巩固相等向量和平行向量的概念,正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,具有丰富的几何性质.教科书中要求判断OA与EF,OB与AF是否相等,是要通过长度相等方向相反的两个向量的不等,让学生从反面认识向量相等的概念. 解:OA=CB=DO;OB=DC=EO;OC=AB=ED=FO. 点评:向量相等是一个重要的概念,今后经常用到.让学生在训练中明确,向量相等不仅大小相等,还要方向相同. 变式训练

本例变式一:与向量OA长度相等的向量有多少个？

(11个)

本例变式二:是否存在与向量OA长度相等、方向相反的向量？(存在)

例3：

下列命题正确的是(

) A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点

C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

活动:由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确.由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确.向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确.对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,即只有C正确. 答案:C 点评:对于有关向量基本概念的考查,可以从概念特征入手,也可以从反面进行考虑.即要判断一个结论不正确,只需举一个反例即可.要启发学生注意这两方面的结合. （四）课堂小结

本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手,利用类比的方法,在上一节课介绍了向量的两种表示方法:几何表示和字母表示,几何表示为用向量处理几何问题打下了基础,字母表示则利于向量的运算；然后又介绍了向量的模的基础上，本节课介绍平行向量、共线向量、相等向量等重要概念,这些概念是进一步学习后续课程的基础,必须要在理解的基础上把握好。

（五）作业