阅读与思考 三角学与天文学教学目标

“任意角的三角函数”教学设计

淮南十中 刘

洋

一、教学分析

本节课的教学内容是任意角的三角函数，三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用.学生在初中学习了直角三角形中的锐角的三角函数，而高中则以直角坐标系为工具进行自然地推广而得到任意角的三角函数定义，紧紧扣住三角函数定义，自然地导出三角函数线、定义域、符号判断、同角三角函数关系、多组诱导公式、图象和性质。三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身.

二、学情分析

在初中学生学习过锐角三角函数。因此本课的内容对于学生来说，有一定的基础，新课的引入会比较容易和顺畅。学生要面对的新的学习问题是，角的概念推广了，原先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。

三、教学目标

1、知识与技能目标

（1）理解任意角的三角函数的定义；

（2）从函数的角度理解三角函数；

（3）利用三角函数的定义求已知角的三角函数；

（4）会根据角的终边上一点的坐标求角的三角函数值；

2、过程与方法目标

在任意角的三角函数定义的学习过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力，渗透数形结合的思想。

3、情态与价值目标

让学生通过学习感悟数学学科的严谨性和科学性，欣赏数学的简洁美，培养学生对数学学科的兴趣。

四、教学重、难点 1．重点: 任意角任意角三角函数定义。

2．难点: 任意角三角函数定义的建构过程。

五、教学理念和方法

教学过程中使用新课程教学理念，在教师的引导下，鼓励学生积极思考并回答问题，让学生参与课堂教学中来，采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学；以学生为主体，教师起辅助作用，多给学生展示自我的机会，充分调动学生积极参与课堂的积极性。

六、教学过程设计 【复习引入】

复习：初中锐角的三角函数是如何定义的？ B 在RtABC中，设A对边为a，B对边为b， c a C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依次为 A b C

1

aba,cosA,tanA

．

ccb然而，高中对角的定义与初中有所不同，也已将角拓展到了任意角，那么高中我们将给角的三角函数怎样的定义呢？这就是本节课要学习的——任意角的三角函数。

设计意图：

学生对角的正弦、余弦、正切的概念的认识还停留在初中层面，三角函数的概念在初中与高中阶段虽有不同，但也有一定的联系，复习引入不仅让学生容易接受，也为本节学习做了铺垫。

【探究新知】

提问：如果将刚才三角形的一个锐角放在直角坐标系中，且已知该锐角终边sinA上一点的坐标为P(x,y),那么如何求出该锐角的三角函数呢？

设锐角的顶点与原点O重合,始边与x轴正半轴重合,则它的终边在第一象限.在终边上任取一点P(x,y),它与原点的距离rx2y2.过P作x轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为x,线段MP的长度为y.则

sinMPyOMxMPy; cos; tan. OPrOPrOMx

y P（x，y）

r 

O M

思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点P在的终边上的位置的改变而改变呢？

设计意图：

涉及此问题是为了后面的在终边上取单位圆上的特殊点做准备，即为由一般到特殊做准备。

思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以推广到任意角呢？结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢? 若为任意角，则其三角函数值与为锐角时的三角函数值公式相同，即在的终边上任取一点P(x,y),则：

sinyryx2y2; cosyxx; tan

xrx2y2例1．

已知角的终边过点P0(3,4)，求角的正弦、余弦和正切值. 然而，以上求任意角的三角函数公式不够简洁，为了简化上述公式，我们引入单位圆的定义：在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以1个单位长度为半径的圆为单位圆. 提问：若上述任意角终边上一点P(x,y)为终边与单位圆的交点，那么的三角函数公式又是怎样呢？

2

引出三角函数的定义：

设是一个任意角,它的终边

与单位圆交于点P(x,y),那么: a的终边

P(x,yy 的正弦,记做sin,即siny；

的余弦,记做cos,即cosx；

O yx 的正切,记做tan,即tan(x0). x5例2. 求的正弦、余弦和正切值. 3设计意图：

这里对于任意角三角函数的定义的教学一改课本上先涉及单位圆给出任意角三角函数的定义，后讲已知终边上任意一点求三角函数的顺序，而是颠倒这个顺序，先讲已知终边上任意一点求三角函数，后取终边与单位圆的交点给出任意角三角函数的定义，由一般到特殊，这样不仅符合学生的认知规律，也避免了先涉及单位圆而引发的突然和尴尬。

所以，任意角的三角函数是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数. 设计意图：这里从函数的角度认识任意角的三角函数也是一种函数关系，为后面进一步学习三角函数的知识埋下伏笔，但不应多讲，点到为止即可，毕竟不是本节重点。

【巩固练习】

课本第15页 第1,2,3题

【探究】

请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：

三角函数

第一象限

第二象限

第三象限

第四象限

sin

cos

tan

例3 .确定下列三角函数值的符号：

11(1)cos250o;(2)sin();(3)tan(672o);(4)tan.

34sin0例4．求证：当且仅当不等式组{成立时，角为第三象限角. tan0设计意图：这里对任意角的三角函数在各象限的正负情况的探究属定性判断，它对学生对任意角的三角函数的定量计算有指导和检测意义，顾对其探究有一定的必要性。

3

【课堂小结】

由学生总结，教师评价补充

(1)理解三角函数的定义，并会运用定义求特殊角的三角函数值；

(2)能够利用已知角终边上任一点的坐标求三角函数值；

(3)理解三角函数的定义域并能准确判断三角函数值在各象限内的符号。

【布置作业】

必做题：1.已知角的终边过点P(3，-4)，求角的正弦、余弦和正切值；

22.利用三角函数的定义求的正弦、余弦和正切值；

3选做题：3.

已知角的终边过点(a,2a)(a0)，求的三个三角函数值。

设计意图：

作业设置了必做题和选做题，目的是为了让不同层次的学生做适合自己的题目，不仅使差生得到了基础性训练，也满足了优等生进一步探索的需求。

七、板书设计

任意角的三角函数

一、任意角的三角函数的定义

二、三角函数值在各象限内的符号

三、例题

（副板书）

四、课时小结及练习

（辅助性板书）

（主板书）

（主板书）

八、课后反思

本节课由初中直角三角形中的锐角三角函数的定义引入容易使学生接受，再从锐角拓展到任意角，三角函数的定义也需要拓展，进而让学生产生认知冲突，从而引出新课，设计较为合理。

本节在对于任意角三角函数的定义的教学一改课本上先涉及单位圆给出任意角三角函数的定义，后讲已知终边上任意一点求三角函数的顺序，而是颠倒这个顺序，先讲已知终边上任意一点求三角函数，后取终边与单位圆的交点给出任意角三角函数的定义，由一般到特殊，这样不仅符合学生的认知规律，也避免了先涉及单位圆而引发的突然和尴尬，学生不会因单位圆的出现而感到困惑，反而学生会觉得有必要引出单位圆，同时也有助于学生对公式的理解和记忆，可操作性也较强。

在课堂教学中，以学生为主体，教师为辅助，讲练结合，尽可能的让学生思考并回答问题，使学生积极参与到课堂中来，充分给学生展现自我的机会，让学生在体验成功的喜悦中找到学习数学的自信心。但本节课的教学不够流畅，教学用语不够简洁和准确，今后还有很多值得改进的地方。

在今后的教学中，我应更加注重对教材的把握，同时又不受限制于教材，注重提高自己在教学中的创新意识，时刻把自己放在一个学生的角色去思考教学方法和策略，以提高教学效率、注重教学效果为目去专研教学。

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