小结练习（1）教学设计和教学实录

《一次函数》小结与复习

一、问题引导

1.

举例说明什么是函数，指出其中的自变量和因变量. 一般地，如果变量y随着变量x而变化，并且对于x取的每一个值，y都有

值与它对应，那么就称x是自变量，y是因变量或y是x的函数。记为y=f(x)。

例如：圆的周长C是它的半径r的函数

2. 函数有哪些表示方法？

它们各有什么特点？

建立平面直角坐标系，以自变量取的每一个值为横坐标，以相应的值（即因变量的对应值）为纵坐标，描出每一个点，由所有这些点组成的图形称为这个函数的图象.这种···称为图像法。列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值（即因变量的对应值），这种表示函数关系的方法称为列表法. 用式子表示函数关系的方法称为公式法（或解析法），这样的式子称为函数的表达式（或解析式）.

用图象法表示函数关系，可以直观地看出因变量如何随着

而变化；

用列表法表示函数关系，可以很清楚地看出自变量取的值与

的对应值；

用公式法表示函数关系，可以方便地计算

.

3.什么是一次函数？什么是正比例函数？它们之间有什么关系？

如果函数的解析式是自变量的一次式，那么这样的函数称为

。

一次函数的一般形式是：y=kx+b(k、b是常数且k≠0）

特别地，当b=0时，一次函数y=kx(k是常数且k≠0）也叫做正比例函数。

一次函数的特征是：因变量随自变量的变化是均匀的。即自变量每增加1个最小单位，因变量都增加（或都减少）相同的数量或者说因变量的改变量与自变量的改变量的比值是一个常数。

反之：凡是因变量随自变量均匀变化的问题，都可以用一次函数表示。

4.正比例函数y = kx与一次函数y = kx + b（k≠0的图象有何关系？它们各具有什么性质？

（1）正比例函数y=kx(k是常数且k≠0）的图像是经过原点的一条直线。

当

时，直线y=kx经过第三、一象限,从左向右上升，即y随x的增大而

；

当

时，直线y=kx经过第二、四象限,从左向右下降，即y随x的增大而

；

（2）一次函数y=kx+b(k、b是常数且k≠0）的图像是经过点（0，b）和点（

，0）的一条直线，当k>0时，直线

，即y随x的增大而

；

当k<0时，直线

，即y随x的增大而

。

(3)一次函数y = kx+b

（k，b为常数，k≠0）的图象可以看作由直线y = kx平移│b│个单位长度而得到（当b＞0时，向

平移；

当b＜0时，向

平移）

5.举例说明如何用待定系数法求一次函数的表达式. 通过先设定函数表达式（确定函数模型），再根据条件确定表达式中的未知系数，从而求出函数的表达式的方法称为待定系数法.例如：已知一次函数的图象经过点A(-1，3)，B(2，-5)···

6.一次函数与二元一次方程有何关系

一般地，

一次函数

y=kx+b 图象上任意一点的坐标都是二元一次方程

的一个解，以二元一次方程

kx-y+b=0 的解为坐标的点都在一次函数

的图象上. 一般地，一次函数

y=kx+b的图象与

x

轴的交点的横坐标是一元一次方程

的解. 一般地，

直线

y=k1x+b1

与

y=k2x+b2的交点坐标就是二元一次方程组

的解；

反之，这个二元一次方程组的解就是直线

y=k1x+b1

与

y=k2x+b2的交点坐标。

二、本章知识结构

三、注意事项

1.在本章学习中，我们经历了从具体情境中抽象出数学问题，用函数表达式表示问题中的数量关系，进而得到函数模型这一过程，注意体会函数是刻画现实世界数量关系的有效模型. 2.研究函数问题时，通过函数图象可以数形结合地研究函数，有助于我们更全面地掌握函数的特征. 3.在研究函数问题时，要关注函数自变量的取值范围. 函数表达式本身以及实际问题中自变量代表的意义对自变量有限制：

（1）若解析式的分母中含有自变量，则自变量的取值范围是使分母不为0的全体实数。

（2）若解析式的二次根号下含有自变量，自变量的取值范围是使被开方数大于或等于0的全体实数。

（3）具有实际意义或几何意义的函数，自变量的取值范围是使实际问题或几何问题有意义。

四、要点解析：

（一）一次函数的概念、图像及性质

1.下列函数中，哪些是一次函数？并指出一次函数中的系数k和常数项b的值（口答）

(1)C=2πr

(2)y

2.直线y=2x-3与y轴的交点A的坐标是

，与x轴的交点B的坐标是

，它与坐标轴围成的三角形△AOB的面积是

．

3.函数y2x200,

(3)t200,

(4) y=6-2x

(5)s=x(50-x) 3v1x1的图像经过

象限，y随x增大而

。

24.将直线y = 3x向下平移2个单位，得到直线

；

5.若y

是x一次函数，且y=(m+1)x|m|-5，求m的值和函数解析式

（二）用待定系数法确定一次函数的解析式

6.已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7. (1)求y与x的函数表达式；

（2）当x=

1时，求y的值

2

7.已知一次函数的图像经过点A（3,1），B（-2，-14）。

（1）求该函数的表达式；

（2）求x=2时、y的值

（三）一次函数的应用

8.柴油机在工作时油箱中的余油量Q(千克）是工作时间t（小时）的一次函数，当工作开始时油箱中有油40千克，工作3.5小时后，油箱中余油22.5千克。

(1)写出余油量Q与时间t的函数关系式；（2）画出这个函数的图象。

9．为了鼓励市民节约用水，自来水公司特制定了新的用水收费标准，每月应付水费

y (元) 与用水量x (吨)的函数关系如图．

y（元）

(1)求当月用水量不超过5吨时，y与x之间的函数关系式；

(2)某居民某y月用水量为8吨，应付的水费是多少?

12.55O510x（吨）

五、拓展提升

1.根据下列一次函数y=kx+b(k ≠

0)的图象写出各图中所对应的k、b的符号：

k___0，b___0 ；

k___0，b___0；

k___0，b___0；

k___0，b___0.

2.

把直线y=- x+1向右平移2个单位，求平移后直线的解析式