习题训练教案1

教学设计

课题

勾股定理的应用—最短路径

课型

新授课

授课授课时张威

授课班级

8年5b 3.20 课时

1课时

人

间

本节课是最短路径问题的延续和拓广，寻找最短路径，计算其长度。在初中阶段，教材

求解两点之间的距离问题多借助勾股定理进行计算。而勾股定理是直角三角形重要的性质，应用广泛。勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，是几何图形分析

和数量关系之间的一座桥梁。

学生在初一上学期学习线段相关知识时已掌握“同一平面内，两点之间，线段最短”，学情

初二上学期学习轴对称一章时，又接触了最短路径问题，因此对最短路径问题有一定的理解。分类讨论一直都是学生觉得比较难掌握的思想方法，分类不清、分类不分析

全是学生经常犯的错误。

1.能运用勾股定理求最短路径问题。

2.学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念；

教学3.在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数目标

学建模的思想。

4.通过有趣的问题探究提高学习数学的兴趣；体验数学学习的实用性，增强自信心，体验成功感。

教学

探索、发现立体图形展开成平面图形各种途径，利用勾股定理求最短路径问题。

重点

教学

利用数学中的建模思想构造直角三角形，寻找不同路径，利用勾股定理，解决实际难点

问题。

教法合作法、探究法

学法

课前PPT、正方体、长方体、圆柱体

准备

教学过程

教学环节

教学内容

1.问题：散步到A处的小明为了带小狗尽快回到B处的家里吃香肠，决定从长方形草地上“斜穿”，他为什么这样走？依据是什么？“斜路”比正路近多少米？小区物业想立一个牌子，提醒人们，请你帮助填空。

教师活动

1.演示动画提出问题，引导学生复习引出课题，板书：勾股定理的应用之最短路径

学生活动

学生思考问题并解答，回顾勾股定理和两点之间线段最短的知识。

设计意图

1.复***面内两点间线一、

抛砖引玉激发兴趣

段最短和利用勾股定理计算三角形的边长，温故知新。

2.通过视觉激活学生思维，激发学习兴趣。

3.对学生进行社会公德教育，体现了数学教学的德育意义。

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1.提问：怎样确定平面上两点间的最短距离？立体图形上的最短距离问题能否转化为平面上两点间的距离呢？怎么把正方体展开能将点A及点B放在同一个平面内？正方体由几个面组成？二、这些面有什么关系？

初露2.显然，从A到B的最锋芒短路线一定是从A出体验发，经过正方体两个面过程

到达B。路线有多种，

教师教具演示展开过程，使学生理解因为这是一个正方体，所以构造的直角三角形一样。

引导学生小结解决立体图形上的两点之间最短路径问题的步骤，在此基础上送给学生小口诀。

类型二：长方体中的多媒体出示问题。

最短路径

提问：长方体有几个面组成？长方体与正方例2：体有何区别？长方体贪吃怎么展开能使AB两点的小在同一平面内？至少蚂蚁需要展开几个面？

三

爬呀爬，它来到了长3.指导学生展开讨论，触类方体牛奶盒下的点A并画出展开方式，标出旁通处，嗅到了在点B处关键点和最短距离。

探究的火腿味，这次它又4.提问为什么长方体问题

该怎么走才能以最近有六种展开方式（长，距离吃到食物呢？

宽，高的组合），为什么排除后只有三种？

（重复）

类型一：正方体中的最短路径

例1：小明在吃东西时掉了一点面包在边长为1分米的正方体饼干盒的点B处，这时一只小蚂蚁爬到了点A处，嗅到了食物的味道，饥饿的小蚂蚁想快点吃到食物，你能帮它找到吃食物的最短路径么？

指明正方体上的数量和展开图上的数量之间一一对应关系，以及如何利用勾股定理进行计算。

总结解决立体图形上的最短路径问题的方法。

1.教师展示展开图，起到示范作用，使学生做变式题和研究长方体展开图时有的放矢。

2.引导学生由解决平面内的最短路径问题到解决立体图形的最短距离问题，由浅入深，从而顺利进行知识的迁移。

3.培养学生归纳总结的能力，认识到要解决立体图形上的最短路径问题一定要将其展开。

1.学生小1.本环节在正方体的组合作，交基础上提升难度，变流讨论长为长方体，由于长宽方体展开高不同，所以需要分方式，并上类讨论；

黑板展示2.引导学生理解有3交流结果。

种展开方式的原因2.在教师（源于长，宽，高的引导下，学组合）

生对六种3.通过计算比较得出展开方式最短距离。本环节很分析排除， 好的渗透了分类讨论归纳出三思想。

种方式，板前画出. 3.计算比较得出最短距离

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类型三：圆柱体中的最短路径

例3好奇的小明看到小蚂蚁吃了这么多，又灵光乍现，拿出了底面半径为3cm,高为12cm的圆柱形无盖杯子，放了食物在B点处，把小蚂蚁放在A处，它怎么爬最近？它爬行的最短路径长是多少呢？（π取3）

变式训练一

如图所示,有一圆柱形油罐, 底面周长是12米,高AB是5米， 要从A点环绕油罐建旋梯,正好到A点的正上方B点,问旋梯最短要多少米？

四、PPT出示习题。

乘胜追击

巩固提升

五、通过今天的学习，你水到有什么收获？ 还有渠成那些疑惑？

课堂小结

作业

设计

板书设计

（强调蚂蚁在侧面爬行）

1.出示圆柱体及其侧面展开图；

2.提问：在展开图上蚂蚁和食物这两个“关键点”应标在哪里？（教师可借助多媒体或教具引导学生寻找关键点）；最短距离怎么体现？怎样计算最短距离？

3.多媒体演示，（给出圆柱体的高与底面半径）

1.引导学生展开立体图形并寻找关键点。

2.引导学生思考最短距离怎么体现。怎样计算最短距离？

学生审题，在计算最短距离时，一名学生分析思路，指明圆柱体上的数量和展开图上的数量之间一一对应关系，以及如何利用勾股定理进行计算

1.

学生观察思考，一名学生分析思路。

1.

注重路径的多样性，渗透分类讨论思想。

1.该训练是上一题的变式，体现数学的多样性和灵活性，引导学生体会正确寻找“关键点”这个最基本几何元素的重要性，进一步发展学生空间想象力。

通过配套练习加深学生对本节课所学知识的印象和理解。

出示问题并适当引导学生分析解决问题。

思考并解决问题。

引导学生小结

谈收获与疑问。

回顾本节内容，总结方法，加深记忆，体会其中的数学思想。

布置作业

课后完成

拓展延伸，发散思维。

勾股定理的应用之最短距离

展--找--连--算--答

正方体展开图及最短路径计算

长方体展开图及最短路径计算

圆柱体展开图及最短路径计算

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