构建知识体系教案1

人教版八年级下册

17.1《勾股定理》教学设计（第1课时）

韦王莹

一、内容和内容解析

1.内容

勾股定理的探究、证明及简单应用。

2.内容解析

勾股定理：直角三角形两直角边长分别为a , b, 斜边长为c ,那么a2＋b2=c2 . 勾股定理是中学数学重要定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系。由此，在直角三角形中已知任意两边长，就可以求出第三边长。勾股定理常用来求解线段长度或距离问题。

勾股定理的探究是从特殊的等腰直角三角形出发，到网格中的直角三角形，再到一般的直角三角形，体现了从特殊到一般的探究过程和研究方法。证明勾股定理的关键是利用割补法求以斜边为边长的正方形的面积，并以此引导学生发现证明勾股定理的思路。

我国对勾股定理的研究和其他国家相比是比较早的，在国际上得到肯定。要通过我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感；要通过对勾股定理的探索和发现，培养学生学好数学的自信心。

二、目标和目标解析

1.目标

（1）经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，通过对我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感。

（2）能用勾股定理解决一些简单问题

2.目标解析

目标（1）要求学生先观察以直角三角形的三边为边长的正方形面积之间的关系，通过归纳和合理的数学表示发现勾股定理的结论。理解赵爽弦图的意义及其证明勾股定理的思路，能通过割补法构造图形证明勾股定理。了解勾股定理相关的史料，知道我国古代在研究勾股定理上的杰出成就。

目标（2）要求学生能运用勾股定理进行简单的计算，重点是已知直角三角形的两边长能求第三条边的长度。

三、教学问题诊断分析

勾股定理是关于直角三角形三边关系的一个特殊的结论。在正方形网格中比较容易发现以直角三角形三边为边长的正方形的面积关系，进而得出三边之间的关系。但要从等腰直角三角形过渡到网格中的一般直角三角形，提出合理的猜想，学生有较大难度。学生第一次尝试用构造图形的方法来证明定理存在较大的困难，解决问题的关键是要想到用合理的割补方法求以斜边为边的正方形的面积。因此，在教学中需要先引导学生观察网格背景下的正方形的面积关系，然后思考去网格背景下的正方形的面积关系，再把这种关系表示成边长之间的关系，这有利于学生自然合理地发展和证明勾股定理。

1

四、信息技术与学科的融合点

1.在探究网格中的一般直角三角形的三边关系时，结合希沃白板的手写功能，让学生动手展示用割补的方法求正方形C的面积的过程，提高学生动手操作的能力，以及分析问题和解决问题的能力。

2.在探究去网格背景下的一般直角三角形的三边关系时，用几何画板展示以直角三角形三边为边长的正方形的面积关系，进而得出三边之间的关系。几何画板可以实现两个突破：（1）当直角三角形的形状不变，只是边长的大小变化时，让学生观察正方形面积间的关系；（2）当直角三角形的形状改变时，让学生再次观察正方形面积间的关系。实现了图形由静向动的渐变过程，数形结合，有效地突破了教学难点，大大提高教学效率。

3.在动手探究环节，让学生运用交互式白板功能，利用四个全等的直角三角形和以直角三角形的斜边为边长的正方形，拼出另外一个正方形，从而进行对命题的证明。同时使用希沃视频展台展示学生的研究成果，对比小组之间不同的拼图方法以及不同的证明方法，为学生创设了生动、直观的现实情景，让学生体验自己努力得到结论的成就感，

激发学生的学习欲望。

4.利用几何画板展示勾股树，让学生感受数学之美，探究之趣。

五、教学过程设计

1. 创设情境，探索新知

问题1.

如果有一天，外星人来到我们地球，我们该如何与他们对话呢？著名天文学家伽利略的话给我们以启示，他说：“数学是用来书写宇宙的文字。”我国著名的数学家华罗庚教授，在《数学的用场与发展》一文中指出：“如果我们宇宙航船到了一个星球上，那儿也有如人类一样高级的生命存在。我们用什么东西作为我们之间的媒介。带幅去吧，那边风景特殊不了解。带一段录音去吧，也不能沟通。我看最好带两个图形去。一个‘数’，一个‘数形关系’（勾股定理）”。那么，到底是怎样一个神奇的图形，能让我们与外星人建立起沟通的桥梁呢？

设计意图：

“问题是思维的起点”，用“如何与外星人对话”这样一个有趣的问题，点燃学生的求知欲，以景激情，以情激思，引领学生进入学习情境，使学生带着疑问进行教学。同时为探索勾股定理提供背景材料，进而引出课题。

2.探究勾股定理

问题2

看似平淡无奇的现象有时却隐含着深刻的数学道理。

1、相传在2500多年前，毕答哥拉斯有一次去朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形三边的某种数量关系。观察图形，从图中你发现了哪些常见的数学图形？

2

师生活动：学生观察图形，知道图中有等腰直角三角形和正方形，且这些等腰直角三角形都是全等的。

设计意图：从观察图形入手，让学生得出这些等腰直角三角形之间的关系，为后面求正方形面积之间的关系做好铺垫。

追问：正方形A，B，C各有几个单位三角形？三个正方形A，B，C的面积有什么关系？

师生活动：学生独立观察图形，分析、思考其中隐含的规律。通过数等腰直角三角形的个数，得到结论，小正方形A，B的面积之和等于大正方形C的面积。

追问：如何用图中的小写字母表示这三个正方形的面积关系？

师生活动：学生观察得到a2＋b2=c2 . 追问：这三个正方形围成了一个怎么样的图形？

师生活动：学生观察容易得到，围成了一个等腰直角三角形。

追问：你能用图中的小写字母表示这个等腰直角三角形的三边关系吗？

师生活动：学生发现，这个等腰三角形的三条边正好是三个正方形的边长，易得a2＋b2=c2 . 追问：你能用文字语言来描述这个数学等式吗？

师生活动：教师引导学生用自己的话来说等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

A B

C

3

设计意图：从最特殊的等腰直角三角形入手，通过观察正方形面积关系得到三边关系：等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

问题3

等腰直角三角形的三边具有这样的性质，那么一般的直角三角形是否也具有这样的性质呢？让我们借助于正方形网格来探究这个问题。

师生活动：学生大胆猜测，认为可能有，也可能没有。

追问：网格中的一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A，B，C的面积并寻找它们之间的关系。

师生活动：分别求出A，B，C的面积并寻找它们之间的关系。

追问：正方形A，B，C所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？

师生活动：学生独立思考后小组讨论，难点是求以斜边为边长的正方形的面积，可由师生共同总结得出可以通过割、补两种方法求出其面积。教师在学生回答的基础上归纳方法----割补法，可以求得C的面积为13，教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方归纳出：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

设计意图：网格中的直角三角形也是直角三角形的一种特殊情况，为计算方便，通常将直角边长设定为整数，进一步体会面积割补法，为探究无网格背景下直角三角形三边关系打下基础，提供方法。

问题4

通过前面的探究活动，猜一猜，直角三角形三边之间应该有什么关系？

师生活动：教师引导学生得到猜想：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2 .

设计意图：在网格背景下，通过观察和分析等腰直角三角形及一般的直角三角形三边关系，为形成猜想提供了典型特例，于是猜想的形成变得水到渠成。

问题5

以上这些直角三角形的边长都是具体的数值。一般情况下，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为c，刚刚提出的猜想仍然正确吗？你能利用手中拿到的四个全等的直角三角形和一个以直角三角形的斜边为边长的正方形重新拼出一个正方形吗？你能否利用你拼成的图形证明a2＋b2=c2 ？

师生活动：

请两个学生上黑板操作剪、拼、接的过程。

学生通过独立思考并进行小组讨论，可以拼成如下正方形，利用等面积法证明得出：

a2＋b2=c2

4

拼法一：四个全等的直角三角形如图拼成边长为（a＋b）的大正方形，中间是边长为1c的正方形，则：(a+b)2=4×ab＋c2

2

有a2+2ab+b2 = 2ab +c2

，

得

a2＋b2=c2

拼法二：四个全等的直角三角形如图拼成边长为c的大正方形，你如何利用这个图形证明勾股定理？

学生分组讨论得出：由S大正方形=4S直角三角形+S小正方形，即面积相等法，即可求得

c2 =41×ab+(b-a)2设计意图：学生经历“由直观判断到理性证明的过程”，创造性地得出拼图的2多种方法，从而分散了教学难点，发现了利用面积相等去证明勾股定理的方法。这样的设计培养了学生的发散思维、一题多解和探究数学问题的能力。

问题6

引导结论的变形：由c2=a2 + b2

可得

a2=c2

－

b2 或者

b2

=c2

－a2

。

设计意图：引导学生明确，在直角三角形中，已知直角三角形的任意两边，可求第三边。

问题7

动画展示赵爽弦图

师生活动：学生归纳得出第一个图的面积=第二个图的面积，即

a2＋b2=c2 “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲。因此，当2002年第24届国际数学家大会在北京召开时，“赵爽弦图”被选作大会会徽。

设计意图：赵爽用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、数形统一树立了一个典范，激发了学生热爱祖国悠久历史文化的情感，呼应课前引入的悬念，对学生进行爱国主义教育，激励学生强烈的民族自豪感和奋发向上的学习精神。同时培养了学生的操作能力，为以后探究图形的性质积累了经验。

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问题8

数学史话与勾股定理

1、介绍古今中外对勾股定理的研究，及“勾，股，弦”的含义。

2、我国早在三千多年就知道了这个定理,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称为勾股定理。

3、两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。

4、我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中。

设计意图：同时让学生欣赏丰富多彩的数学文化，展示不同文化背景下的勾股定理的应用，共同为全人类的伟大发现而骄傲。

3.初步应用，巩固新知

练习1

受台风“山竹”的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前长度是______m。

设计意图：学会用勾股定理解决实际问题。

练习2 1.填空题

已知Rt∆ABC中，∠C=90°

⑴若a=4,b=3,则c=____ ⑵若c=10,b=6,则a=____ ⑶

若a=5,c=13,则b=____

设计意图：在直角三角形中，已知两边，求第三边，应用勾股定理求解。也可建立方程解决问题，渗透方程思想。

2、如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形。已知正方形A，B，C，D的边长分别是12,16,9,12，求最大正方形E的面积。

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设计意图：练习设计上我立足于巩固，着眼于发展，同时兼顾差异，满足部分同学渴望发展的要求。最后引出美丽的勾股树，让学生惊叹奇妙的数学之美。数学教学变得生机勃勃，让我们的学生喜欢数学，热爱数学。

4.

师生小结

1.勾股定理的内容是什么？它有什么作用？

2.本节课我们经历了怎样的探究过程？运用到了什么数学思想？

设计意图：让学生从不同角度谈本节课学习的主要内容，在学习的过程中感受到中国数学文化及数学美，感悟数形结合的数学思想，引发学生更深层次的思考，促进学生数学思维品质的提高。

5.布置作业

1、阅读教材P30《勾股定理的证明》

2、完成P28的习题

设计意图：作业这样设计是为了把课内知识向课外知识延伸，打开学生思路，给学生提供更为广阔的空间，引领学生继续探索，从而让学生真正成为学习的主人。另外也为下节课的教学奠定基础。

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