习题训练教案设计（一等奖）

勾股定理 ---西街中学

李星鑫

教学内容

勾股定理的应用---最值问题

教学目标

1、复习勾股定理相关知识。

2、经历应用勾股定理解决实际问题的过程，从实际问题里面抽象出数学模型，培养学生实际操作能力。

3、由浅入深，逐步渗透数学的转化思想，用‘将军饮马’模型和勾股定理解决实际问题的最值问题。

重点

利用勾股定理解决实际问题中的最值。

难点

根据实际问题构造几何图形。

课时安排

1课时

教学方法

师生合作、分组讨论

教学过程

问题与情境

设计意图

备注

一、复习回顾

复习勾股定理

1.复习勾股定理的内容：

定义，明确勾直角三角形两直角边的平方和等于斜边的股定理的运用平方。

条件，为后面

建模做理论准

备

2.知识巩固：

在Rt△ABC中，∠C=90°. 勾股定理的直（1）如果a=5,b=12,则c=________ 接运用，为后（2）如果a=6,c=10,则b=________ 面问题的探究（3）如果a=4 ,b=5,则c=________ 做实际准备

c

b

a

从经典故事出二、解决问题：

发，让学生从师：从曹冲称象的故事，引入本节课的内容。

中初步体会转

化思想的运‘从故事中发现，生活中很多不能解决的问题用，提升学生可以通过转化为能解决的问题中来’，那么生活学习的积极中还有很多实际问题可以转化成数学问题来加性。

以解决吗？

探究1：如图，校园内有两棵树相距12米，一棵树高3米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？

将实际问题转化为数学问题，并通过构造直角三角形解决相关问题，学生独学，并展示解答过程，师生共同纠正学生书写规范。

探究2：

如图1，两个村子A、B在一条河的同侧，现要在河边l上建造一座蓄水池P，铺设水管向A、B两村庄送水，要使铺设的水管最短。

（1）请你确定建造蓄水池P点的位置. BAl

从简单的实际问题入手，让学生领会建模在解决实际问题的作用。

学生独学，师注意学生图形的构造，点拨其书写规范。

师：从现实故事引出‘将军饮马’问题，学生独立思考，构图解决最短路径的最值问题。

学生板演其作图过程，教师讲评。‘将军饮马’最值证明学生不作要求，由教师讲评其证明过程。

（2）如图2，若A、B两村到河边的距离分别为AC=1km，BD=3km，CD=3km，请求出铺设的水管最短是多少km？

BACDl

学生首先独立思考，再组内互助。

学生板演其完整解答过程。师生共同纠错订正。

既然，平面图形可以转化为数学问题来解决，我们一起研究立体图形可以吗？

探究3：如图，透明的圆柱形容器的高为5cm，底面周长为16cm，在容器的外壁离容器底部1cm的B点处有一饭粒，此时，一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿2cm的点A处，

请问蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路径是多少？

AB

学生独立思考后，小组合作探究，利用圆柱体模型，小组内学生全员参与，实际操作，让立体图形的侧面转化成平面图形加以解决。个人展示，小组展示，教师投影其完整解答过程。

深入研究该问题，添加数据之后，将最值问题与勾股定理相结合，构造最短路径，并构造直角三角形是难点。

从平面图形到立体图形的提升，引发学生思考。

从平面图形到立体图形的提升，需要学生进一步领会到将立体图形转化成平面图形来解决的转化思想。

探究3变式：其他条件不变，若饭粒B点在容器的内壁呢？

AB

小组内充分交流讨论，师参与指导，学生实际动手操作立体图形的展开图，将立体图形转化成平面图形并转化成‘将军饮马’问题，最后以后建模—构造直角三角形解决问题。

小组展示其讨论结果，并板演构图过程。师展示其完整解题步骤。

归纳小结：

1.一个定理：勾股定理；

2.两个几何模型：_直角三角形，‘将军饮马’模型；

3.两种思想：转化思想，建模思想；

课后作业：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB=5,DE=1,BD=8，设CD=x. （1）用含x的代数式表示AC+CE的值。

（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？

（3）根据（2）（3）中的规律和结论，请构图求出代数式x+4+(12—x)+9的最小值。

A22EBCD

小组合作探究，将圆柱体侧面展开，将问题形象化，并培养学生实际动手操作能力。

将探究3再次深化，将立体图形转化成平面图形，并继续转化成‘将军饮马’问题，并构造直角三角形解决问题。培养学生坚韧的探索精神，并再次深刻领悟转化思想解决实际问题的作用。

小组思考

总结

通过本节课的学习，运用勾股定理和求最值等方法完成作业。转化思想和数形结合思想的渗透。