探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质教学目标设计

三角函数线

一、【教学目标】

重点: 三角函数线的概念及应用. 难点：理解三角函数线作为有向线段其方向规定的合理性，三角函数线的应用．

知识点：有向线段，正弦线、余弦线、正切线的概念，作三角函数线. 能力点：逐步发现三角函数值与单位圆中的“有向线段”的对应，分类讨论及数形结合的数学思想的运用. 教育点：让学生通过经历由不确定的对应建立确定的对应的过程，体会发现的艰辛，享受发现的乐趣. 自主探究点：角的终边在坐标轴上时三角函数线的情况. 考试点：利用三角函数线判断三角函数值或角的范围. 易错易混点：三角函数线作为有向线段与一般线段的联系与区别. 拓展点：利用三角函数线证明有关不等式. 二、【引入新课】

前面我们学习了角的弧度制，角弧度数的绝对值l，其中l是以角作为圆心r角时所对弧的长，r是圆的半径.特别地, 当r1时，l,此时的圆称为单位圆，这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值，那么能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢？这就是我们今天一起要研究的问题.

【师生互动】教师设问，学生思考. 【设计意图】设置问题，点明主题.既可以引出单位圆的用途，又可以使学生通过类比联想主动、快速的探索出三角函数值的几何形式. 三、【探究新知】

探究1：有向线段的概念

【师生活动】教师给出问题，学生解答，师生共同分析完成引入有向线段的讨论. 【设计说明】由教师提问，学生分析讨论，层层深入地进入课题的探究，让学生在自主合作探究中解决、理解重难点.

问题1：如果角是第一象限角，它的三个三角函数值用定义如何来求？

【设计意图】利用具体问题探究讨论，降低探究问题的难度. 做出角的终边和单位圆，记交点为P（x,y)，

那么，siny，cosx,tany. x问题2：在求解中，sin，cos的值都是正数，你能分别用一条线段表示正、余弦值吗？

【设计意图】直接指明问题研究的方向，给学生一个明确的思路探究下面的问题.

siny|MP|，cosx|OM|. 问题3：如果角的终边在其他象限内，sin，cos的值也与这两条

线段的长度相等吗？若不相等，有什么关系？（例如，角是第三象限角）

【设计意图】让学生明确给线段方向性的必要性. 不一定相等.有时相等，有时互为相反数.在第三象限，siny—|MP|，cosx—|OM|. 为了简化上述表示，去掉上述等式中的绝对值符号，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，表示带有正负值的数量. 正、余弦值由角的终边上的点的坐标表示，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关，因此，我们以坐标轴的方向来规定线段MP，OM的方向. 结论：1.规定了始点和终点，带有方向的线段叫做有向线段. 2.规定：在直角坐标系内，线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向.

探究2：正弦线、余弦线

【师生活动】教师提问，学生讨论形成正弦线、余弦线的定义. 【设计意图】让学生体验知识的形成，深刻理解知识点. 问题4：如图中，哪条有向线段可以表示正弦值和余弦值？

【设计意图】让学生分析理解有向线段的数量如何表示正余弦值. 有向线段MP可以表示正弦值，有向线段OM可以表示余弦值.我们将与单位圆有关的有向线段MP称为角的正弦线, 有向线段OM称为角的余弦线. 问题5：若角的终边在坐标轴上时，角的正弦线和余弦线的含义如何？

【设计意图】让学生理解正弦线、余弦线的一般性. 当角的终边在x轴的非负半轴上时，角的正弦线是一个点，余弦线是有向线段OM1;当角的终边在x轴的非正半轴上时，角的正弦线是一个点，余弦线是有向线段OM-1. 当角的终边在y轴的非负半轴上时，角的正弦线是有向线段MP1，余弦线是一个点；当角的终边在y轴的非正半轴上时，角的正弦线是有向线段MP-1，余弦线是一个点. 探究3：正切线

问题6：如果角是第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x,y)，则tan比照正弦线、余弦线的得到，怎样用一个实数表示正切值？

【设计意图】利用已知，探究未知,加深学生对正切线的理解. y，能否xyyy'令tan中的x1.那么tan中的y'的值怎么用xx1图象表示？在角的终边上的点P（1,y)怎么找到？

点P（1,y)在直线x1上，所以点P（1,y)是角的终边与直'''，0),交点为T，则y'AT. 线x1的交点，设A(1

有向线段AT可以表示正切值，即：tanAT.

问题7：如果角为第二、三象限角时，其终边与直线x1没有交点，若记终边的反向延，0)，那么tanAT还成立吗？

长线与直线x1的交点为T，A(1【设计意图】完善正切线的含义. tanAT成立. 问题8：若角的终边在坐标轴上时，角的正切线的含义如何？

当角的终边在x轴上时，角的正切线是一个点; 当角的终边在y轴上时，角的正切线不存在. ，0)，记角的终边或其终边的反向延长线与直线x1的交点为T，称有向线段我们记A(1AT为角的正切线. 四、【理解新知】

回顾总结：如何画一个角的三角函数线？

【设计意图】总结知识点，加深对三角函数线的理解，突破重难点. 第一步：作出角的终边，与单位圆交于点P；

第二步：过点P作x轴的垂线，设垂足为M，得正弦线MP、余弦线OM；

0)作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线的交点设第三步：过点A(1，为T，得角的正切线AT. 要注意：三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒.余弦线以原点为起点，正弦线和正切线以0).

此线段与坐标轴的公共点为起点，其中点A为定点(1，五、【运用新知】

例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线

（1）55

；

（2）

；

（3）. 634【设计意图】本例是为了使学生掌握各象限（尤其是第二、三、四象限）内角的正弦线、余弦线、正切线的画法，属于基础题．

【设计说明】本题由学生板书演示.

例2. 利用三角函数线，求角的取值集合

（1）sin11

（2）cos

（3）tan1

22【设计意图】利用三角函数线的逆向应用，让学生在理解的基础上灵活应用三角函数线.

解：（1）sin11

（2）cos

22

52k或2k,kZ662k或2k,kZ

33

（3）tan1



372k或2k,kZ

44=3k,kZ

4

变式练习：求适合下列条件的角的集合

(1)sin

1

(2)tan1

2【设计意图】利用例题思路，解决三角不等式.

解：(1) 52k,2k,kZ6634,kZ



(2) k

2,k

例3. 若

42，比较sin、cos、tan的大小．

【设计意图】让学生体会三角函数线的几何意义．

【设计说明】图像由学生画出，教师引导学生从几何角度，利用三角函数线的长短解决问题.

解：如图，由于42，知sin0,cos0,tan0，

所以sinMP,cosOM,tanAT.

∵OMMPAT，∴cos变式练习：设0sintan．

2，利用单位圆和三角函数线证明：

（1）sinxcosx1

（2）sinxxtanx

【设计意图】应用几何意义，理解三角函数线. 六、【课堂小结】 1.结合有向线段的概念理解正弦线、余弦线、正切线的概念；

2.把握住O,A,P,M,T五点，作三角函数线；

3.利用三角函数线，把握角与角的三角函数值之间的对应关系. 七、【布置作业】

1．必做作业：作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线（1）3.

42

；

（2）；

（3）36选作作业：

1. 已知：sinsin，那么下列命题成立的是（

）

A．若、是第一象限的角，则cos>cos.

B. 若、是第二象限的角，则

tan>tan. C. 若、是第三象限的角，则cos>cos.

D. 若、是第四象限的角，则tan>tan. 2．求下列函数的定义域：（1）

y = 2cosx1;

(2) y = lg(3－4sin2x) . 【设计意图】巩固基础知识，设置分层作业，满足每一位学生，增强学生学习数学的愿望和信心.

2. 课后练习

自主学习丛书

1.2.1 八、【教后反思】

1.本节课能循序渐进、由特殊到一般，有条不紊地引入三角函数线的定义，使学生对知识的来源比较清晰；但正因为如此，占用了较多的知识讲解时间，对于三角函数线的应用，讲解相对少一些；

2.本节课在例题和练习的设计上能做到由易到难、前后联系，使学生对知识的理解和认识逐渐加深，起到潜移默化的作用；

3.本节课的教育点是让学生“体会发现的艰辛，享受发现的乐趣”，但在教学过程中，还是不能很好地驾驭课堂，没能激发起学生探究的热情，故而本节课的内容大多不是由学生“发现”的，而是由老师“传授”的，这种课堂模式在今后要有所改变. 九、【板书设计】

1.2.1单位圆中的三角函数线

一、复习引入

二、探究新知

正弦线

余弦线

正切线

三、理解新知

四、运用新知

例1

例2

例3

五、小结

课内练习