探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期名师教学视频（文字实录）

1.5

函数y=Asin(ωx+φ)的图象

凤阳中学

曹明联

教学分析

本节通过图象变换,揭示参数φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响,讨论函数y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲线的关系,以及A、ω、φ的物理意义,并通过图象的变化过程,进一步理解正、余弦函数的性质,它是研究函数图象变换的一个延伸,也是研究函数性质的一个直观反映.这节是本章的一个难点.

如何经过变换由正弦函数y=sinx来获取函数y=Asin(ωx+φ)的图象呢?通过引导学生对函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索,让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后,将影响图象变换这一难点的突破,让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数φ、ω、A的分类讨论,让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系.

本节课建议充分利用多媒体,倡导学生自主探究,在教师的引导下,通过图象变换和“五点”作图法,正确找出函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律,这也是本节课的重点所在. 三维目标

1.通过学生自主探究,理解φ对y=sin(x+φ)的图象的影响,ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响,A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响. 2.通过探究图象变换,会用图象变换法画出y=Asin(ωx+φ)图象的简图,

并会用“五点法”画出函数y=Asin(ωx+φ)的简图. 3.通过学生对问题的自主探究,渗透数形结合思想.培养学生的独立意识和独立思考能力.学会合作意识,培养学生理解动与静的辩证关系,善于从运动的观点观察问题,培养学生解决问题抓主要矛盾的思想.在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理,乐于创新的情感需求,引发学生渴求知识的强烈愿望,树立科学的人生观、价值观. 重点难点

教学重点:用参数思想分层次、逐步讨论字母φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响,掌握函数y=Asin(ωx+φ)图象的简图的作法. 教学难点:由正弦曲线y=sinx到y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程. 课时安排

2课时

教学过程

第1课时

导入新课

思路1.(情境导入)在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数(其中A、ω、φ是常数).例如,物体做简谐振动时位移y与时间x的关系,交流电中电流强度y与时间x的关系等,都可用这类函数来表示.这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出,因此,我们有必要画好这些函数的图象.揭示课题:函数y=Asin(ωx+φ)的图象.

思路2.(直接导入)从解析式来看,函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)

存在着怎样的关系?从图象上看,函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?接下来,我们就分别探索φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响. 推进新课

新知探究

提出问题

①观察交流电电流随时间变化的图象,它与正弦曲线有何关系？你认为可以怎样讨论参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响？

②分别在y=sinx和y=sin(x+)的图象上各恰当地选取一个纵坐标相同的点,同时移动这两点并观察其横坐标的变化,你能否从中发现,φ对图象有怎样的影响？对φ任取不同的值,作出y=sin(x+φ)的图象,看看与y＝sinx的图象是否有类似的关系？

③请你概括一下如何从正弦曲线出发,经过图象变换得到y=sin(x+φ)的图象. ④你能用上述研究问题的方法,讨论探究参数ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响吗？为了作图的方便,先不妨固定为φ=,从而使y=sin(ωx+φ)3⑤类似地,你能讨论一下参数A对y=sin(2x+)的图象的影响吗？为3了研究方便,不妨令ω=2,φ=.此时,可以对A任取不同的值,利用计算333在ω变化过程中的比较对象固定为y=sin(x+). 器或计算机作出这些函数在同一坐标系中的图象,观察它们与y=sin(2x+)的图象之间的关系. ⑥可否先伸缩后平移？怎样先伸缩后平移的？

3

活动:问题①,教师先引导学生阅读课本开头一段,教师引导学生思考研究问题的方法.同时引导学生观察y=sin(x+)图象上点的坐标和y=sinx的图象上点的坐标的关系,获得φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的具体认识.然后通过计算机作动态演示变换过程,引导学生观察变化过程中的不变量,得出它们的横坐标总是相差的结论.并让学生讨论探究.最后共同总结出:先分别讨论参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响,然后再整合. 33

图1

问题②,由学生作出φ取不同值时,函数y=sin(x+φ)的图象,并探究它与y=sinx的图象的关系,看看是否仍有上述结论.教师引导学生获得更多的关于φ对y=sin(x+φ)的图象影响的经验.为了研究的方便,不妨先取φ=,利用计算机作出在同一直角坐标系内的图象,如图1,分别在两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并保持它们的纵坐标相等,观察它们横坐标的关系.可以发)的图象上的点的横坐标总是等于3y=sinx的图象上对应点的横坐标减去.这样的过程可通过多媒体课33现,对于同一个y值,y=sin(x+件,使得图中A、B两点动起来(保持纵坐标相等),在变化过程中观察A、B的坐标、xB-xA、|AB|的变化情况,这说明y=sin(x+)的图象,可以看作是把正弦曲线y=sinx上所有的点向左平移个单位长度而得到的,33

同时多媒体动画演示y=sinx的图象向左平移使之与y=sin(x+)的图象重合的过程,以加深学生对该图象变换的直观理解.再取φ=,用433同样的方法可以得到y=sinx的图象向右平移后与y=sin(x)的图44象重合.

如果再变换φ的值,类似的情况将不断出现,这时φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的铺垫已经完成,学生关于φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓. 问题③,引导学生通过自己的研究认识φ对y=sin(x+φ)的图象的影响,并概括出一般结论: y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到.

问题④,教师指导学生独立或小组合作进行探究,教师作适当指导.注意提醒学生按照从具体到一般的思路得出结论,具体过程是:(1)以y=sin(x+)为参照,把y=sin(2x+)的图象与y=sin(x+)的图象作比较,取点A、B观察.发现规律: 333

图2 如图2,对于同一个y值,y=sin(2x+)的图象上点的横坐标总是等于y=sin(x+)的图象上对应点的倍.教学中应当非常认真地对待这个过程,展示多媒体课件,体现伸缩变换过程,引导学生在自己独立思考3123

的基础上给出规律.(2)取ω=,让学生自己比较y=sin(x+)的图象与y=sin(x+)图象.教学中可以让学生通过作图、观察和比较图象、讨论等活动,得出结论:把y=sin(x+)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),就得到y=sin(x+)的图象.

当取ω为其他值时,观察相应的函数图象与y=sin(x+)的图象的关系,得出类似的结论.这时ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响的铺垫已经完成,学生关于ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.教师指导学生将上述结论一般化,归纳y=sin(ωx+φ)的图象与y=sin(x+φ)的图象之间的关系,得出结论:

函数y=sin(ωx+φ)的图象可以看作是把y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐112121233333标不变)而得到.

图3 问题⑤,教师点拨学生,探索A对图象的影响的过程,与探索ω、φ对图象的影响完全一致,鼓励学生独立完成.学生观察y=3sin(2x+)的图象和y=sin(2x+)的图象之间的关系.如图3,分别在两条曲线上各取一个横坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并使它们的横坐标保持相同,观察它们纵坐标的关系.可以发现,对于同一个x值,函数y=3sin(2x+)的图象上的点的纵坐标等于函数y=sin(2x+)的图象上3333

点的纵坐标的3倍.这说明,y=3sin(2x+3)的图象,可以看作是把3y=sin(2x+)的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)而得到的.通过实验可以看到,A取其他值时也有类似的情况.有了前面两个参数的探究,学生得出一般结论:

函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0

由此我们得到了参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象变化的影响情况.一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象,可以看作用下面的方法得到:先画出函数y＝sinx的图象;再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度,得到函数y=sin(x+φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的1倍,得到函数y=sin(ωx+φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,这时的曲线就是函数y=Asin(ωx+φ)的图象.

⑥引导学生类比得出.其顺序是:先伸缩横坐标(或纵坐标),再伸缩纵坐标(或横坐标),最后平移.但学生很容易在第三步出错,可在图象变换时,对比变换,以引起学生注意,并体会一些细节.

由此我们完成了参数φ、ω、A对函数图象影响的探究.教师适时地引导学生回顾思考整个探究过程中体现的思想:由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想. 讨论结果:①把从函数y=sinx的图象到函数y=Asin(ωx+φ)的图象的变

换过程,分解为先分别考察参数φ、ω、A对函数图象的影响,然后整合为对y=Asin(ωx+φ)的整体考察. ②略. ③图象左右平移,φ影响的是图象与x轴交点的位置关系. ④纵坐标不变,横坐标伸缩,ω影响了图象的形状. ⑤横坐标不变,纵坐标伸缩,A影响了图象的形状. ⑥可以.先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移),但要注意第三步的平移. 纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)

y=sinx的图象这原来的A倍(横坐标不变)(01)或缩短(1)横坐标伸长1到原来的(纵坐标不变)得y=Asinx的图象

得y=Asin(ωx)的图象得y=Asin(ωx+φ)的图象. 规律总结: 先平移后伸缩的步骤程序如下: 向左(0)或向右(0)y=sinx的图象

平移||个单位长度横坐标伸长(01)或缩短(1)

得y=sin(x+φ)的图象1到原来(纵坐标不变)向左(0)或缩短(1)平移||个单位

纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)得y=sin(ωx+φ)的图象

为原来的A倍(横坐标不变)得y=Asin(ωx+φ)的图象. 先伸缩后平移的步骤程序(见上).

应用示例

例1 画出函数y=2sin(x-)的简图.

活动:本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法. (1)引导学生从图象变换的角度来探究,这里的φ＝,ω＝,A＝2,鼓613613励学生根据本节所学内容自己写出得到y=2sin(x-)的图象的过程:只需把y＝sinx的曲线上所有点向右平行移动6个单位长度,得到6136y=sin(x-)的图象;再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到y=sin(x-)的图象;再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到函数y=2sin(x-)的图象,如图4所示. 131366

图4 (2)学生完成以上变换后,为了进一步掌握图象的变换规律,教师可引导学生作换个顺序的图象变换,要让学生自己独立完成,仔细体会变化的实质. (3)学生完成以上两种变换后,就得到了两种画函数y=2sin(x-),简图的方法,教师再进一步的启发学生能否利用“五点法”作图画出函数y=2sin(x-)的简图,并鼓励学生动手按“五点法”作图的要求完成这一画图过程. 解:方法一:画出函数y=2sin(x-)简图的方法为

131313666

y=sin(x-) y=sinxy=sin(x-)纵坐标伸长到原来的2倍

横坐标伸长到原来的3倍36y=2sin(x-). 方法二:画出函数y=2sin(x-)简图的又一方法为

y=sinx横坐标伸长到原来的3倍y=sinx 1313右移个单位666纵坐标不变1横坐标不变6纵坐标不变13y=2sin(x-)=2sin(x-y=2sinx纵坐标伸长到原来的2倍). 2横坐标不变13右移个单位213613方法三:(利用“五点法”作图——作一个周期内的图象) 令X=x-,则x=3(X+).列表: X X Y 0 21366

2π

7

23

22π

13

2

2π

2 5π

-2 0 0 0 描点画图,如图5所示.

图5

点评:学生独立完成以上探究后,对整个的图象变换及“五点法”作图会有一个新的认识.但教师要强调学生注意方法二中第三步的变换,左右平移变换只对“单个”x而言,这点是个难点,学生极易出错.对于“五点法”作图,要强调这五个点应该是使函数取最大值、最小值以及曲

线与x轴相交的点.找出它们的方法是先作变量代换,设X=ωx+φ,再用方程思想由X取0,,π,变式训练

1.2007山东威海一模统考,12 要得到函数y=sin(2x+)的图象,只需将函数y=sinx的图象(

) A.向左平移个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变

B.向右平移个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变

C.向左平移个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变

D.向右平移个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变

答案:C 2.2007山东菏泽一模统考,7 要得到函数y=2sin(3x)的图象,只需将523,2π来确定对应的x值. 2333312312函数y＝2sin3x的图象(

) A.向左平移个单位

B.向右平移个单位

C.向左平移平移个单位

D.向右1555个单位

15答案:D 例2 将y=sinx的图象怎样变换得到函数y=2sin(2x+)+1的图象? 4

活动:可以用两种图象变换得到.但无论哪种变换都是针对字母x而言的.由y=sin2x的图象向左平移个单位长度得到的函数图象的解析式是y=sin2(x+)而不是y=sin(2x+),把y=sin(x+)的图象的横坐标缩小到原来的,得到的函数图象的解析式是y=sin(2x+),而不是y=sin2(x+).

解:方法一:①把y=sinx的图象沿x轴向左平移个单位长度,得1)的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的,得24y=sin(2x+)的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍,得4y=2sin(2x+)的图象；④最后把所得图象沿y轴向上平移1个单位长4度得到y=2sin(2x+)+1的图象. 4128884444y=sin(x+

方法二:①把y=sinx的图象的纵坐标伸长到原来的2倍,得y=2sinx的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的,得y=2sin2x的图象；③将所得图象沿x轴向左平移个单位长度,得y=2sin2(x+)的图象；④最后把图象沿y轴向上平移1个单位长度得到y=2sin(2x+)+1的图象.

点评:三角函数图象变换是个难点.本例很好地巩固了本节所学知识方法,关键是教师引导学生理清变换思路和各种变换对解析式的影响. 变式训练

1.将y=sin2x的图象怎样变换得到函数y=cos(2x-)的图象? 22

在y=cos(2x-)中以x-a代x,有y=cos［2(x-a)-］=cos(2x-2a-).222441288解:y=sin2x=cos(-2x)=cos(2x-).

根据题意,有2x-2a-=2x-,得a=-.

所以将y=sin2x的图象向左平移y=cos(2x-)的图象. 2.如何由函数y=3sin(2x+)的图象得到函数y=sinx的图象？

方法一:y=3sin(2x+)y=sin(2x+) 倍3横坐标伸长到原来的2y=sin(x+)y=sinx. 向右平移248个单位长度可得到函数84331纵坐标缩短到原来的倍333y=3sin2x

方法二:y=3sin(2x+)=3sin2(x+)636向右平移倍y=sin2x横坐标伸长到原来的2y=si1纵坐标缩短到原来的倍3nx. 3.2007山东高考,4

要得到函数y=sinx的图象,只需将函数y=cos(x-)的图象(

) A.向右平移个单位

B.向右平移个单位

C.向左平移个单位

D.向左平移个单位

答案:A 知能训练

课本本节练习1、2. 解答: 1.如图6. 36633

点评:第(1)(2)(3)小题分别研究了参数A、ω、φ对函数图象的影响,第(4)小题则综合研究了这三个参数对y=Asin(ωx+φ)图象的影响. 2.(1)C;(2)B;(3)C.

点评:判定函数y=A1sin(ω1x+φ1)与y=A2sin(ω2x+φ2)的图象间的关系.为了降低难度,在A1与A2,ω1与ω2,φ1与φ2中,每题只有一对数值不同. 课堂小结

1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法,以及对三角函数图象及三角函数解析式的新的认识,使本节的总结成为学生凝练提高的平台. 2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出y=Asin(ωx+)的图象,并分别观察参数φ、ω、A对函数图象变化的影响,同时通过具体函数的图象的变化,领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想. 作业

1.用图象变换的方法在同一坐标系内由y=sinx的图象画出函数y=sin(-2x)的图象. 2.要得到函数y=cos(2x-)的图象,只需将函数y=sin2x的图象通过怎样的变换得到? 3.指出函数y=cos2x+1与余弦曲线y=cosx的关系. 4123

解答:1.∵y=sin(-2x)=sin2x,作图过程: 1212y=sin2x. y=sin2xy=sinx横坐标不变纵坐标不变121横坐标变为原来的倍21纵坐标变为原来的倍22.∵y=cos(2x-)=sin[+(2x-)]=sin(2x+)=sin2(x+), ∴将曲线y=sin2x向左平移个单位长度即可. 3.∵y=cos2x+1, ∴将余弦曲线y=cosx上各点的横坐标缩短到原来的倍,再将所得曲线上所有的点向上平移1个单位长度,即可得到曲线y=cos2x+1. 设计感想

1.本节图象较多,学生活动量大,因此本节设计的主要指导思想是充分利用信息技术工具,从整体上探究参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)图象整体变化的影响.这符合新课标精神,符合教育课改新理念.现代教育要求学生在富有的学习动机下主动学习,合作探究,教师仅是学生主动学习的激发者和引导者. 2.对于函数y=sinx的图象与函数y=Asin(ωx+φ)的图象间的变换,由于“平移变换”与“伸缩变换”在“顺序”上的差别,直接会对图象平移量产生影响,这点也是学习三角函数图象变换的难点所在,设计意图旨在通过对比让学生领悟它们的异同. 3.学习过程是一个认知过程,学生内部的认知因素和学习情景的因素是影响学生认知结构的变量.如果学生本身缺乏学习动机和原有的认知结构,外部的变量就不能发挥它们的作用,但外部变量所提供的刺激也能使内部能力引起学习. 12424488

(设计者:张云全) 第2课时

导入新课

思路1.(直接导入)上一节课中,我们分别探索了参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响及“五点法”作图.现在我们进一步熟悉掌握函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,φ≠0)的图象变换及其物理背景.由此展开新课.

思路2.(复习导入)请同学们分别用图象变换及“五点作图法”画出函数y=4sin(x-)的简图,学生动手画图,教师适时的点拨、纠正,并让学生回答有关的问题.在学生回顾与复习上节所学内容的基础上展开新课. 推进新课

新知探究

提出问题

①在上节课的学习中,用“五点作图法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象时,列表中最关键的步骤是什么？

②(1)把函数y＝sin2x的图象向_____平移_____个单位长度得到函数)的图象；(2)把函数y＝sin3x的图象向_______平移3_______个单位长度得到函数y＝sin(3x＋)的图象；(3)如何由函数y6＝sinx的图象通过变换得到函数y＝sin(2x+)的图象？

3123y＝sin(2x－③将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移个单位长度,所得到的曲线是y=sinx的图象,试求函数y=f(x)的212

解析式.

对这个问题的求解现给出以下三种解法,请说出甲、乙、丙各自解法的正误.(多媒体出示各自解法)

甲生:所给问题即是将y=sinx的图象先向右平移个单位长度,得到y=sin(x-)的图象,再将所得的图象上所有点的横坐标缩短到原来的,得到y=sin(2x-),即y=cos2x的图象,∴f(x)=cos2x.

乙生:设f(x)=Asin(ωx+φ),将它的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=Asin(x+φ)的图象,再将所得的图象向左平移个单位长度,得到y=Asin(x++φ)=sinx,∴A=,=1,+φ=0,

即A=,ω=2,φ=-.∴f(x)=sin(2x-)=cos2x.

丙生:设f(x)=Asin(ωx+φ),将它的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=Asin(x+φ)的图象,再将所得的图象向左平移个单位长度,得到y=Asin[(x+)+φ]=Asin(x+1+φ=0.

2241解得A=,ω=2,φ=-, 2211∴f(x)=sin(2x-)=cos2x. 222122122121221212222212122212212212222224+φ)= 1sinx, 2∴A=,=1,

活动:问题①,复习巩固已学三种基本变换,同时为导入本节课重、难点创设情境.让学生回答并回忆A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象变化的影响.引导学生回顾“五点作图法”,既复习了旧知识,又为学生准确使用本节课的工具提供必要的保障.

问题②,让学生通过实例综合以上两种变换,再次回顾比较两种方法平移量的区别和导致这一现象的根本原因,以此培养训练学生变换

的逆向思维能力,训练学生对变换实质的理解及使用诱导公式的综合能力.

问题③,甲生的解法是考虑以上变换的“逆变换”,即将以上变换倒过来,由y=sinx变换到y=f(x),解答正确.乙、丙两名同学都是采用代换法,即设y=Asin(ωx+φ),然后按题设中的变换得到两次变换后图象的函数解析式,这种思路清晰,但值得注意的是:乙生的解答过程中存在2把y=Asin(x+φ)函数中的自变量x变成x+,应该变换成22y=Asin[(x+)+φ],而不是变换成y=Asin(x++φ),虽然结果一样,2222212实质性的错误,就是将y=Asin(x+φ)的图象向左平移个单位长度时,但这是巧合,丙同学的解答是正确的.

三角函数图象的“逆变换”一定要注意其顺序,比如甲生解题的过程中如果交换了顺序就会出错,故在对这种方法不是很熟练的情况下,用丙同学的解法较合适(即待定系数法).平移变换是对自变量x而言的,比如乙同学的变换就出现了这种错误. 3,π, ,2π.

22②(1)右, ；(2)左, ；(3)先y＝sinx的图象左移,再把所有点的横6183讨论结果:①将ωx+φ看作一个整体,令其分别为0, 坐标压缩到原来的倍(纵坐标不变). ③略. 提出问题

①回忆物理中简谐运动的相关内容,并阅读本章开头的简谐运动的图象,你能说出简谐运动的函数关系吗？

②回忆物理中简谐运动的相关内容,回答:振幅、周期、频率、相位、12

初相等概念与A、ω、φ有何关系.

活动:教师引导学生阅读并适时点拨.通过让学生回忆探究,建立与物理知识的联系,了解常数A、ω、φ与简谐运动的某些物理量的关系,得出本章开头提到的“简谐运动的图象”所对应的函数解析式有如下形式:y=Asin(ωx+φ),x∈［0,+∞),其中A>0,ω>0.物理中,描述简谐运动的物理量,如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关:A就是这个简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大2,这是做简谐运动的物体往复运动1一次所需要的时间;这个简谐运动的频率由公式f==给出,它是做T2距离;这个简谐运动的周期是T=简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;ωx+φ称为相位;x=0时的相位φ称为初相. 讨论结果:①y=Asin(ωx+φ),x∈［0,+∞),其中A>0,ω>0.

②略. 应用示例

例1 图7是某简谐运动的图象.试根据图象回答下列问题: (1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少? (2)从O点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一次往复运动?如从A点算起呢? (3)写出这个简谐运动的函数表达式.

图7

活动:本例是根据简谐运动的图象求解析式.教师可引导学生再次回忆物理学中学过的相关知识,并提醒学生注意本课开始时探讨的知识,思考y=Asin(ωx+φ)中的参数φ、ω、A在图象上是怎样反映的,要解决这个问题,关键要抓住什么.关键是搞清φ、ω、A等参数在图象上是如何得到反映的.让学生明确解题思路,是由形到数地解决问题,学会数形结合地处理问题.完成解题后,教师引导学生进行反思学习过程,概括出研究函数y=Asin(ωx+φ)的图象的思想方法,找两名学生阐述思想方法,教师作点评、补充. 解:(1)从图象上可以看到,这个简谐运动的振幅为2 cm;周期为0.8 s;频率为. (2)如果从O点算起,到曲线上的D点,表示完成了一次往复运动;如果从A点算起,则到曲线上的E点,表示完成了一次往复运动. (3)设这个简谐运动的函数表达式为y=Asin(ωx+φ),x∈［0,+∞),

52=0.8,得ω=;由图象知初相φ=0.

25于是所求函数表达式是y=2sinx,x∈［0,+∞).

254那么A=2;由

点评:本例的实质是由函数图象求函数解析式,要抓住关键点.应用数学中重要的思想方法——数形结合的思想方法,应让学生熟练地掌握这种方法. 变式训练

函数y=6sin(1x-)的振幅是,周期是____________,频率是46____________,初相是___________,图象最高点的坐标是_______________.

解:6

8π

18



(8kπ+,6)(k∈Z) 863例2 若函数y=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0,ω>0)在其一个周期内的图象上有一个最高点(,3)和一个最低点(,-5),求这个函数的解析式. 1212

活动:让学生自主探究题目中给出的条件,本例中给出的实际上是一个图象,它的解析式为y=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0,ω>0),这是学生未遇到过的.教师应引导学生思考它与y=Asin(ωx+φ)的图象的关系,它只是把y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象向上(B>0)或向下(B<0)平移|B|个单位.由图象可知,取最大值与最小值时相应的x的值之差的绝对值只是半个周期.这里φ的确定学生会感到困难,因为题目中毕竟没有直接给出图象,不像例1那样能明显地看出来,应告诉学生一般都会在条件中注明|φ|<π,如不注明,就取离y轴最近的一个即可. 解:由已知条件,知ymax=3,ymin=-5, 则A=(ymax-ymin)=4,B=

(ymax+ymin)=-1,=∴T=π,得ω=2.

故有y=4sin(2x+φ)-1. ,3)在函数的图象上,故有3=4sin(2×+φ)-1, 1212即sin(+φ)=1.一般要求|φ|<,故取+φ=.∴φ=. 62623故所求函数的解析式为y=4sin(2x+)-1. 31212T27-=. 12122由于点(

点拨:这是数形结合的又一典型应用,应让学生明了,题中无图但脑中应有图或根据题意画出草图,结合图象可直接求得A、ω,进而求得初相φ,但要注意初相φ的确定.求初相也是这节课的一个难点. 变式训练

已知函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)一个周期的图象如图8所示,求函数的解析式.

解:根据“五点法”的作图规律,认清图象中的一些已知点属于五点法中的哪一点,而选择对应的方程ωxi+φ=0,,π,的值.

方法一:由图知A=2,T=3π,

222=3π,得ω=,∴y=2sin(x+φ).

333由“五点法”知,第一个零点为(,0), 423∴·+φ=0φ=-, 3422故y=2sin(x-). 322

方法二:得到y=2sin(x+φ)同方法一. 339

由图象并结合“五点法”可知,(,0)为第一个零点,(,0)为第二4423,2π(i=1,2,3,4,5),得出φ2

由个零点. ∴·+φ=πφ=. 22934∴y=2sin(x-).

点评:要熟记判断“第一点”和“第二点”的方法,然后再利用ωx1+φ=0或ωx2+φ=π求出φ.

2.2007海南高考,3函数y=sin(2x-)在区间［,π］上的简图是(

) 22323

图9 答案:A 知能训练

课本本节练习3、4. 3.振幅为,周期为4π,频率为4231.先将正弦曲线上所有的点向右平行4移动个单位长度,再在纵坐标保持不变的情况下将各点的横坐标伸长到原来的2倍,最后在横坐标保持不变的情况下将各点的纵坐标缩短到原来的倍.

点评:了解简谐运动的物理量与函数解析式的关系,并认识函数y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲线的关系. .把正弦曲线在区间［,+∞)的部分向左平行移动个单位长度,121212就可得到函数y=sin(x+),x∈［0,+∞)的图象. 12234.

点评:了解简谐运动的物理量与函数解析式的关系,并认识函数y=sin(x+φ)的图象与正弦曲线的关系. 课堂小结

1.由学生自己回顾本节学习的数学知识:简谐运动的有关概念.本节学

习的数学方法:由简单到复杂、特殊到一般、具体到抽象的化归思想,数形结合思想,待定系数法,数学的应用价值. 2.三角函数图象变换问题的常规题型是:已知函数和变换方法,求变换后的函数或图象,这种题目的解题的思路是:如果函数同名则按两种变换方法的步骤进行即可；如果函数不同名,则将异名函数化为同名函数,且需x的系数相同.左右平移时,如果x前面的系数不是1,需将x前面的系数提出,特别是给出图象确定解析式y=Asin(ωx+φ)的题型.有时从寻找“五点法”中的第一零点(降情况找准第一零点的位置. 作业

把函数y=cos(3x+)的图象适当变动就可以得到y=sin(-3x)的图象,这种变动可以是(

) A.向右平移D.向左平移

B.向左平移

C.向右平移

44124,0)作为突破口,一定要从图象的升

12)], 4412∴由y=sin[-3(x-)]向左平移才能得到y=sin(-3x)的图象. 1212解:∵y=cos(3x+)=sin(-3x)=sin[-3(x-答案:D

点评:本题需逆推,教师在作业讲评时应注意加强学生逆向思维的训练.如本题中的-3x需写成-3(x-性. 设计感想

1.本节课符合新课改精神,突出体现了以学生能力的发展为主线,应用4),这样才能确保平移变换的正确12

启发式、讲述式引导学生层层深入,培养学生自主探索及发现问题、分析问题和解决问题的能力.注重利用非智力因素促进学生的学习,实现数学知识价值、思维价值和人文价值的高度统一. 2.由于本节内容综合性强,所以本节教案设计的指导思想是:在教师的引导下,让学生积极、主动地提出问题,自主分析,再合作交流,达到殊途同归.在思维训练的过程中,感受数学知识的魅力,成为学习的主人.新课改要求教师在新的教学理念下,要勇于,更要善于把问题抛给学生,激发学生探求知识的强烈欲望和创新意识.教学的目的是以知识为平台,全面提升学生的综合能力.