3.1.2 概率的意义第二课时教案

《创新设计》图书

3．1.2

概率的意义

[学习目标]

1.通过实例，进一步理解概率的意义.2.会用概率的意义解释生活中的实例.3.了解“极大似然法”和遗传机理中的统计规律．

知识点一

对概率的正确理解

1．随机事件的发生都有随机性．例如，尽管每次抛掷硬币的结果出现正、反的概率都为0.5，但连续两次抛掷硬币的结果不一定恰好是正面朝上、反面朝上各一次，可以有三

种可能的结果：“两次正面朝上”“两次反面朝上”“一次正面朝上，一次反面朝上”．

2．随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性．认识了这种随机性中的规律性，就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性．例如，做连续抛掷两枚硬币的试验1 000次，可以预见：“两枚正面朝上”大约出现250次；“两枚反面朝上”大约出现250次；“正面朝上、反面朝上各一枚”大约出现500次．

3．概率值表示每次试验中随机事件发生的可能性的大小，它反映的是一种规律，而不是试验总次数中某事件一定发生的比例．

思考

(1)随机事件A的概率P(A)能反映事件A发生的确切情况吗？

(2)随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有什么关系？

答

(1)不能，只能反映事件A发生的可能性的大小．

(2)随机事件的概率表明了随机事件发生的可能性的大小，但并不表示概率大的事件一定发生，概率小的事件一定不发生．

知识点二

生活中的概率

1．游戏的公平性

(1)裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的．

(2)在设计某种游戏规则时，一定要考虑“这种规则对每个人都是公平的”这一重要原则．

2．决策中的概率思想

如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法．极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一．

题型一

概率含义的正确理解

《创新设计》图书

例1

经统计，某篮球运动员的投篮命中率为90%，对此有人解释为其投篮100次一定有90次命中，10次不中，你认为这种解释正确吗？说说你的理由．

解

这种解释不正确．理由如下：

因为“投篮命中”是一个随机事件，90%是指“投篮命中”这个事件发生的概率．

我们知道，概率为90%的事件也可能不发生，所以这种解释不正确．

反思与感悟

1.概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．

2．由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．

3．正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．

跟踪训练1

某种疾病治愈的概率是30%，有10个人来就诊，如果前7个人没有治愈，那么后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是30%? 解

不一定．如果把治疗一个病人当作一次试验，治愈的概率是30%，是指随着试验次数的增加，大约有30%的病人能治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的．因此，前7个病人没有治愈是有可能的，而对后3个病人而言，其结果仍是随机的，即有可能治愈，也有可能不能治愈．

题型二

极大似然法的应用

例2

设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球和1个黑球，乙箱有1个白球和99个黑球，今随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球．问这球是从哪一个箱子中取出的．

99解

甲箱中有99个白球和1个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是；

1001乙箱中有1个白球和99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是. 100由此看到，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多．由极大似然法知，既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是由概率大的箱子中抽出的．所以我们作出统计推断该白球是从甲箱中抽出的．

反思与感悟

统计中极大似然法思想的概率解释：在一次试验中概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大．在解决有关实际问题时，要善于灵活地运用极大似然法这一统计思想来进行科学决策．

跟踪训练2

同时向上抛100个铜板，结果落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为这100个铜板更可能是下面哪种情况(

) A．这100个铜板两面是相同的

B．这100个铜板两面是不相同的

《创新设计》图书

C．这100个铜板中有50个两面是相同的，另外50个两面是不相同的

D．这100个铜板中有20个两面是相同的，另外80个两面是不相同的

答案

A 解析

落地时100个铜板朝上的面都相同，根据极大似然法可知，这100个铜板两面是相同的可能性较大．

题型三

概率的应用

例3

山东某家具厂为游泳比赛场馆生产观众座椅，质检人员对该厂所生产的2 500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有5套次品，估计该厂所生产的2 500套座椅中大约有多少套次品？

解

设有n套次品，由概率的统计定义可知n5≈，解得n≈125. 2 500100所以该厂所生产的2 500套座椅中大约有125套次品．

反思与感悟

1.由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率．

2．实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等．

跟踪训练3

某中学为了了解初中部学生的某项行为规范的养成情况，在校门口按系统抽样的方法：每2分钟随机抽取一名学生，登记佩带胸卡的学生的名字．结果，150名学生中有60名佩带胸卡．第二次检查，调查了初中部的所有学生，有500名学生佩带胸卡．据此估计该中学初中部共有多少名学生．

60500解

设初中部有n名学生，依题意得＝，解得n＝1 250.∴该中学初中部共有学生大约150n1 250名．

游戏公平性的判断

例4

下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球，

游戏1

3个黑球和1个白球

取1个球，再取1个球

取出的两个球同色→甲胜

取出的两个球不同色→乙胜

问其中不公平的游戏是(

) A．游戏1 游戏2

1个黑球和1个白球

取1个球

取出的球是黑球→甲胜

取出的球是白球→乙胜

游戏3 2个黑球和2个白球

取1个球，再取1个球

取出的两个球同色→甲胜

取出的两个球不同色→乙胜

《创新设计》图书

B．游戏1和游戏3 C．游戏2 D．游戏3 错解

游戏1中取2个球的所有可能情况有：

2(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，白)，(黑3，白)，所以甲胜的概率为，所以5游戏1是不公平的．游戏2中，显然甲胜的可能性是0.5，游戏是公平的．游戏3中取2个球的所有可能情况有(黑1，黑2)，(黑1，白1)，(黑2，白1)，(黑1，白2)，(黑2，白2)，(白11，白2)，所以甲胜的可能性为，所以游戏3是不公平的．

3错解分析

分析解题过程，你知道错在哪里吗？

错误的根本原因是对试验发生的所有可能情况列举不全，从而导致结果错误．

正解

D

1．下列说法正确的是(

) A．某事件发生的概率为P(A)＝1.1 B．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1 C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件

D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的

答案

B 解析

∵事件发生的概率0≤P(A)≤1，∴A错；小概率事件是指这个事件发生的可能性很小，几乎不发生．大概率事件发生的可能性较大，但并不是一定发生，∴C错；某事件发生的概率为一个常数，不随试验的次数变化而变化，∴D错；B正确．

2．设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8 000件产品中合格品的件数可能为(

) A．160

B．7 840

C．7 998

D．7 800 答案

B 解析

次品率为2%，故次品约8 000×2%＝160(件)，故合格品的件数可能为7 840. 3．某地气象局预报说：明天本地降水的概率为80%，则下列解释正确的是(

) A．明天本地有80%的区域降水，20%的区域不降水

B．明天本地有80%的时间降水，20%的时间不降水

C．明天本地降水的可能性是80% D．以上说法均不正确

答案

C 解析

选项A，B显然不正确，因为明天本地降水的概率为80%不是说有80%的区域降水，

《创新设计》图书

也不是说有80%的时间降水，而是指降水的可能性是80%.故选C. 4．给出下列四个命题：

①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品；

51②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是；

100③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；

9④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是. 50其中正确命题有________．

答案

④

解析

①错，次品率是大量产品的估计值，并不是针对200件产品来说的．②③混淆了频率与概率的区别．④正确．

5．公元1053年，大元帅狄青奉旨率兵征讨侬智高，出征前狄青拿出100枚“宋元天宝”铜币，向众将士许愿：“如果钱币扔在地上，有字的一面会全部向上，那么这次出兵一定可以打败敌人！”在千军万马的注目之下，狄青用力将铜币向空中抛去，奇迹发生了：100枚铜币，枚枚有字的一面向上．顿时，全军欢呼雀跃，将士个个认为是神灵保佑，战争必胜无疑．事实上铜币有可能是________(填序号)．

①铜币两面均有字；

②铜币质量不均匀；

③神灵保佑；

④铜币质量均匀．

答案

①②

1.概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个度量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只是认为事件发生的可能性大．

2．概率与频率的关系：对于一个事件而言，概率是一个常数，频率则随试验次数的变化而变化，次数越多频率越接近其概率.

一、选择题

1．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增加，有(

) A．f(n)与某个常数相等

B．f(n)与某个常数的差逐渐减小

《创新设计》图书

C．f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小

D．f(n)在某个常数附近摆动并趋于稳定

答案

D 解析

随着n的增大，频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系．

2．先后抛掷两枚均匀的五角、一元的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列哪个事件的概率最大(

) A．至少一枚硬币正面向上

B．只有一枚硬币正面向上

C．两枚硬币都是正面向上

D．两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上

答案

A 解析

抛掷两枚硬币，其结果有“正正”，“正反”，“反正”，“反反”四种情况．至少有一枚硬币正面向上包括三种情况，其概率最大．

3．在下列各事件中，发生的可能性最大的为(

) A．任意买1张电影票，座位号是奇数

B．掷1枚骰子，点数小于等于2 C．有10 000张彩票，其中100张是获奖彩票，从中随机买1张是获奖彩票

D．一袋中装有8个红球，2个白球，从中随机摸出1个球是红球

答案

D 1114解析

概率分别是PA＝，PB＝，PC＝，PD＝，故选D. 23100514．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前4位病人都未治愈，则第5位病人的治愈率为(

) 514A．1

B.

C.

D．0 55答案

B 11解析

治愈率为，表明每位病人被治愈的概率均为，并不是5人中必有1人被治愈．故选55B. 5．每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，某次考试共有12道选择题，某人1说：“每个选项正确的概率是，我每题都随机地选择其中一个选项，则一定有3道选择题结4果正确．”这句话(

) A．正确

C．不一定正确

答案

B B．错误

D．以上都不对

《创新设计》图书

1解析

虽然答对一道题的概率为，但实际问题中，并不意味着一定答对3道，可能全对，可4能对3道，也可能全不对等．

6．甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是(

) A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜

B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜

C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜

D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜．

答案

B 11解析

A项，P(点数为奇数)＝P(点数为偶数)＝；B项，P(恰有一枚正面向上)＝，P(两枚2211都正面向上)＝；C项，P(牌色为红)＝P(牌色为黑)＝；D项，P(同奇或同偶)＝P(奇偶不同)421＝. 2二、填空题

7．某班某次测验中，全班53人，有83%的人及格，则“从该班中任意抽出10人，仅有1人及格”这件事________发生．(选填“可能”或“不可能”) 答案

可能

解析

全班及格人数为53×83%≈44，所以不及格人数为53－44＝9.所以任意抽出10人，是有可能包含全部不及格的学生的．

18．如果从一个不透明的口袋中摸出白球的概率为，已知袋中白球有3个，那么袋中球的总6个数为________．

答案

18 131解析

设袋中有x个球，因为摸出白球的概率为，且袋中白球有3个，所以＝.所以x＝18. 6x69．一个袋中装有数量差别较大的白球和黑球，从中任取一球，取出的是白球，估计袋中数量少的球是________．

答案

黑球

解析

根据极大似然法，知袋中数量较多的是白球，因此黑球数量较少．

10．玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看某歌星的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，我就去，如果落地后两面一样，你就去！”这个办法________．(选填“公平”或“不公平”) 答案

公平

解析

同样抛掷两枚硬币落地的结果共4种：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．由

《创新设计》图书

1此可见，她们两人得到门票的概率都是，所以公平．

2三、解答题

11．判断下列说法是否正确，并说明理由．

(1)如果一件事成功的概率是0.1%，那么它必然不会成功；

(2)某校九年级共有学生400人，为了了解他们的视力情况，抽查了20名学生的视力并对所得数据进行整理，若视力在0.95～1.15范围内的频率为0.3，则可估计该校九年级学生的视力在0.95～1.15范围内的人数为120；

(3)甲袋中有12个黑球，4个白球，乙袋中有20个黑球，20个白球．摸出1个球，要想摸出1个黑球，由于乙袋中黑球的个数多些，故选择乙袋成功的机会较大．

解

(1)不正确，因为0.1%表示试验很多次，平均每1 000次有1次成功，不是不可能成功，只是成功的机会小．

(2)正确，400×0.3＝120. 3113(3)不正确，因为在甲袋中P(摸到黑球)＝，在乙袋中P(摸到黑球)＝，＜，所以选择甲袋4224成功的机会较大．

12．设人的某一特征是由一对基因所决定的，以d代表显性基因，r代表隐性基因，则具有dd基因的人为纯显性，具有rr基因的人为纯隐性，具有rd或dr基因的人为混合性，纯显性与混合性的人都显露显性基因决定的某一特征．孩子从父母身上各得到一个基因，假定父母的基因都是混合性的，求他们的一个孩子显露显性基因决定的特征的概率．

解

如图，由图可知，他们的孩子可能的基因有4种，即dd，dr，rd，rr，它们的概率分别1111为，，，，当基因为dd，dr，rd时，孩子显露显性基因决定的特征，所以他们的一个孩44443子显露显性基因决定的特征的概率为. 4

13．如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A、B.转盘A被平均分成3等份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3,4,5,6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜．你认为这样的游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？

《创新设计》图书

解

列表如下：

B A 1

2

3

3

4

5

6

4

5

6

7

5

6

7

8

6 7 8 9 由表可知，等可能的结果有12种，和为6的结果只有3种．

31因为P(和为6)＝＝，所以甲、乙获胜的概率不相等．

124所以这样的游戏规则不公平．如果将规则改为“和是6或7，则甲胜，否则乙胜”，那么此时游戏规则是公平的．