小结特级教师教学实录

第二章

平面向量----小结与复习

一、教学目标：

知识与技能：

1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。

2. 了解平面向量基本定理. 3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。

4. 了解向量形式的三角形不等式：||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a|+|b|)=|a－b|+|a+b|. 5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：

6. 向量的坐标概念和坐标表示法

7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）

8. 数量积（点乘或内积）的概念，a·b=|a||b|cos= x1x2y1y2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”

过程与方法：

通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学

生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段. 情感、态度与价值观

通过学习体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力．进行辩证唯物主义思想教育、数学审美教育，提高学生学习数学的积极性．

2222二．重点难点 重点：平面向量的基本概念和基本解题方法

难点：知识的综合运用能力

三、教材与学情分析

平面向量部分有许多新的概念和独特的运算体系，学生掌握较为困难。在复习中一方面再次澄清基本概念，熟悉运算方法。同时从本章知识的整体上来理解和把握，在具体问题解决中加深理解和知识的综合运用能力。

四、教学方法

问题引导，主动探究，启发式教学．

五、教学过程

（一）知识梳理、构建网络

1．平面向量的基本概念

主要应掌握向量的概念、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念，这些概念是考试的热点，一般都是以选择题或填空题出现，尤其是单位向量常与向量的平行与垂直的坐标形式结合考查，往往一些学生只求出一个而遗漏另一个．

2．向量的线性运算

主要应掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则，甚至推广到向量加法的多边形法则；掌握向量减法的三角形法则；数乘向量运算的性质和法则及运算律．同时要灵活运用这些知识解决三点共线、两线段相等及两直线平行等问题．

3．向量的坐标运算

主要应掌握向量坐标运算的法则、公式进行向量加、减与数乘运算；能用向量共线的坐标表示证明两向量平行或证明三点共线；能用平面向量基本定理和基底表示平面内任意一个向量．

4．平面向量的数量积

平面向量的数量积是向量的核心内容，主要应掌握向量的数量积的定义、法则和公式进行相关运算，特别是向量的模、夹角、平行与垂直等运算；能用向量数量积的坐标形式求向量的模、夹角，证明向量平行或垂直，能解答有关综合问题．

5．平面向量的应用

一是要掌握平面几何中的向量方法，能用向量证明一些平面几何问题、能用向量求解一

些解析几何问题；二是能用向量解决一些物理问题，如力、位移、速度等问题. （二）典例解析、归纳提升

专题一

向量的共线问题

运用向量平行(共线)证明常用的结论有：(1)向量a、b(a≠0)共线⇔存在唯一实数λ，使b＝λa；(2)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0；(3)向量a与b共线⇔|a·b|＝|a||b|；(4)向量a与b共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0. 判断两向量所在的直线共线时，除满足定理的要求外，还应说明此两直线有公共点．

【例1】

已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋2b与2a－4b平行，求实数k的值．

解

法一

向量ka＋2b与2a－4b平行，则存在唯一实数λ，使ka＋2b＝λ(2a－4b)．

∵ka＋2b＝k(1,2)＋2(－3,2)＝(k－6,2k＋4)，2a－4b＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)，

∴(k－6,2k＋4)＝λ(14，－4)．

λ＝－2，k－6＝14λ，∴解得2k＋4＝－4λ，

1k＝－1.

∴实数k的值为－1. 法二

∵ka＋2b＝k(1,2)＋2(－3,2)＝(k－6,2k＋4)，2a－4b＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)，

ka＋2b与2a－4b平行，∴(k－6)×(－4)－(2k＋4)×14＝0.解得k＝－1. 专题二

向量的夹角及垂直问题

1．求两个向量的夹角主要利用两个公式：

a·b(1)cos θ＝，求解的前提是：求出这两个向量的数量积和模．

|a||b|(2)cos θ＝x1x2＋y1y2222x21＋y1x2＋y2，求解的前提是：可以求出两个向量的坐标．

2．解决垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样，若向量能用坐标表示，将它转化为“x1x2＋y1y2＝0”较为简单．

3．用向量方法解决平面几何中的夹角与垂直问题的关键在于：选用适当向量为基底，把所要研究的问题转化为两向量的夹角与垂直问题，再利用向量知识求角．

【例2】向量e1、e2是夹角为60°的两个单位向量，求向量a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角．

【例3】已知O为平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，点P满足

OB＋OCABACOP＝＋λ(→＋→)，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(

) 2|AB|cosB|AC|cosCA．重心

B．外心 C．垂心 D．内心

专题三

向量的长度(模)与距离的问题

向量的模不仅是研究向量的一个重要量，而且是利用向量的方法解决几何问题的一个交汇点．一般地，求向量的模主要利用公式|a|2＝a2，将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和运算性质进行展开、合并，使问题得以解决，或利用公式|a|＝x2＋y2，将它转化为实数问题，使问题得以解决．

【例4】已知|a|＝3，|b|＝4，求|a－b|的取值范围．

→→→→→

专题四

数形结合思想

数形结合思想：向量本身既具有大小，又具有方向，可以用几何法表示，而向量又有良好的运算性质——坐标运算，可把向量与数联系起来，这样向量具备了“数”与“形”的两方面特征．处理两直线平行、垂直、三点共线等问题是几何问题，但可通过向量的坐标运算这种代数手段实现证明，还可利用向量的数量积处理线段的长度、角度等问题．

【例5】已知非零向量a，b，且|a|＝|b|＝|a＋b|.求：

(1)a，b的夹角；

(2)b，a－b的夹角．

专题五

平面向量的综合应用

1．平面向量的综合应用主要涉及在平面几何、解析几何与物理中的应用，重点是在平面几何中的应用．

2．解决此类问题的关键是分析问题将问题转化为向量问题，利用向量的有关运算去解决问题．

【例6】在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图所示)的东偏南θ(θπ∈(0，)]方向300 km的海南P处，并以20 km的速度向西偏北45°方向移动．当前半径为60 km，并以210 km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

42[注：cos(θ－45°)＝，cosθ＝] 510六、课堂小结

1．平面向量的基本概念

2．向量的线性运算

3．向量的坐标运算

4．平面向量的数量积

5．平面向量的应用

七、课后作业

1、已知a(1,2)，b3,2,1求2a4b2若ka2b与2a4b平行,求k的值3若ka2b与

2a4b的夹角为钝角，求实数k的取值范围2、已知a1,sin,b1,cos,R.1若ab2,0,求sin22sincos的值;2若ab0,1,,2,求sincos的值5

3、已知a2cosx,1,bsinx,2,fxab1若f(6)2,求cos2的值;36

2若a∥b,求tanx及f(x)的值八、教学反思