2.1.2 向量的几何表示教学设计案例

一、课标要求

“向量的几何表示”教学设计

通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。

二、教材分析

（一）本节的地位和作用

向量是近代数学最重要的和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何和三角函数的桥梁，是解决几何问题的有力工具，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。向量有着丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向线段是它的几何背景。向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念。向量集数与形于一身，是数形结合的重要体现。向量作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活的问题，因此它在整个高中数学学习过程中占有特别重要的地位。

本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用。本节课重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能力。

（二）本节的主要内容

向量就是从物理背景中抽象概括出来的数学概念，因此把本节课的主要内容确定为向量的概念和向量的表示方法。

（三）教学重点、难点分析

掌握向量的概念，要抓住向量的本质——大小和方向.尽管学生有着相对比较丰富的物理素材，但对向量的认识还是比较单一的（往往只考虑大小而忽略方向），所以平面向量的概念是本节课的重点也是难点，同时，向量的几何表示也是本节课的重点。

教学重点：向量的概念及向量的表示方法.

教学难点：向量的概念和向量与有向线段的区别. 三、学情分析

从学生已经学习过的知识中看，他们已经掌握了数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、单位长度、0和1的特殊性。还有学生在物理学科中已经积累了足

够多的向量模型，并且在三角函数线部分内容的学习中（必修4任意角的三角函数、三角函数的图象与性质）已经接触到有向线段的概念，从而为本节课的学习提供了知识准备。

从学生现有的学习能力看，学生已经具备了一定的抽象概括的能力，因此从物理背景中抽象并概括出向量的概念不是太难。

学生在学习本节课内容过程中，主要理解向量的概念和向量的表示方法，学生可能会对向量的几何表示方法（有向线段）与平面向量进行混淆，因此在教学中应该对学生进行引导性的提问，让学生理解它们的区别。

四、教学目标

（一）知识与技能

（1）通过对位移、力等实例的分析，抽象概括出平面向量的概念；

（2）理解平面向量的几何意义及几何表示；

（3）掌握向量的模、零向量及单位向量的概念。

（二）过程与方法

经历平面向量的概念的形成过程，提高抽象概括能力，引导用观察、类比、归纳等发现规律的一般方法解决数学问题。

（三）情感态度与价值观

经历平面向量的概念的探索过程，提高自主探究能力，进一步提高学习数学的乐趣，由感性思维逐步提升到理性思维。

五、教学理念

（一）自主建构

知识不能被动接受、不能被传递，需要学生主动地自我建构。在学习向量概念之前，学生已经学习了物理中矢量的概念，通过对原有知识框架的整合，达到学习新概念的目的，有利于学生对数学知识意义的理解、数学能力的提高、数学素质的养成。

（二）具体与抽象相结合

向量是一个抽象出来的概念，因此要通过具体的实际背景，如位移等具体的概念引入，再进一步得出向量的概念。只有当学生形成了一定的感性认识之后，才可能形成抽象的概念。

六、教学方法

本节课采用讲解法。本节课是对新概念的学习，采用讲解法有利于保持知识的科学性和系统性。因此在讲解时要注意把握向量的物理意义和它的实际背景，有助于学生认同新概念的合理性，便于加深学生对向量内涵的理解，提高学生的抽象概括能力。 七、教学过程

（一）情境创设

思考：如何由A点确定B点位置，如图

一种常用的方法是，以A点为参照点，用B点与A点之间的方位和距离确定B点的位置，如B点在A点东偏南45，30千米处。这样，在A点与B点之间，我们可以用有向线段AB表示B点相对于A点的位置，有向线段AB就是A点与B点之间的位移。像位移这种既有大小又有方向的量，加以抽象，就是这节课我们要学的向量。

设计意图：为学生得出向量概念（位移、速度、力）提供依据。

（二）概念形成

1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量。

强调：数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；

向量既有大小，又有方向，不能比较大小。

2.向量的表示方法

思考:物理学中如何画物体所受的力? 用有向线段表示，线段的长度表示力的大小，箭头表示方向。 设计意图：启发学生运用类比的数学思想，得出向量的表示方法。 (1) 几何表示法：常用一条有向线段表示向量。 符号表示：以A为起点、B为终点的有向线段，

记作AB。(注意起终点顺序). (2) 字母表示法：可表示AB为a.（注意课本上的表示是黑体，书写的时候上面要标箭头）

注意：向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段。

（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个

向量就是相同的向量；

（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.

3.向量的模

向量AB的大小——向量AB长度称为向量的模. 记作：|AB|. 4.两个特殊的向量

(1) 零向量——长度为零的向量，记作0.规定0的方向是任意的。 (2) 单位向量——长度等于1个单位长度的向量．

（三）练习巩固

课本P75页例1，P77页第一题 （四）归纳小结

本节课主要学习了向量的概念和向量的表示方法。我们要注意的是：

1.描述一个向量有两个指标——模、方向。

2.向量的图示，要标上箭头、起点和终点，以体现它的直观性.