复习参考题教学目标

1.4.2正弦、余弦函数的性质

课前测试：利用“五点作图法”画出下列函数的图象:

（1）y=sinx+1, x∈[0,2π];

（2）y= - cosx , x∈[0,2π].

教学目的：

知识与技能：能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；理解三角函数的奇、偶性和单调性。；

过程与方法：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。

情感态度价值观：能够根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学数学的兴趣。

激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。

教学重点：正、余弦函数的周期性；正、余弦函数的奇、偶性和单调性。正、余弦函数的周期性

教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用；正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用。

教学过程：

一、复习引入：

1．利用简单的生活规律和数学规律总结出周期的性质

2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：

自变量x

函数值sinx

2

0

3





221

0

0



21



0

3

21

2

0

0

1

y

–

1



2

5



O

22

1–

正弦函数f(x)sinx性质如下：



2

x

5

（观察图象） 1

正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；

2

规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔2k,kZ重复出现）

3

这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx可以说明

结论：象这样一种函数叫做周期函数。

文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；

符号语言：当x增加2k（kZ）时，总有f(x2k)sin(x2k)sinxf(x)．

也即：（1）当自变量x增加2k时，正弦函数的值又重复出现；

（2）对于定义域内的任意x，sin(x2k)sinx恒成立。

余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。

二、讲解新课：

1．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

问题：（1）对于函数ysinx，xR有sin(22)sin，能否说是它的周期？

3636xR是不是周期函数，kZ（2）正弦函数ysinx，如果是，周期是多少？（2k，且k0）

（3）若函数f(x)的周期为T，则kT，kZ*也是f(x)的周期吗？为什么？

（是，其原因为：f(x)f(xT)f(x2T)f(xkT)）

2、说明：1周期函数x定义域M，则必有x+TM, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；

2“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)f (x0)）

3T往往是多值的（如y=sinx 2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

y=sinx, y=cosx的最小正周期为2 （一般称为周期） 从图象上可以看出ysinx，xR；ycosx，xR的最小正周期为2；

判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？

（f(x)c没有最小正周期）

3、例题讲解

例1 求下列三角函数的周期：

①y3cosx ②ysin2x

解：（1）∵3cos(x2)3cosx，

xR的值才能重复出现，∴自变量x只要并且至少要增加到x2，函数y3cosx，

所以，函数y3cosx，xR的周期是2．

（2）∵sin(2x2)sin2(x)sin2x，

∴自变量x只要并且至少要增加到x，函数ysin2x，xR的值才能重复出现，

所以，函数ysin2x，xR的周期是．

课堂练习

一般结论：函数yAsin(x)及函数yAcos(x)，xR的周期T

(1)余弦函数的图形

当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。

例如：f(-f(-x)= f(x). 2

||11)=,f()= ,即f(-)=f()；…… 由于cos(－x)=cosx ∴323233以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=cosx的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx的图象上，这时，我们说函数y=cosx是偶函数。

(2)正弦函数的图形

观察函数y=sinx的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？

这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。

也就是说，如果点（x,y）是函数y=sinx的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）也在函数y=sinx的图象上，这时，我们说函数y=sinx是奇函数。

2.单调性

从y＝sinx，x∈［－当x∈［－32,2］的图象上可看出：

，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1. 223当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1. 22结合上述周期性可知：

正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1223增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，22其值从1减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；

在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1. 3.有关对称轴

观察正、余弦函数的图形，可知

y=sinx的对称轴为x=k2 k∈Z y=cosx的对称轴为x=k k∈Z 作业：P36第1、第2题

三、小

结：本节课学习了以下内容：正弦、余弦函数的性质

1．

单调性

2．

奇偶性

3．

周期性