小结教学设计一等奖

《2.2.1向量加法运算及其几何意义》教学设计

一、

教学目标

知识目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和；掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．[来源:Z*xx*k.Com]

能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为数学概念的思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．

情感目标：经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发学生的学习热情．培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质．

二、

重点与难点

重点：向量加法的定义与三角形法则的概念建构；以及利用法则作两个向量的和向量．

难点：理解向量的加法法则及其几何意义．

三、

教法学法

教法运用了“问题情境教学法”、“启发式教学法”和“多媒体辅助教学法”．

学法采用以“小组合作、自主探究”为主要方式的自主学习模式．

四、

教学过程

一、提出问题1

（1）数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？类比数的加法,猜想向量的加法，应怎样定义向量的加法？

（2）猜想向量加法的法则是什么? 与数的运算法则有什么不同?

图1 探究活动: 向量是既有大小、又有方向的量，教师引导学生回顾物理中位移的概念，位移可以合成，如图1. 某对象从A点经B点到C点，两次位移AB、BC的结果，与A点直接到C点的位移AC结果相同. 力也可以合成。

老师引导，让学生共同探究如下的问题: 图2(1)表示橡皮条在两个力的作用下，沿着GC的方向伸长了EO；

图2(2)表示撤去F1和F2，用一个力F作用在橡皮条上,使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度.

图2 改变力F1与F2的大小和方向，重复以上的实验,你能发现F与F1、F2之间的关系吗? 力F对橡皮条产生的效果与力F1与F2共同作用产生的效果相同，物理学中把力F叫做F1与F2的合力.

合力F与力F1、F2有怎样的关系呢? 由图2(3)发现，力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上,并且大小等于平行四边形对角线的长. 数的加法启发我们，从运算的角度看,F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的合成看作向量的加法. 探究结果: （1）向量加法的定义: 如图3，已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC.

图3 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. （2）向量加法的法则: ①向量加法的三角形法则：

在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则. 运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量.

位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.

②向量加法的平行四边形法则：

图4

如图4，以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 力的合成可以看作向量加法的物理模型. 提出问题2 （1）对于零向量与任一向量的加法，结果又是怎样的呢？

（2）两共线向量求和时，用三角形法则较为合适.当在数轴上表示两个向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？

（3）思考|a+b|,|a|,|b|存在着怎样的关系？

（4）数的运算和运算律紧密联系，运算律可以有效地简化运算. 类似地，向量的加法是否也有运算律呢?

探究活动: 观察实际例子，教师启发学生思考，并适时点拨、诱导，探究向量的加法在特殊情况下的运算，共线向量加法与数的加法之间的关系. 数的加法满足交换律与结合律，即对任意a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).任意向量a,b的加法是否也满足交换律和结合律? 引导学生画图进行探索. 探究结果: （1）对于零向量与任一向量，我们规定a+0=0+a=a. （2）两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点；在数轴上的两个向量相加,它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段. （3）当a,b不共线时，|a+b|<|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边); 当a,b共线且方向相同时，|a+b|=|a|+|b|; 当a,b共线且方向相反时，|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|). 其中当向量a的长度大于向量b的长度时,|a+b|=|a|-|b|；当向量a的长度小于向量b的长度时，|a+b|=|b|-|a|. 一般地，我们有|a+b|≤|a|+|b|. （4）如图5，作AB=a,AD=b,以AB、AD为邻边作ABCD，则BC=b,DC=a. 因为AC=AB+AD=a+b，AC=AD+DC=b+a，所以a+b=b+a. 如图6，因为AD=AC+CD=(AB+BC)+CD=(a+b)+c, AD==AB+BD=AB+(BC+CD)=a+(b+c),所以(a+b)+c=a+(b+c). 综上所述,向量的加法满足交换律和结合律.

图5

图6

一、

数学运用

深化认识

在这个环节，我设置了2道例题和2道练习．

接下来，为了检验对于概念的理解和掌握，我设置了一道例题来强化概念：

例1：如图，已知a、b，作出ab

b

a a b b a 通过例1学生会看到三角形法则对共线向量的求和仍然是适用的，反映了三角形法则具有广泛的适用性．

例2：根据图示填空

（1）ab

；

（2）cd

；

（3）adb

；（4）DECDAC

；

（5）ABBCCDDE

．

E D edfgA cC baB 在训练三角形法则的同时，使同学们注意到三角形法则推广到n个向量相加的形式．即A0A1A1A2A2A3An1AnA0An

例3：长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，一艘船从长江南岸A点出发，以每小时4公里的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东每小时3公里．

（1）

试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（保留两位有效数字）

（2）

求船实际航行的速度大小与方向．（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）

二、

回顾反思

拓展延伸

本环节有课堂小结和作业布置两部分内容：

五、课堂小结：

【问题6】同学们想一想：本节课你有些什么收获呢？留给你印象最深的是什么？作为课堂的延伸，你课后还想作些什么探究？

新课程理念尊重学生的差异，鼓励学生的个性发展，所以，对于课堂小结我设置一个开放性的问题，期望通过这个问题使学生体验学习数学的快乐，增强学习数学的信心．

六、作业布置：[来源:Z_xx_k.Com]

在布置作业环节中，设置了两组练习，一组必做题，一组探究题，这样可以使学生在完成基本学习任务的同时，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣．

（1）作业：P66 习题2．2的1．2．3．

（2）拓展探究：当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？

七、