2.1.2 向量的几何表示板书设计及设计说明

课题：

2.1.2-3向量的几何意义及基本概念

(人民教育出版社A版数学必修4第二章P75-P76)

高中数学

井陉县第一中学 樊帆

1

课题：

2.1平面向量的实际背景及基本概念

井陉县第一中学 樊帆 科目：数学

教学对象：

高一

课时：

1课时

一、教学内容分析

向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。

向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法。

本章共分五大节。第一节是“平面向量的实际背景及基本概念”，内容包括向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。

本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。

在“向量的物理背景与概念”中介绍向量的定义；在“向量的几何表示”中，主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量；在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量，共线向量定义等。

二、学习者特征分析

1.

学生已经知道位移，速度，力等是既有大小又有方向的物理量；知道可以借助有向线段来求作位移，力的图示; 2.

学生对实际生活中一些常见的量，能识别它们是否具有大小、方向；

3.

已经经历并了解实数的形成过程，因此可以应用对比、类比的方法进行研究，将已有经验迁移到对向量的研究中.

三、教学目标

1.

通过对位移、速度、力等既有大小又有方向的量的分析,抽象出平面向量的概念,让学生体会向量集形与数于一身的特征；

2.

掌握向量的表示方法，理解特殊的向量；

3.

掌握平行向量、相等向量、共线向量等概念.并会区分平行向量、相等向量和共线向量．

4. 通过类比数量而获得研究向量的内容与方法的启发，体会研究一类新的数学问题的基本思路；

5. 体验探究学习带来的成功的喜悦，提高学习的兴趣.

2

四、教学重点及难点

教学重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示等. 教学难点: 向量的概念和共线向量的概念. 五、教学策略选择与设计

鉴于以上分析，本节课采用以学生自主与合作探究学习相结合为主，以教师点拨为辅的教学原则；通过大量实例引导、启发学生从实例中抽象出研究对象的本质属性，形成向量的概念，理解其大小，方向两个要素；采用先回顾数量的研究内容来引导学生用类比的方法研究向量的相关内容，为学生建构新知识提供支架；通过让学生探究向量的表示、特殊元素、向量的特殊关系的教学环节的设计，帮助学生构建向量的有关概念；本节课概念较多，学生对向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线容易相混，通过对具体例子的辨析来达到正确掌握概念.教学中，借助信息技术，通过向量的平移来说明向量的相等与起点无关，体会数学中的向量均是自由向量.

六、教学过程

问题

（一）复习引入

探究一：

向量的表示方法

1、

在数轴上画出表示实数0, 1的点，再画出表示实数a的点.

2、如图1，有两个木块浮在水面上，一个木块所受到的重力大小是10N，另一个木块所受到的重力的大小为20N. 同学们试在图中画出两个物体所受到的浮力，题中已经给出了表示10N的线段长度. 通过问题引入复习数量、向量的概念，从而引入新课，进一步从形与数两个角度强调向量的概念，然后类比数量的研究方法研究向量问题。

通过学生列举实例，引出这节课的课题和明确研究方向；鼓励学生提炼解决问题和研究问题的一般方法，养成获取新知识的习惯。

师生活动

设计意图

3

学生先独立思考，然后自由发言. 让学生体会类比旧知发现新知.

数量的表示方法

向量的表示方法

1、几何表示：

2、字母表示：

a,b…

通过辨析，得出结论：向量的表示

1. 向量的几何表示：有向线段及有向线段三要素

B A

2. 向量的字母表示: a,b,c

或AB或a

探究二：请同学们类比特殊的数来思考有哪些特殊向量? 特殊的数量

特殊的向量

0，1

通过辨析，得出结论：两个特殊向量

1.零向量：长度为0 的向量叫做零向量，记作0

2.单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。

我们知道两个实数的关系有大于、等于、小于，类比数量间的关系，向量间有哪些关系呢？请完成探究四。

探究三：

请同学们观察图中的正六边形ABCDEF，给图中的一些线段加上箭头表示向量，并说说你所标注的向量之间的关系.

4 进一步类比，得出两个特殊向量，通过辨析，得出两个特殊向师生共同讨论辨析. 量概念应从大小来考虑，加深对概念的理解。

学生先独立思考，然后小组讨论，选代表上台展示，并阐述自己的理由.

教师巡视，针对出现问题及时引导.

通过学生动手操作，积极探索，让学生参与概念的产生过程，使概念成为学生观察、概括后的自然产物.同时，重视让学生用向量的概念去分析问题,并从两个

BA讨论辨析结束后，教

师归纳总结，给出平

行向量，相等向量的

概念.

CF

借助多媒体演示，学

生观察思考，明确向

ED量只与方向及模的通过辨析，得出结论：

大小有关而与起点

1. 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫的位置无关. 做相等向量。

2. 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

规定：零向量与任一向量平行

。

任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量。

o

角度（长度、方向）去解决问题，加深学生对平行向量，相等向量的认识.

利用多媒体技术，展示向量的平移，让学生直观体会相等向量、平行向量与起点无关，体会向量的自由之躯. （二）向量概念的简单应用

问题：判断下列结论是否正确,并说明理由.

（1）直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量；

（2）若a

和b

都是单位向量，则ab

；

（3）a∥b，b∥c，则a∥c

；

学生独立思考，自由发言.

考查学生对概念的理解，通过对具体例子的辨析进一步强化概念.

，（4）若非零向量AB∥CD

则

AB∥CD;

（三）反思评价

总结提高

5

从知识与方法两方面谈谈本节课有哪些收获？

作业：77页

习题2.1

反思学习过程，对研学生自由发言，教师总结. 究向量及其概念的（教师一要注重知识的整合，二方法进行概括，深化要注意站在思想高度给学生引认识，并形成研究问导，让学生由学会变成会学）

题的思路和获取知识的方法．

七、板书设计

2.1平面向量的实际背景及基本概念

向量（大小、方向）

表示方法 特殊元素 特殊关系

几何表示 零向量 平行向量（共线向量）

符号表示 单位向量 相等向量

向量的模

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