探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期教学实录及点评

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及应用

一、教学目标：

1.

了解y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念。

2.

掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及变换。

3.

识别函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及性质。

二、教学重点：

1.

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及变换，性质的运用。

2.

由图像确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式。

三、教学过程：

知识梳理

1π引例（1）．(教材改编)y＝2sin(x－)的振幅，频率和初相分别为(

) 23πA．2,4π，

31πC．2，，－

4π3答案

C 1ω1π解析

由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－

T2π4π31．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)，x∈R

振幅

A 周期

2πT＝

ω频率

1ωf＝＝

T2π相位

ωx＋φ

初相

φ

1πB．2，，

4π3πD．2,4π，－

3π4x－的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象(

) 引例（2）．(2015·山东)要得到函数y＝sin3πA．向左平移个单位

12πC．向左平移个单位

3答案

B ππ4x－π的图象，4x－＝sin4x－，解析

∵y＝sin∴要得到y＝sin只需将函数y＝sin 4x3312π的图象向右平移个单位．

122.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象的步骤如下：

πB．向右平移个单位

12πD．向右平移个单位

3

1

φ强调：由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单ω位长度．

3.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点

如下表所示：

x 0－φ

ω0

0

π－φ2

ωπ

2A π－φ

ωπ

0

3π－φ2

ω3π

2－A 2π－φ

ω2π

0 ωx＋φ

y＝Asin(ωx＋φ)

典例剖析

题型一

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换

πω>0，|φ|<在某一个周期内例1

(2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)2的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

ωx＋φ

x Asin(ωx＋φ)

(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；

(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)5π图象的一个对称中心为12，0，求θ的最小值．

0

0

π

2π

35

π

3π

25π

6－5

2π

0

2

π解

(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：

6ωx＋φ

x Asin(ωx＋φ)

π2x－. 且函数解析式为f(x)＝5sin6π2x－，

(2)由(1)知f(x)＝5sin6π2x＋2θ－. 得g(x)＝5sin6因为函数y＝sin x图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z. πkππ令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z. 62125π由于函数y＝g(x)的图象关于点12，0成中心对称，

kππ5πkππ所以令＋－θ＝，解得θ＝－，k∈Z. 2121223π由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值. 6π总结：函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，2k∈Z确定其横坐标．

思维升华

(1)五点法作简图：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，π3设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描22点后得出图象．

(2)图象变换：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．

π

1．(2016·青岛模拟)将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长10度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(

) πA．y＝sin(2x－)

101πC．y＝sin(x－)

210答案

C πB．y＝sin(2x－) 51πD．y＝sin(x－) 2200

π

120

π

2π

35

π

7π

120

3π

25π

6－5

2π

13π

120

3



解析

y＝sin xπ横坐标伸长到1πy＝sin(x－)―――――→y＝sin(x－)．

10原来的2倍210π2．为了得到函数y＝cos(2x＋)的图象，可将函数y＝sin 2x的图象(

) 35πA．向左平移个单位长度

65πB．向右平移个单位长度

65πC．向左平移个单位长度

125πD．向右平移个单位长度

12答案

C πππ5π解析

由题意，得y＝cos(2x＋)＝sin(2x＋＋)＝sin 2(x＋)，则它是由y＝sin 2x向左平移332125π个单位得到的，故选C. 12π3．若将函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小4正值是________．

答案

3π

8右移π个单位10πππ解析

∵函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移φ个单位得到g(x)＝sin[2(x－φ)＋]＝sin(2x＋444－2φ)，

ππ又∵g(x)是偶函数，∴－2φ＝kπ＋(k∈Z)，

42kππ∴φ＝－－(k∈Z)．

283π当k＝－1时，φ取得最小正值. 8总结：若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则

π(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；

2(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．

πω＞0，|φ|＜的最小正周期是π，若将f(x)变式．(2016·太原模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)2π的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f(x)的图象(

) 3

4

πA．关于直线x＝对称

12π，0对称

C．关于点12答案

B 2π解析

由题意知＝π，∴ω＝2；

ω5πB．关于直线x＝对称

125πD．关于点12，0对称

π2πx－＋φ]＝sin2x＋φ－π，此时关于原点又由f(x)的图象向右平移个单位后得到y＝sin[2333π2π2πππ2x－. 对称，∴－＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝＋kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴φ＝－，∴f(x)＝sin33323πππ5πππ当x＝时，2x－＝－，∴A、C错误；当x＝时，2x－＝，∴B正确，D错误．

12361232题型二

识别函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质

π例2

已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，|φ|<，ω>0)的图象的一部分如图所示．

2

(1)求f(x)的表达式；

(2)试写出f(x)的对称轴方程．

解

(1)观察图象可知A＝2且点(0,1)在图象上，

1∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝. 2ππ∵|φ|<，∴φ＝，

2611又∵π是函数的一个零点且是图象递增穿过x轴形成的零点，

12∴11ππω＋＝2π，∴ω＝2. 126π∴f(x)＝2sin(2x＋)．

6ππ(2)设2x＋＝B，则函数y＝2sin B的对称轴方程为B＝＋kπ，k∈Z，

62ππ即2x＋＝＋kπ(k∈Z)，

62kππ解得x＝＋

(k∈Z)，

26

5

π∴f(x)＝2sin(2x＋)的对称轴方程为

6kππx＝＋(k∈Z)．

26πππ例3．函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (x∈R，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，如果x1，x2∈(－，)263且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)等于(

)

1A.

2C.2

2B.3

2D．1 答案

B 解析

观察图象可知，A＝1，T＝π，

∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)．

ππ将(－，0)代入上式得sin(－＋φ)＝0，

63πππ由|φ|<，得φ＝，则f(x)＝sin(2x＋)．

233ππ－＋63π函数图象的对称轴为x＝＝. 212ππ又x1，x2∈(－，)，

63x1＋x2π且f(x1)＝f(x2)，∴＝，

212π∴x1＋x2＝，

6ππ3∴f(x1＋x2)＝sin(2×＋)＝.故选B. 632思维升华

求y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)解析式的步骤

(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－mM＋m，B＝. 22π例如：(2015·陕西)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin6x＋φ＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(

)

6

A．5

C．8

答案

C 解析

由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5. ∴ymax＝k＋3＝8. 2π(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝. T(3)求φ，常用方法如下：

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．

②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一π点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；2“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx3π＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.

2π

1.(2016·太原模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，2π则y＝f(x＋)取得最小值时x的集合为(

) 6B．6 D．10

πA．{x|x＝kπ－，k∈Z} 6πB．{x|x＝kπ－，k∈Z} 3πC．{x|x＝2kπ－，k∈Z} 6πD．{x|x＝2kπ－，k∈Z} 3答案

B 7ππ2π解析

根据所给图象，周期T＝4×(－)＝π，故π＝，∴ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，123ω

7

7π7ππππ另外图象经过点(，0)，代入有2×＋φ＝kπ(k∈Z)，再由|φ|<，得φ＝－，∴f(x＋)＝sin(2x1212266πππππ＋)，当2x＋＝－＋2kπ (k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，y＝f(x＋)取得最小值．

66236π2π2．(2016·临沂模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋θ)的图象如图所示，f()＝－，则f(－)＝236________.

2答案

－

3解析

由题图知，函数f(x)的周期

11π7π2πT＝2(－)＝，

12123ππ2ππ2所以f(－)＝f(－＋)＝f()＝－. 66323

高考真题

1．(2016·全国丙卷)函数y＝sin x－3cos x的图象可由函数y＝sin x＋3cos x的图象至少向右平移________个单位长度得到．

答案

2π

3ππ2πx－，y＝sin x＋3cos x＝2sinx＋，因此至少向右平移解析

y＝sin x－3cos x＝2sin333个单位长度得到．

2),则下面结论正确的是（）3

A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，

2.(2017)已知曲线C1：ycosx,C2:ysin(2x

再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C.26

B.把C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，1

再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线C2.1C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，

2

再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2.

61D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，2

再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线C2.答案：D 3．(2015·天津)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调

8 

递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．

答案

π

2πωx＋，

解析

f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin4因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，所以f(ω)必为一个周2πωπππ期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤，424即ω2≤π2，即ω2＝ππ4，所以ω＝2.

4.(2016)已知函数f(x)sin(x)(0,),

2x4为f(x）的零点，

x的对称轴。且f(x)在(,5

4为f(x)1836)单调，则的最大值为（）A.11 B.9 C.7 D.5 答案：B

29