2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学设计

§2.3.2平面向量正交分解及坐标表示

学习目标

1．理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义．

2．在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量．

3．会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．

学习过程

一、课前准备（预习教材P93—P96）

复习1：向量b、aa0是共线的两个向量，则a、b之间的关系可以表示为

. 复***面内任意两个向量e1、e2，请同学们作出向量3e12e2、e12e2.



二、新课导学

(一)、平面向量基本定理：

1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个_____不共线_____不共线向量，那么对于这一平面内的__任一__向量a，有且只有_一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

特别提醒：  (1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一

λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量



(二)、平面向量的坐标表示：

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个__单位向量_ i、j作为基底任作一个向量a，由平面向量基本定理知，1，

有且只有一对实数x、y，使得axiyj…………○我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作

2

a(x,y)…………○2式叫做向量的坐标表示

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○与．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．(x,y)

特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)

特别提醒：设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示

典型例题

类型一

平面向量基本定理的应用

→＝【1】

如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若AM→＋μAC→，则λ＋μ＝________. λAB

→，AC→来表示AH→. [审题视点] 由B，H，C三点共线可用向量AB→＝xAB→＋(1－x)AC→，又M是AH的中点，所以AM→＝1AH→解析

由B，H，C三点共线，可令AH21→1→，又AM→＝λAB→＋μAC→.所以λ＋μ＝1x＋1(1－x)＝1. ＝2xAB＋2(1－x)AC2221答案

2

应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．

→＝xAB→＋yAC→，【训练1】

如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD则x＝________，y＝________.

解析

以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系如图，

→＝(2,0)，AC→＝(0,2)，过D作DF⊥AB交AB的延长线于F，由已知得DF＝令AB＝2，则AB→＝(2＋3，

3)．

BF＝3，则AD

→＝xAB→＋yAC→，∴(2＋3，3)＝(2x,2y)．

∵AD2＋3＝2x，即有3＝2y，

3x＝1＋2，解得3y＝2.

3→3→→＝AF→＋FD→＝1＋AB另解：AD＋2AC，

233所以x＝1＋2，y＝2. 答案

1＋

类型二

平面向量的坐标运算

→＝3CA→，CN→＝2CB→.求M，N的坐标【例2】

已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且CM→. 和MN→，CB→的坐标，根据已知条件列方程组求M，N. [审题视点] 求CA解

∵A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，

→＝(1,8)，CB→＝(6,3)．

∴CA→＝3CA→＝3(1,8)＝(3,24)，CN→＝2CB→＝2(6,3)＝(12,6)．

∴CM→＝(x＋3，y＋4)．

设M(x，y)，则CMx＋3＝3，x＝0，∴得∴M(0,20)．

y＋4＝24，y＝20.→＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．

同理可得N(9,2)，∴MN

利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标．

→＝(2,4)，→＝(1,3)，→＝(

)．【训练2】

在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若ABAC则BD

A．(－2，－4)

C．(3,5)

B．(－3，－5) D．(2,4) 33

22

→＝AD→－AB→＝BC→－AB→＝(AC→－AB→)－AB→＝AC→－2AB→＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，解析

由题意得BD

－5)．

答案

B

类型三

平面向量共线的坐标运算

【例3】►已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，是否存在实数k，使得ka＋b与a－3b共线，且方向相反？

[审题视点] 根据共线条件求k，然后判断方向．

解

若存在实数k，则ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．

若这两个向量共线，则必有

(k－3)×(－4)－(2k＋2)×10＝0. 1104解得k＝－3.这时ka＋b＝－3，3，

1所以ka＋b＝－3(a－3b)．

即两个向量恰好方向相反，

故题设的实数k存在．

向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值．

【训练3】

已知a(1,2),b(3,2),当实数k取何值时,ka＋2b与2a—4b平行？

【解析】方法一: ∵ 2a—4b0,∴

存在唯一实数使ka＋2b=(2a—4b）

将a、b的坐标代入上式得（k—6，2k＋4）=(14，—4）

得k—6=14且2k＋4= —4，解得k= —1 方法二：同法一有ka＋2b=（2a—4b）,即（k—2)a＋（2＋4)b=0 ∵a与b不共线，∴

k20 ∴k= —1 240三、小结反思

1、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步应用向量解决实际问题；

2、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示

3、向量的坐标表示的理解及运算的准确性.

四、作业：