小结优秀课堂实录

复***面向量

知识点归纳

一.向量的基本概念与基本运算

1、向量的概念：

①向量：既有大小又有方向的量

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行

③单位向量：模为1个单位长度的向量

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量

2、向量加法：设ABa,BCb，则a+b=ABBC=AC

（1）0aa0a；（2）向量加法满足交换律与结合律；

．

PQQRAR，但这时必须“首尾相连”3、向量的减法：

①

相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量

②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，③作图法：ab可以表示为从b的ABBCCD终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）

4、实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ）aa；

（Ⅱ）当0时，λa的方向与a的方向相同；当0时，λa的方向与a的方向相反；当0时，a0，方向是任意的

5、两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a

6、平面向量的基本定理：如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1,2使：a1e12e2，其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

二.平面向量的坐标表示

1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a可表示成axiyj，记作a=(x,y)。

2平面向量的坐标运算：

(1)

若ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2,y1y2

1

(2)

若Ax1,y1,Bx2,y2，则ABx2x1,y2y1

(3)

若a=(x,y)，则a=(x, y) (4)

若ax1,y1,bx2,y2，则a//bx1y2x2y10

(5)

若ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2y1y2

若ab，则x1x2y1y20

三．平面向量的数量积

1两个向量的数量积：

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a·︱b︱cos

b=︱a︱·叫做a与b的数量积（或内积）

规定0a0

2向量的投影：︱b︱cos=ab∈R，称为向量b在a方向上的投影投影的绝对值称为射影

|a|3数量积的几何意义：

a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积

4向量的模与平方的关系：aaa2|a|2

5乘法公式成立： aba2abb22ababa2b2ab；

222a2abb

226平面向量数量积的运算律：

①交换律成立：abba

R

③分配律成立：abcacbccab

特别注意：（1）结合律不成立：abcabc；

②对实数的结合律成立：ababab（2）消去律不成立abac不能得到bc

（3）ab=0不能得到a=0或b=0

2

7两个向量的数量积的坐标运算：

已知两个向量a(x1,y1),b(x2,y2)，则a·b=x1x2y1y2

8向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作OA=a, OB=b,则∠AOB=

（0180）00叫做向量a与b的夹角

cos=cosa,babab=x1x2y1y2x1y1x2y22222

当且仅当两个非零向量a与b同方向时，θ=00，当且仅当a与b反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题

9垂直：如果a与b的夹角为90则称a与b垂直，记作a⊥b

010两个非零向量垂直的充要条件：

a⊥ba·b＝Ox1x2y1y20平面向量数量积的性质

【例题】

一:若向量a(x1,y1),b(x2,y2),，且b0，则a//bx1y2y1x20。

1．（1）已知向量a(2,3),b(x,6),，且a//b，则x=_______。

（2）已知向量a(1,2),b(x,1),ua2b，v2ab，且u//v，求实数x的值。

练习1：设a(,sin),b(cos,),且有a//b,则锐角

。

3 3213

练***面内给定三个向量a(3,2),b(1,2),c(4,1)，回答下列问题：（1）求3ab2c;

（2）求满足ambnc的实数m,n；

（3）若(akc)//(2ba)，求实数k；

（4）若d满足dc//ab，且|dc|5，求d

练习3: (1) 向量OA(k,12),OB(4,5),OC(10,k),当k为何值时，A,B,C三点共线？

(2) 已知a(1,0),b(2,1)

,（1）求|a3b|；

（2）当k为何实数时，kab与a3b平行，

平行时它们是同向还是反向？.

二:若向量a(x1,y1),b(x2,y2),，则abx1x2y1y2

2：在△ABC中，∠C＝90°，AB(k,1),AC(2,3),，则k的值是（

）

33A 5

B -5

C

D 

22练习：已知向量a(3,4b),(2,，如果向量axb与b垂直，则x的值为

（

）

(A)

23

3

(B)3

23

(C)2

(D)2

5三：若a(x,y)则|a|2x2y2，或|a|x2y2

3：(1)已知向量a(2,2),b(5,k),，若|ab|不超过5，则k的取值范围是__________。

4

(2) 已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a3b|＝__________

(3) 已知向量a(cos,sin)，向量b(3,1)，则| 2ab|的最大值是___________。

四：求夹角可用cosab解决。

|a||b|4：（1）若|a|1,|b|2,cab，且ca，则向量a与b的夹角为（

）

A. 30°

B. 60°

C.

120°

D. 150°

(2)已知：a

、b、c是同一平面内的三个向量，其中a

=（1，2）

①若|c|25，且c//a，求c的坐标；

②若|b|=5,且a2b与2ab垂直，求a与b的夹角. 2

(3)设两个向量e1、e2，满足|e1|2，|e2|1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.

五：求向量

5：平面向量a，b中，已知a(4,3),|b|1，且ab5，则向量b=____________。

5 

练习1：.已知向量a(1,2)，b与a方向相反，且|b|2|a|，那么向量b的坐标是_

____.

练习2已知a(5,4),b(3,2)，则与2a3b平行的单位向量的坐标为

。

六：求数量积

6：（1）已知平面上三点A、B、C满足|AB|3,|BC|4,|CA|5，则ABBCBCCACAAB的值等于___________。

（2）已知向量a和b的夹角是120°，且|a|=2，|b|=5，则(2ab)a=

七：向量与三角函数结合

7．设函数f(x)mn,其中向量m(2cosx,1),n(cosx,3sin2x),xR.

求f(x)的最小正周期与单调递减区间

8．已知A、B、C三点的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cos,sin)，(32,2)，

（1）若

2sin2sin2（2）若ACBC1，求ACBC，求角的值；1tan的值

6