2.3.1 变量之间的相关关系第二课时教学设计

第三课

变量的相关性

栏目一：知识要点

一、知识清单

1.两个变量的有关系

两个变量常见的关系可分为函数关系和相关关系，函数关系中两个变量的关系是确定的，而相关关系中两个变量的关系是不确定的。

2.两个变量的相关性

(1)正相关：在散点图中,点散布在从左下角到右上角的区域.对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关. (2)负相关：在散点图中,点散布在从左上角到右下角的区域,两个变量的这种相关关系称为负相关. (3)线性相关关系、回归直线

如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线. 3.回归方程

(1)最小二乘法

求回归直线使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法. (2)回归方程

若已知两个具有线性相关关第的变量的一组数据：(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，则这组数据相应的点对应的回归方程为y=bxa，其中a、b是由最小二乘法确定的待定系数，nn(xix)(yiy)xiyinxyi1i1nbn2计算公式为22(xx)xnxiii1i1aybx

1其中x=ni1n1xi，y=nyi1ni，a为回归方程的斜率，b为截距．

二、方法清单

求样本数据的线性回归方程的算法步骤：

第一步，计算平均数x，；y

第二步，求和xy，xiii1i1ninn2i

；n第三步，计算b(xx)(yy)xynxyiiii1(xx)ii1n2i1nxi12inx2，aybx;

.a第四步，写出回归方程

ybx

三、教材挖掘

11.

回归直线一定经过样本中心点，即ybxa过点(x,y)（其中x=n1y=nxi1ni，yi1ni）.这是高考涉及最多的关于线性回归方程的知识点.

2.两个变量的相关系数

若相应于变量x的取值xi，变量y的观察值为yi（1in），则两个变量的相关系数r的计算公式为：r(xx)(yy)iii1n(xix)2(yiy)2i1i1nn1（其中x=ni1n1xi，y=nyi1ni）.

（1）统计中用相关系数r来衡量两个变量之间线性相关性的强弱. （2）当r0时表明x,y正相关，当r0时表明x,y负相关. 栏目二：课前基础自测

1.

（2009宁夏海南卷理）对变量x, y有观测数据理力争（xi,yi）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u,v

有观测数据（ui,vi）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断（

）

A.变量x与y

正相关，u与v正相关

B. 变量x与y

正相关，u与v负相关

C. 变量x与y负相关，u与v正相关

D. 变量x与y

负相关，u与v负相关

【解析】由这两个散点图可以判断,变量x 与y 负相关，u 与v 正相关,选C 2. 线性回归方程ybxa必过（

）

A．(0，0)点

B.(x，0)点

C.(0，y)点

D.(x,y)点

【解析】由线性回归分析的意义知选D. 3. （2011辽宁）调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到yˆ0.254x0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1对x的回归直线方程：y万元，年饮食支出平均增加____________万元. 【解析】由题意知[0.254(x1)0.321][0.254x0.321]0.254

4.

（2011广东）某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm ．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm．

【解析】儿子和父亲的身高可列表如下:

设回归直线方程yabx,根据中的三组数据及bxynxyiii1nnxi12inx2，aybx;可求得b1,故a3,故回归直线方程为y3x,将x182代入得孙子的身高为185cm. 栏目三：重难点突破

高频考点1.

利用散点图判断两个变量的相关关系

例1.在某地区的12～30岁居民中随机抽取了10个人的身高和体重的统计资料如表：

身高(cm)

143 156 159 172 165 171 177 161 164 160 体重(kg)

41 49 61 79 68 69 74 69 68 54 根据上述数据，画出散点图并判断居民的身高和体重之间是否有相关关系。

【分析】(1)用x轴表示身高,y轴表示体重,逐一描出各组值对应的点.(2)分析两个变量是否存在相关关系. 【解析】以x轴表示身高, y轴表示体重,可得到相应的散点图如图所示:

由散点图可知,两者之间具有相关关系,且为正相关. 【评析】在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手．

高频考点2.

求回归方程

例2.为了对2012年成都市中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学(已折算为百分制)、物理、化学分数对应如下表，

学生编号

数学分数x

物理分数y

化学分数z

1 60 72 67 2 65 77 72 3 70 80 76 4 75 84 80 5 80 88 84 6 85 90 87 7 90 93 90 8 95 95 92 求y与x、z与x的线性回归方程（系数精确到0.01）．

（参考数据：x77.5，y85，z81，i18(xix)1050，(xix)(yiy)688，2i18(xi18i.4,55023.5）

x)(ziz)755，105032.4,45621ˆbxa.

ˆbxa、z【解析】设y与x、z与x的线性回归方程分别是y根据所给的数据，可以计算出b(xx)(yy)iii18(xx)ii1826880.65,

1050从而aybx850.6577.534.63，

b(xx)(zz)iii18(xx)ii1827557550.72,b0.72,a810.7277.525.20.

10501050从而azbx810.7277.525.20. ˆ0.65x34.63，

所以y与x、z与x的线性回归方程为y

ˆ0.72x25.20

z与x的线性回归方程为z【评析】（1）高考中涉及到求解回归方程、回归系数等问题时，都要给出相关的参考公式. （2）本部分内容难度并不大，思路和解题根据相对单一，但由于表达式复杂，另一方面对数据运算有较高要求，让很多同学望而生畏.这需要我们一方面要加强变量相关性、线性相关的意义及线性回归方程的理解，另一方面一定要提升算法意识，加强运算训练. 高频考点3.

利用回归方程对总体进行估计

例3.（2011安徽文20）某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

2002 2004 2006 2008 2010 年份

需求量（万吨）

236 246 257 276 286 （1）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程ybxa; （2）利用（1）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量。

【解析】（1）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面求回归直线方程，为此对数据预处理如下：

0 2 4 年份—2006 －4 －2

0 19 29 需求量—257 －21 －11

对预处理后的数据，容易算得

x0,y3.2,(4)(21)(2)(11)219429260b6.5,

2222404224aybx3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为

y257b(x2006)a6.5(x2006)3.2,

)260.2.

①

即y6.5(x2006（2）利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为

6.5(20122006)260.26.56260.2299.2（万吨）≈300（万吨）. 【评析】本题考查回归分析的基本思想及其初步应用，回归直线的意义和求法，数据处理的基本方法和能力，考查运用统计知识解决简单实际应用问题的能力. 栏目四：考点解析

（一）

考纲解读

1.会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系; 2.了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. （二）

命题规律

1.以考查线性回归系数为主,同时可考查利用散点图判断两个变量间的相关关系; 2.以实际生活为背景,重在考查回归方程的求法;

3.在高考题中本部分的命题主要是以选择、填空题为主，属于中档题目。

（三）

命题趋势

1.以考查线性回归系数为主,同时可考查利用散点图判断两个变量间的相关关系; 2.以实际生活为背景,重在考查回归方程的求法; 3.在高考题中本部分的命题主要是以选择、填空题为主，属于中档题目。

栏目五：过关检测

能力过关

一、选择题(共5个小题，每小题只有一个正确答案) 1.某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是

y10x200 A. y10x200 B. C. ^^y10x200 D. y10x200

^^【答案】A. 2.（2011江西）为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：

父亲身高x（cm）

174 儿子身高y（cm）

175 176 175 176 176 176 177 178 177 则y对x的线性回归方程为

A．yx1

B．yx1

C．y881x

2D．y176

【解析】由题意可知x176,y176，又线性回归直线yabx过点(x,y)，,代入知选C. 3.(2011陕西)设(x1,y1),(x2,y2),···

，(xn,yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（

）

A．x和y的相关系数为直线l的斜率

B．x和y的相关系数在0到1之间

C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同

D．直线l过点(x,y)

【解析】因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值,它的绝对值越接近1,两个变量的线性相关程度越强，所以A、B错误C中n为偶数时,分布在l两侧的样本点的个数可以不相同,所以C错误,根据回归直线方程一定经过样本中心点知D正确。所以选D. 4.（2011山东）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表

2 3 5 广告费用x（万元）

4 49 26 39 54 销售额y（万元）

ˆ为9．ˆaˆbxˆ中的b根据上表可得回归方程y4，据此模型预报广告费用为6万元时销

售额为（

）

A．63．6万元

B．65．5万元

C．67．7万元

D．72．0万元

4235749263954,y42，

【解析】由题意x4247又yabx经过(x,y)，429.4a，a9.1，

2故线性回归方程为y9.4x9.1.故当x6时，y9.469.165.5（万元）. 5.（2011江西）变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5）；变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则（

）

A．r2r10

B．0r2r1

niC．r20r1

D．r2r1

【解析】由线性相关系数公式知r(xx)(yy)ii(xx)(yy)2iiiinn。2XU11.72,YV3，XiUi(i1,2,3,5),YiV6i(i1,2,3,5),

(Xi15iX)2(YY)ii152(Ui15iU)2(VV)ii152

令(Xi15iX)(YiY)A(10X)(1Y)(11.3X)(2Y)

(11.8X)(3Y)(12.5X)(4Y)(13X)(5Y)，

(Ui15iU)(ViV)B(10U)(5V)(11.3U)(2V)

(11.8U)(3V)(12.5U)(2V)(13U)(1V)

A0,B0,r10,r20故选C. 二、填空题

6.某服装商场为了了解毛衣的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系,随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温,其数据如下表：

月平均气温17 3 234518 2 x(0C)

月销售量

（y件）4 3 0 5 ˆbxa中的b≈-2.气象部门预测下个月的平均气温约为由表中数据算出线性回归方程y6℃,据此估计,该商场下个月毛衣的销售量约为_________件. 【答案】46 7.已知三点(3,10),(7,20),(11,24)的横坐标x与纵坐标y具有线性关系，则其线性回归方程是 ．

【答案】y723x44

8.

（2011广东）为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y 之间的关系：

时间x

命中率

1 0．4 2 0．5 3 0．6 4 0．6 5 0．4 小李这5天的平均投篮命中率为_________;用线性回归分析的方法，预测小李每月6号打篮球6小时的投篮命中率为________．

【解析】小李这5天的平均投篮命中率y0.40.50.60.60.40.5，应用线性回归5方程得出小李打6小时篮球的投篮命中率约为0.53. 三、解答题

9.（2007宁夏海南）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据

x

y

3 2.5 4 3 5 4 6 4.5

(1)请画出上表数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，崩最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ybxa；

(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性

同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值：3×2．5+4×3+5×4+6×4．5=66.5) 【解析】（1）如图

(2)由题意，

x=34562.5344.5=4.5，y==3.5，

44

i1xiyin=32.5+43+54+64.5=66.5，ni1xi2=86. ˆ所以b66.544.53.566.563ˆ3.50.74.50.35. ˆYbX0.7，a28644.58681故线性回归方程为y0.7x0.35。

(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为：

0.7100+0.35=70.35，故耗能减少了90-70.35=19.65(吨). 10.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了某月1至6号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：

日期

1 2 3 4 5 6 6 昼夜温差x(0C)

10 11 13 12 8 就诊人数y(个)

22 25 29 26 16 12 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验。

（1）若选取的是1号与6号的两组数据，请根据2至5号的数据，求出y关于x的线

性回归方程ybxa；

（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认

为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？

【解

析】（1）由数据求得x11,y24，由公式求得b再由aybx求得a18

730

71830x

771501504,|22|2

（2）当x10时，y77778786,|12|2。

同样，当x6,时，y777所以y关于x的线性回归方程为y所以，该小组所得线性回归方程是理想的。

高考文津

对于线性相关系数r,下列说法正确的是（

）

A．|r|(0,)，|r|越大，相关程度越大；反之，相关程度越小

B．r(,)，r越大，相关程度越大；反之，相关程度越小

C．|r|1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小

D、以上说法都不正确

【解析】根据教材《阅读与思考》知选C.