小结教案和学案内容

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

1．知识目标：

⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；

⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式；

⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式；

⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系；

2．能力目标：

⑴培养学生的动手能力和探索能力；

⑵通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化，使学生进一步体会数形结合的思想；

3．情感目标：

引导学生探索归纳，感受、理解知识的产生和发展过程，激发学习数学的兴趣.

教学重点

平面向量数量积的坐标表示，以及有关的性质

教学难点

平面向量数量积的坐标表达式的推导

教学方法

启发引导式，讲练结合

教学过程设计

教学过程

设计意图

一、课题引入

设置情境，引1．问题情境

出课题，设下问题平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形悬念，引发学生认式不同，对其运算的表示方式也会改变. 向量的坐标表示，知冲突，引起注为我们解决有关向量的加、减、数乘向量带来了极大的方便.意，唤起学生追求上一节，我们学***面向量的数量积，那么向量的坐标表探索新知识的欲示，对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？

望.

2．课前练习

由旧知识入①设单位向量i,j分别与平面直角坐标系中的x轴、y轴方向手，引导学生复习已学过的知识，以相同，O为坐标原点，若向量OA3i2j，则向量OA的

便向新知识进行探索.

教学过程

设计意图

坐标是 ，若向量a(1,2)，则向量a可用i,j表

示为

；

②已知|i||j|1，ij，且a3i2j，bij，则ab ；

二、新课讲授

先让学生自主推1．平面向量数量积的坐标表示

导平面向量数量积已知两个非零向量a(x，b(x的坐标表示形式，体1,y1)2,y2)，怎样用a与会知识的形成过程. b的坐标来表示ab呢？

然后老师演示学生推导的过程，师设向量i,j分别为平面直角坐标系的x轴、y轴上的单位生共同分享学生的成果，构建和谐的学向量，则有

习氛围. ax

1iy1j，bx2iy2j

∴

ab(x

1iy1j)(x2iy2j)

x22

1x2ix1y2ijx2y1ijy1y2j

x1x2y1y2

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.

2．课堂练习

学生通过做练①若a(2,3)，则aa ，|a|

；

习，及时巩固所学新知识，加深理解. ②若表示向量a的起点和终点的坐标分别为(1,2)和(2,6)，

则|a|

；

③若a(1,1)，b(3,3)，则ab

，a与b的夹角是

；

教学过程

设计意图

3．平面向量数量积的坐标表示的性质

⑴向量的模

设a(x,y)，则有a2x2y2或|a|x2y2

结合课堂练***面内两点间的距离公式

导学生归纳出坐设A(xy标表示的性质，让1,1)，B(x2,y2)，则AB(x2x1,y2y1)，

学生构建完整的|AB|(x2)2

知识系统，充分展1x2)(y1y2现师生互动. ⑶两向量垂直的坐标表示的判断条件

设a(xx

1,y1)，b(2,y2)，则abx1x2y1y20

⑷两向量的夹角的坐标表示公式

设非零向量a(x1,y1)，b(x2,y2)，为a与b的夹角，

则cosab|a||b|xy

1x21y2x2222

1y1x2y2

4．例题讲解

例1．已知a(1,3)，b(3,1)，求ab，|a|，|b|，a

与b的夹角.

解：

ab(1)33(1)23

先让学生尝试解答，体会自主应

|a|(1)2(3)22

用新知识解决问题的过程，然后给

|b|(3)2(1)22

出详细解答.

cosab233|a||b|222

∵

0

∴

56

教学过程

设计意图

例2．已知A(1,2)，B(2,3)，C(2,5)，试判断ABC的形状，

先让学生画出简图，直观感知三角形并给出证明.

的形状，然后引导学解：ABC是直角三角形. 证明如下：

生分析解答.注重培∵ AB(1,1)，AC(3,3)

养学生由观察——猜测——证明的思∴ ABAC1(3)130

维方法.

∴ ABAC

∴ ABC是直角三角形

例题引伸：

在直角OAB中，OA(2,3)，OB(1,k)，求实数k的

先放手给学生自主探索，然后结合值；

几何画板演示，让学解：①若AOB90，则OAOB

生观察，寻找解决问题的思路，培养学生∴

23k0

应用分类讨论的思 ∴

k2想方法解决问题的3

能力. ②若OAB90，则AOAB

而

AO(2,3),ABOBOA(1,k3)

∴

23(k3)0

∴

k113

③若OBA90，则BOBA

而

BO(1,k),BAOAOB(1,3k)

∴

1k(3k)0

∴

k3132

教学过程

三、评价练习

①若a(4,3),b(5,6)，则3|a|24ab ；

②若a(3,1),b(x,3)，且ab，则实数x ；

③若A(1,4),B(5,2),C(3,4)，则ABC设计意图

让学生通过练习，自主反思与评价，进而对学习过程进行积极的监控与调节. 的形状是 ；

④若a(2,3),b(4,7)，则a在b方向上的投影是 ；

⑤若a(4,2)，则与a垂直的单位向量的坐标是 ；

四、课堂小结

⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；

⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式；

⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式；

⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系；

五、课外作业

使学生对所学知识有一个完整的印象，使知识系统化、条理化.

让学生加深平面向量数量积坐标形式的理解，巩以坐标原点O和点A(5,2)为两个顶点作等腰直角OAB，且固和发展所学知B90，求点B的坐标；

识.