3.3.2 均匀随机数的产生优秀教学设计

3.3.2

均匀随机数的产生

学习目标

1.了解均匀随机数的意义，会利用计算器(计算机)产生均匀随机数；2.理解用模拟方法估计概率的实质，会用模拟方法估计概率；3.会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题.

知识点一

均匀随机数的意义

思考

回忆一下在古典概型中我们是如何利用整数值随机数来模拟古典概型的？能不能用它来模拟几何概型？

答案

我们用整数值随机数对应古典概型中的基本事件，通过大量产生随机数来代替试验，通过统计产生的随机数中代表事件A发生的那些数的个数，进而计算频率来估计事件A发生的概率. 因为几何概型的基本事件无限多，代表总的基本事件以及事件A包含的基本事件是连续的区域，所以不能用整数值随机数来模拟几何概型.要想用随机数对应几何概型中的基本事件，也需要用连续的. 一般地，在取值区间[a，b]上的任何一个实数出现的可能性都是相等的.我们把这样的随机数叫均匀随机数. 知识点二

均匀随机数的产生

1.计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是RAND函数. 2.Excel软件产生[0,1]的均匀随机数的函数为“rand ()”.

3.[a，b]上均匀随机数的产生. 利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数x＝RAND，然后利用伸缩和平移交换，x＝x1*(b-a)+a就可以得到[a，b]内的均匀随机数，试验的结果是[a，b]上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能的. 知识点三

用模拟方法估计概率

思考

我们已经有了几何概型概率公式，为什么还要估计概率？

答案

原因有两个：一个是几何概型涉及的区域不规则，难以度量；另一个是用计算机产生随机数样本容量可以很大，而且统计结果方便快捷，可操作性强. 用模拟方法估计概率的步骤：

①把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围；

②用计算机(或计算器)产生指定范围内的随机数；

③统计试验的结果，代入几何概型概率公式估得概率. 利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题.

类型一

均匀随机数的产生

例1

取一根长度为5 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于2 m的概率有多大？

解

设“剪得两段的长都不小于2 m”为事件A. (1)利用计算器或计算机产生n个0～1之间的均匀随机数，x＝RAND. (2)作伸缩变换：y＝x*(5－0)，转化为[0,5]上的均匀随机数. (3)统计出[2,3]内均匀随机数的个数m. m(4)概率P(A)的近似值为. n反思与感悟

均匀随机数的产生都是以[0,1]上的均匀随机数为基础，通过平移和伸缩变换得到目标区间上的随机数. 跟踪训练1

如图所示，向边长为2的正方形内投飞镖，用计算机随机模拟这个试验，求飞镖落在中央边长为1的正方形内的概率.

解

用计算机随机模拟这个试验，步骤如下：

(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数a1＝RAND，b1＝RAND. (2)经过伸缩平移变换，a＝(a1－0.5)*4，b＝(b1－0.5)*4得到两组[－2,2]上的均匀随机数. (3)统计出试验总次数N，落在阴影部分的次数N1. N1(4)计算频率fn(A)＝就是飞镖落在小正方形内的概率的近似值. N类型二

随机模拟方法

例2

假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7：00～8：00之间，如果把“你父亲在离开家之前能得到报纸”称为事件A，你能设计一种随机模拟的方法近似计算事件A发生的概率吗？

解

方法一

(随机模拟的方法)做两个带有分针的圆盘，标上时间，分别旋转两个圆盘，记父亲在离家前能得到报纸的次数下父亲在离家前能得到报纸的次数，则P(A)＝. 试验的总次数方法二

用计算机产生随机数模拟试验.X是0～1之间的均匀随机数，Y也是0～1之间的均匀随机数.如果Y＋7>X＋6.5，即Y>X－0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸.在计算机上做M次试验，统计一下Y>X－0.5的Y的个数，如果为N，则所求概率为N/M. 反思与感悟

用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围.用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大. 用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内进行多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识. 跟踪训练2

在下图的正方形中随机撒一把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比并以此估计圆周率的值.

解

随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数圆的面积落在圆中的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即≈. 正方形的面积落在正方形中的豆子数圆的面积ππ设正方形的边长为2，则圆半径为1，则＝＝，由于落在每个区域的豆子正方形的面积2×24数是可能数出来的，所以π≈落在圆中的豆子数×4.所以就得到了π的近似值. 落在正方形中的豆子数类型三

用模拟法估计面积

例3

利用随机模拟方法计算由y＝1和y＝x2所围成的图形的面积.

解

以直线x＝1，x＝－1，y＝0，y＝1为边界作矩形，

(1)利用计算器或计算机产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b＝RAND；

(2)进行平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)；

(3)数出落在阴影内的样本点数N1，用几何概型公式计算阴影部分的面积. 例如做1 000次试验，即N＝1 000，模拟得到N1＝698，

N1阴影面积698所以P＝＝＝，

N矩形面积1 000即阴影面积S＝矩形面积×698698＝2×＝1.396. 1 0001 000反思与感悟

解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概率，然后通过解方程求得阴影部分面积的近似值，解决此类问题时注意两点：一是选取合适的对应图形；二是由几何概型正确计算概率. 跟踪训练3

利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(y＝2－2x－x2与x轴围成的图形)的面积.

解

(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；

(2)经过平移和伸缩变换a＝a1*4-3，b=b1*3，得到一组［-3，1］，一组［0，3］上的均匀随机数；

(3)统计试验总次数N和落在阴影部分的点数N1（满足条件b<2-2a-a2的点（a,b）个数）；

N1(4)计算频率就是点落在阴影部分的概率的近似值；

NS(5)设阴影部分面积为S.由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为. 12SN1即≈. 12N12N1所以S≈即为阴影部分面积的近似值. N

1.用均匀随机数进行随机模拟，可以解决(

) A.只能求几何概型的概率，不能解决其他问题

B.不仅能求几何概型的概率，还能计算图形的面积

C.不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积

D.最适合估计古典概型的概率

答案

C 2.关于用Excel软件产生均匀随机数，下列说法错误的是(

) A.只能产生[0,1]区间上的随机数

B.产生均匀随机数的函数是RAND C.产生的均匀随机数是伪随机数

D.用Excel软件不但能产生大量均匀随机数，还方便统计结果. 答案

B 3.将[0,1]内的均匀随机数转化为[－3,4]内的均匀随机数，需要实施的变换为(

) A.a＝a1*7 C.a=a1*7-3 答案

C 解析

根据伸缩和平移变换a＝a1*[4-(-3)]+(-3)= a1*7-3 4.用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则(

) A.m>n

C.m＝n

答案

D 解析

随机模拟法求其概率，只是对概率的估计. 15.设x是[0,1]内的一个均匀随机数，经过变换y＝2x＋3，则x＝对应变换成的均匀随机数是2(

) A.0

B.2

C.4

D.5 答案

C

1.在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数. 2.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值. B.m

D.m是n的近似值

B.a＝a1*7+3 D.a＝a1*4

一、选择题

1.用计算器或计算机产生20个[0,1]之间的随机数x，但是基本事件都在区间[－1,3]上，则需要经过的线性变换是(

) A.y＝3x－1

C.y＝4x＋1

答案

D 解析

将区间[0,1]伸长为原来的4倍，再向左平移一个单位得区间[－1,3]，所以需要经过的线性变换是y＝4x－1. B.y＝3x＋1 D.y＝4x－1

2.与均匀随机数特点不符的是(

) A.它是[0,1]内的任何一个实数

B.它是一个随机数

C.出现的每一个实数都是等可能的

D.是随机数的平均数

答案

D 解析

A、B、C是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”.

3.质点在数轴上的区间[0,2]上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间[0,1]上的概率为(

) 1A.

41C.

2答案

C 解析

区间[0,2]的长度为2，记“质点落在区间[0,1]上”为事件A，则事件A的区间长度为1，1则P(A)＝. 24.一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，海豚离岸边不超过2 m的概率为(注：海豚所占区域忽略不计)(

) 121231A.

B.

C.

D.

1502575300答案

C 解析

记“海豚离岸边不超过2 m”为事件A，则事件A为“海豚离岸边超过2 m”.且20－4×30－452P(A)＝＝. 7520×3023∴P(A)＝1－P(A)＝. 755.在线段AB上任取三个点x1，x2，x3，则x2位于x1与x3之间的概率是(

) 111A.

B.

C.

D.1 234答案

B 1解析

因为x1，x2，x3是线段AB上任意的三个点，任何一个数在中间的概率相等且都是. 36.向图中所示正方形内随机地投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为(

) 1B.

3D.以上都不对

12525A.

B.

C.

D.1 436144答案

C 21，－1，1，，解析

直线6x－3y－4＝0与直线x＝1交于点与直线y＝－1交于点36易知25S阴影362515525阴影部分面积为××＝.∴P＝＝＝. 26336S正方形41447.如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，2它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积约为(

) 3

4A.

32C.

3答案

B S阴影228解析

∵≈，∴S阴影≈S正方形＝. 33S正方形38.如图所示，在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木块，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm、4 cm、6 cm，某人站在3 m之外向此板投镖，设镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，

8B.

3D.无法计算

记事件A＝{投中大圆内}，

事件B＝{投中小圆与中圆形成的圆环内}，

事件C＝{投中大圆之外}. (1)用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RNAD.

(2)经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8，b＝16b1－8，得到两组[－8,8]内的均匀随机数. (3)统计投在大圆内的次数N1(即满足a2＋b2<36的点(a，b)的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环次数N2(即满足4

) N1N2N－N1A.，，

NNNN2N1N－N2B.，，

NNNN1N2－N1N2C.，，

NNNN2N1N1－N2D.，，

NNN答案

A N－N1N1N2解析

P(A)的近似值为，P(B)的近似值为，P(C)的近似值为. NNN二、填空题

19.在区间[－1,1]上随机任取两个数x，y，则满足x2＋y2<的概率为________. 4答案

π

16解析

当x，y∈[－1,1]时，点(x，y)构成的区域是一个边长为2的正方形，其面积等于2×211π＝4，而满足x2＋y2<的点(x，y)构成的区域是一个半径为的圆的内部，其面积等于，所以424π4π所求概率P＝＝. 41610.方程x2＋x＋n＝0 (n∈(0,1))有实根的概率为________. 1答案

41解析

方程有实根，则Δ＝12－4n≥0，即n≤，

41－041又n∈(0,1)，∴方程有实根的概率为P＝＝. 1－0411.利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1<0”发生的概率为________. 1答案

31解析

由3a－1<0得a<. 3

1由几何概型概率公式得P＝. 312.已知如图所示的矩形，其长为12，宽为5.在矩形内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为________.

答案

33 55011解析

据题意可知，黄豆落在阴影部分的概率约为＝

，其概率可用阴影部分的面积1 00020与矩形面积的比来度量，即三、解答题

13.利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y＝2x与x轴、x＝±1所围成的部分)的面积. 11S阴影S阴影＝＝⇒S阴影＝33. 20S矩形12×5

解

(1)利用计算机产生两组[0,1]区间上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；

(2)进行平移和伸缩变换得到一组[－1,1]区间上的均匀随机数和一组[0,2]区间上的均匀随机数；

(3)统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1(满足条件b<2a的点(a，b)的个数)；

N1(4)计算频率，即落在阴影部分的概率的近似值；

N(5)设阴影面积为S，

S则用几何概型公式求得点落在阴影部分的概率为P＝. 4N1S所以≈，

N44N1所以S≈，即为阴影部分面积的近似值. N